Varias perspectivas del movimiento browniano
Se utiliza para representar un movimiento browniano
?Después de definir la filtración para tiempo continuo, el concepto de martingala se puede extender fácilmente al tiempo continuo: sí, satisface
?Por el incremento independiente del movimiento browniano, tenemos: Por lo tanto el movimiento browniano es una martingala de tiempo continuo.
?Vale la pena señalar que la martingala de tiempo continuo no es necesariamente continua (por supuesto, el movimiento browniano es continuo). Se puede demostrar que una martingala de tiempo continuo con órbita continua debe ser esencialmente un movimiento browniano, pero la varianza puede cambiar en cualquier momento.
?El proceso de Markov en tiempo continuo es similar. En pocas palabras, dado, la distribución de solo está relacionada con la distribución de lo dado.
?Para un movimiento browniano, lo que sucede después del tiempo es independiente de lo que sucede antes del tiempo. Esta propiedad se llama propiedad fuerte de Markov.
Si la distribución de dimensión finita de vectores aleatorios formados por un proceso aleatorio en cualquier número finito de nodos de tiempo es una distribución gaussiana, entonces este proceso se denomina proceso gaussiano.
Dado , entonces es un conjunto de variables aleatorias independientes distribuidas normalmente. Por tanto, obedece a la distribución gaussiana.
La distribución gaussiana está determinada únicamente por el vector medio y la matriz de covarianza. Para el movimiento browniano estándar, tenemos:
Definición, obviamente es un tiempo de parada, que representa el primer momento de llegada de la posición. .
es una martingala exponencial. Así podemos definir el proceso de parada, que también es una martingala. A través de esta proposición, se puede demostrar que el primer tiempo de llegada del movimiento browniano es casi absolutamente limitado, es decir,
Para una introducción más completa al movimiento browniano, consulte:
Análisis Estocástico Financiero 1 - Teoría de la probabilidad y movimiento browniano