¿Por qué podemos usar cuatro colores para distinguirlos en el mapa?
El problema de los cuatro colores, también conocido como la conjetura de los cuatro colores, es uno de los tres principales problemas matemáticos de los tiempos modernos.
El contenido del problema de los cuatro colores es : "Cualquier mapa utiliza sólo cuatro colores. Los países con las mismas fronteras se pueden colorear en diferentes colores". Expresado en lenguaje matemático, es decir, "el plano se puede subdividir arbitrariamente en áreas que no se superpongan y cada área siempre se puede representar". por 1, 2 o 3. , 4 para marcar uno de los cuatro números sin que dos áreas adyacentes obtengan el mismo número." (imagen de la derecha)
Las áreas adyacentes a las que se hace referencia aquí se refieren a aquellas con Los límites de un segmento completo son justos. Si dos áreas solo se encuentran en un punto o en un número finito de puntos, no se llaman adyacentes, porque colorearlas con el mismo color no causará confusión.
Cuatro Los La conjetura del color vino del Reino Unido. En 1852, cuando Francis Guthrie, graduado de la Universidad de Londres, llegó a una unidad de investigación científica para realizar trabajos de coloración de mapas, descubrió un fenómeno interesante: "Parece que cada mapa puede colorearlo". con cuatro colores, de modo que los países con las mismas fronteras se coloreen con colores diferentes." ¿Se puede demostrar matemáticamente este fenómeno rigurosamente? Él y su hermano menor, Gris, que estudiaba en la universidad, decidieron intentarlo. Los dos hermanos habían amontonado reunió una pila de artículos manuscritos para probar este problema, pero no hubo avances en su trabajo de investigación.
El 23 de octubre de 1852, su hermano le pidió consejo a su hermano sobre la prueba de este problema. El famoso matemático De Morgan, Morgan no pudo encontrar una manera de resolver este problema, por lo que le escribió a su amigo, el famoso matemático Sir Hamilton, para pedirle consejo. Después de recibir la carta de Morgan, Hamilton le preguntó sobre el problema de los cuatro colores. Sin embargo, el problema no pudo resolverse hasta la muerte de Hamilton en 1865.
En 1872, Kelly, el matemático más famoso de Gran Bretaña en ese momento, planteó formalmente este problema a la Sociedad Matemática de Londres y a la Sociedad Matemática de Londres. La conjetura de los cuatro colores se ha convertido en un motivo de preocupación para la comunidad matemática mundial. Muchos de los matemáticos de primer nivel del mundo participaron en el concurso de la conjetura de los cuatro colores entre 1878 y 1880. Los matemáticos Kemp y Taylor presentaron respectivamente pruebas de la conjetura de los cuatro colores. El artículo sobre la conjetura de los colores anunció que había demostrado el teorema de los cuatro colores.
La prueba de Kemp es la siguiente: Primero, señale que si ningún país rodea a otros países, o si no se encuentran más de tres países en un punto, se dice que este tipo de mapa es "regular" (imagen de la izquierda). Si es un mapa formal, de lo contrario es un mapa informal (imagen de la derecha). Un mapa a menudo se compone de un mapa formal y un mapa informal están conectados entre sí, pero la cantidad de colores requerida para los mapas informales generalmente. No excede los colores requeridos para los mapas regulares. Si hay un mapa que requiere cinco colores, significa que su mapa regular tiene cinco colores. Es necesario demostrar que los cuatro colores son suficientes para probar. que no existe un mapa regular de cinco colores.
Kemp utilizó la reductio ad absurdum para demostrarlo. La idea principal es que si hay un mapa regular de cinco colores, habrá un mapa nacional. "mapa regular mínimo de cinco colores" con el número más pequeño. Si un país en el mapa regular mínimo de cinco colores tiene menos de seis países vecinos, habrá un mapa regular con un número menor de países que seguirá siendo de cinco colores. De esta manera, no habría países con mapas mínimos de cinco colores y no habría mapas regulares de cinco colores. De esta manera, Kemp pensó que había demostrado el "problema de los cuatro colores", pero luego la gente descubrió que estaba equivocado. .
Sin embargo, la prueba de Kemp aclaró dos conceptos importantes y proporcionó una manera de resolver problemas futuros. El primer concepto es "configuración". Demostró que en cada mapa regular, al menos un país tiene dos, tres,. cuatro o cinco vecinos No existe un mapa formal en el que cada país tenga seis o más vecinos, es decir, que esté formado por dos vecinos, tres vecinos, cuatro o cinco vecinos. Un conjunto de "configuraciones" compuestas por países vecinos es inevitable, y cada mapa contiene al menos una de estas cuatro configuraciones.
Otro concepto propuesto por Kemp es "reducibilidad" El uso de la palabra "reducible" proviene del argumento de Kemp que demostró que siempre que un país esté en. un mapa de cinco colores tiene cuatro países vecinos,
Hay mapas de cinco colores con un número reducido de países. Desde la introducción de los conceptos de "configuración" y "reducibilidad", se han desarrollado gradualmente algunos métodos estándar para comprobar las configuraciones y determinar si son reducibles. El inevitable grupo de configuraciones reducibles es una base importante para demostrar el "problema de los cuatro colores". Pero para demostrar que las configuraciones grandes son reducibles, es necesario verificar una gran cantidad de detalles, lo cual es bastante complicado.
Once años después, en 1890, en la Universidad de Oxford, Herwood, de 29 años, que estudiaba en la universidad, señaló las fallas en la prueba de Kemp con sus cálculos precisos. Señaló que había una falla en la razón de Kemp para decir. que un país podría tener cinco países vecinos sin un mapa mínimo de cinco colores. Pronto, Taylor también negó la prueba. Se descubrió que en realidad demostraban una proposición más débil: el teorema de los cinco colores. son suficientes para colorear el mapa Más tarde, cada vez más matemáticos, aunque después de devanarse los sesos, no encontraron nada. Como resultado, la gente comenzó a darse cuenta de que esta pregunta aparentemente fácil era en realidad un problema difícil comparable a la conjetura de Fermat.
Desde el siglo XX, los científicos han estudiado los cuatro La prueba de la conjetura del color se basa básicamente en las ideas de Kemp. En 1913, el famoso matemático estadounidense Birkhoff de la Universidad de Harvard utilizó las ideas de Kemp y las combinó con sus propias ideas nuevas; demostró que algunas configuraciones grandes se pueden reducir Más tarde, en 1939, el matemático estadounidense Franklin demostró que los mapas de menos de 22 países se pueden colorear con cuatro colores. En 1950, alguien avanzó de 22 países a 35 países. que se pueden colorear mapas de menos de 39 países. Sólo se utilizaron cuatro colores para colorear; luego se avanzó a 50 países. Parece que este avance es todavía muy lento.
La invención de la tecnología digital de alta velocidad. Las computadoras impulsaron a más matemáticos a estudiar el "problema de los cuatro colores". Heike, que había estado estudiando la conjetura de los cuatro colores desde 1936, afirmó públicamente que la conjetura de los cuatro colores podría demostrarse encontrando un grupo inevitable de figuras reducibles. Dürey escribió un programa de cálculo. Heike no solo podía usar este programa para generar datos, sino también para demostrar que la configuración es reducible, y el método para describir la configuración reducible es transformar el mapa en lo que se llama una forma "dual" en matemáticas. .
Marcó la capital de cada país, y luego Las capitales de los países adyacentes están conectadas por un ferrocarril a través de la frontera, excepto la capital (llamada vértice) y el ferrocarril (llamado arco o borde). ), todas las demás líneas se borran. El gráfico restante se llama gráfico dual del gráfico original. A finales de la década de 1960, Heike introdujo un método similar al movimiento de cargas en una red eléctrica para encontrar el grupo inevitable de configuraciones. " apareció por primera vez en una forma bastante inmadura en la investigación de Heike. Esta es una clave para futuras investigaciones sobre grupos inevitables y también es un elemento central en la demostración del teorema de los cuatro colores.
Después de la llegada de las computadoras electrónicas, El rápido aumento de la velocidad de cálculo y el surgimiento del diálogo entre humanos y computadoras aceleraron enormemente el cálculo de El proceso de prueba de la conjetura de los cuatro colores de Haken de la Universidad de Illinois en los Estados Unidos comenzó a mejorar el "proceso de descarga" en 1970. y luego colaboró con Appel para compilar un buen programa. En junio de 1976, trabajaron en la Universidad de Illinois en los Estados Unidos. En dos computadoras electrónicas diferentes, se necesitaron 1200 horas y 10 mil millones de juicios para finalmente completar la prueba de los cuatro colores. teorema, que conmocionó al mundo.
Esto es lo que ha atraído a muchas personas durante más de cien años. Es un gran evento para los matemáticos y entusiastas de las matemáticas cuando dos matemáticos publicaron los resultados de su investigación, el post local. La oficina estampó un matasellos especial de "Cuatro colores suficientes" en todo el correo enviado ese día para celebrar este evento. El problema se resolvió.
Se demostró que el "Problema de los cuatro colores" resolvió solo un problema que tenía. Duró más de 100 años y se convirtió en el punto de partida de una serie de nuevas ideas en la historia de las matemáticas. Durante el proceso de investigación del "Problema de los cuatro colores", surgieron muchas teorías matemáticas nuevas y se desarrollaron muchas técnicas de cálculo matemático. Por ejemplo, el problema de colorear el mapa se transformó en un problema de teoría de grafos, lo que enriqueció el contenido de la teoría de grafos. No solo eso, el "problema de los cuatro colores" permitió diseñar horarios de vuelos de aerolíneas y programas de codificación por computadora. todos han desempeñado un papel en su promoción.
Sin embargo, muchos matemáticos no están satisfechos con los logros de las computadoras y creen que debería haber un método de prueba escrito simple y claro. Hasta ahora, todavía hay muchos.
Los matemáticos y entusiastas de las matemáticas buscan métodos de demostración más sencillos.