¿Cuáles son los principales objetos de investigación de los métodos de cálculo numérico? ¿Cuáles son los tres aspectos principales de sus algoritmos básicos de uso común?
Los principales objetos de investigación de los métodos de cálculo numérico: investigación sobre el diseño, análisis, teorías matemáticas relacionadas e implementación específica de métodos numéricos para diversos problemas matemáticos. Sus algoritmos básicos comúnmente utilizados utilizan métodos iterativos con más frecuencia que métodos directos en el análisis numérico. Por ejemplo, método de Newton, método de bisección, método de Jacobi, método residual mínimo generalizado, método de gradiente de yugo, etc. En álgebra matricial computacional, los problemas grandes generalmente requieren métodos iterativos para resolverlos.
Muchas veces es necesario convertir un problema de modelo continuo en un problema de forma discreta, y la solución de forma discreta puede aproximarse a la solución del modelo continuo original. Este proceso de conversión se llama discretización.
Por ejemplo, encontrar la integral de una función es un problema de modelo continuo, es decir, encontrar el área bajo una curva. Si se discretiza en una integral numérica, resulta necesario utilizar muchas formas más simples para lo anterior. área (como rectángulo, trapecio), por lo que solo necesitas encontrar las áreas de estas formas y sumarlas.
Información ampliada
El análisis numérico también utiliza métodos aproximados para calcular soluciones de ecuaciones diferenciales, incluidas ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones diferenciales parciales.
Las ecuaciones diferenciales ordinarias suelen utilizar el método iterativo. Se conoce un punto de la curva, se intenta calcular su pendiente, se encuentra el siguiente punto y luego se deducen los datos del siguiente punto. El método de Euler es el más sencillo y el más utilizado es el de Runge-Kutta.
Las soluciones analíticas numéricas de ecuaciones diferenciales parciales generalmente primero discretizan el problema y lo convierten en un subespacio de elementos finitos. Se pueden utilizar el método de elementos finitos, el método de diferencias finitas y el método de volúmenes finitos. Estos métodos pueden convertir ecuaciones diferenciales parciales en ecuaciones algebraicas, pero sus demostraciones teóricas a menudo están relacionadas con teoremas de análisis funcional. Otra solución numérica a las ecuaciones diferenciales parciales es utilizar la transformada discreta de Fourier o la transformada rápida de Fourier.