Selección de funciones básicas wavelet2020-05-13
La transformada wavelet es diferente de la transformada de Fourier. Dependiendo de la función madre wavelet, los resultados de la transformada wavelet también son diferentes. En realidad, los criterios para elegir qué wavelet usar generalmente incluyen los siguientes puntos:
Los intervalos de soporte de las funciones wavelet Ψ (t), Ψ (ω), funciones de escala φ (t) y φ (ω). ), es la longitud a la que Ψ (t), Ψ (ω), φ (t) y φ (ω) convergen desde un valor finito a 0 cuando el tiempo o la frecuencia tiende a infinito. Cuanto mayor es la longitud del soporte, generalmente se requiere más tiempo de cálculo y se generan más coeficientes wavelet de alta amplitud. La mayoría de las aplicaciones eligen wavelets con una longitud de soporte entre 5 y 9, porque si la longitud del soporte es demasiado larga, se producirán problemas de límites. Si la longitud del soporte es demasiado corta, el momento de fuga será demasiado bajo, lo que no favorece la concentración. de energía de señal.
El concepto de "soporte estricto" se ve a menudo aquí. En términos generales, para la función f (x), si la variable independiente x está dentro del rango de valores cercano a 0, f (x) puede tomar una. valor fuera de esto, f (x) tiene un valor de 0, entonces esta función f (x) es una función de soporte compacta y el rango de valores cercano a 0 se denomina conjunto de soporte compacto. Se puede resumir en una frase: "Excepto en un área muy pequeña, la función es cero, es decir, la función disminuye rápidamente".
Las wavelets simétricas pueden evitar eficazmente la distorsión de fase en el procesamiento de imágenes porque los filtros correspondientes a las wavelets tienen características de fase lineal.
En la práctica, a menudo se requiere que las wavelets básicas no solo cumplan las condiciones permitidas, sino también que impongan la llamada condición de momento de fuga (Vanishing Moments), de modo que tantos coeficientes de wavelet como sea posible sean cero o Se generan la menor cantidad posible de coeficientes Wavelet distintos de ceros, que son beneficiosos para la compresión de datos y la eliminación de ruido. Cuanto mayor sea el momento de fuga, más coeficientes wavelet serán cero. Pero en general, cuanto mayor sea el momento de fuga, mayor será la longitud del apoyo. Por lo tanto, debemos hacer un compromiso entre la longitud del apoyo y el momento de fuga.
El momento de fuga de una wavelet se define como, si
Entre ellos, Ψ(t) es la wavelet básica, 0<=p Al cuantificar o redondear coeficientes de wavelet, para reducir el impacto de los errores de reconstrucción en el ojo humano, debemos intentar aumentar la suavidad o la diferenciabilidad continua de la wavelet. Porque el ojo humano es más sensible a los errores "irregulares" que a los errores "suaves". En otras palabras, necesitamos imponer condiciones de "regularidad". En otras palabras, las wavelets con buena regularidad pueden lograr mejores efectos de suavizado en la reconstrucción de señales o imágenes y reducir el impacto visual de los errores de cuantificación o redondeo. Pero, en general, cuanto mejor sea la regularidad, mayor será la longitud del soporte y mayor el tiempo de cálculo. Por tanto, también tenemos que sopesar la regularidad y la longitud del apoyo. Existe una gran relación entre los momentos de fuga y la regularidad. Para muchas wavelets importantes (por ejemplo, wavelets spline, wavelets de Daubechies, etc.), a medida que aumenta el momento de fuga, la regularidad de la wavelet cambia. , no se puede decir que a medida que aumenta el momento de fuga de la wavelet, la regularidad de la wavelet definitivamente aumentará y algunas se harán más pequeñas. Seleccione una wavelet que sea similar a la forma de onda de la señal, que sea un valor de referencia para la compresión y la reducción de ruido. Las 15 bases wavelet enumeradas a continuación son las 15 soportadas por Matlab. Haar, generalmente transliterado como "Hal". La función de Haar es la función wavelet ortogonal más antigua con soporte compacto utilizada en el análisis de wavelets, y también es la función wavelet más simple. Es una onda rectangular única cuyo dominio de soporte está dentro del rango de t∈. La wavelet de Haar es discontinua en el dominio del tiempo, por lo que su rendimiento como wavelet básica no es especialmente bueno. Daubechies, generalmente transliterado como "Daubechies". La wavelet de Daubechies es una función de wavelet construida por la mundialmente famosa analista de wavelets Ingrid Daubechies (generalmente transliterada como Ingrid Daubechies). Generalmente la abreviamos como dbN, donde N es el orden de la wavelet. El área de soporte en la función wavelet Ψ(t) y la función de escala φ(t) es 2N-1, y el momento de fuga de Ψ(t) es N. La wavelet dbN tiene buena regularidad, es decir, el error suave introducido por esta wavelet como base dispersa no es fácilmente perceptible, lo que hace que el proceso de reconstrucción de la señal sea más fluido. La característica de la wavelet dbN es que a medida que aumenta el orden (secuencia N), el orden del momento de fuga se vuelve mayor. Cuanto mayor es el momento de fuga, mejor es la suavidad, más fuerte es la capacidad de localización en el dominio de la frecuencia y mejor. efecto de división de banda de frecuencia, pero debilitará el soporte estricto del dominio del tiempo, aumentará en gran medida la cantidad de cálculo y empeorará el rendimiento en tiempo real. Además, excepto N=1, la wavelet dbN no tiene simetría (es decir, fase no lineal), es decir, se producirá cierta distorsión de fase al analizar y reconstruir la señal. dbN no tiene una expresión clara (excepto para N = 1, cuando N = 1 es una wavelet de Haar) La función wavelet Symlet es una función wavelet aproximadamente simétrica propuesta por Ingrid Daubechies, que es un tipo de función db mejorada. . El sistema wavelet simlet generalmente se expresa como symN (N=2,3,…,8). El rango de soporte de la wavelet symN es 2N-1, el momento de fuga es N y también tiene buena regularidad. En comparación con la wavelet dbN, esta wavelet es consistente con la wavelet dbN en términos de continuidad, longitud de soporte, longitud del filtro, etc., pero la wavelet symN tiene mejor simetría, es decir, puede reducir el tiempo de análisis y reconstrucción de la señal. hasta cierto punto. A petición de R.Coifman, Daubechies construyó la wavelet Coiflet, que tiene la serie de coifN (N=1,2,3,4,5). El momento de orden 2N de la función wavelet de Coiflet Ψ(t) es cero, y el momento de orden 2N-1 de la función de escala φ(t) es cero. La longitud de soporte de Ψ(t) y φ(t) es 6N-1. Ψ(t) y φ(t) de Coiflet tienen mejor simetría que dbN. Para resolver la incompatibilidad entre la simetría y la reconstrucción precisa de la señal, se introducen dos wavelets bioortogonales llamadas duales para la descomposición y reconstrucción de la señal, respectivamente. Las wavelets biortogonales resuelven el conflicto entre los requisitos de fase lineal y ortogonalidad. Debido a sus características de fase lineal, se utiliza principalmente en la reconstrucción de señales e imágenes. El uso habitual es utilizar una función para la descomposición y otra función wavelet para la reconstrucción. La diferencia entre wavelets bioortogonales y wavelets ortogonales es que la wavelet ortogonal satisface <Ψj,k,Ψl,m>=δj,kδl,m, que es la base de la expansión y traslación de la función wavelet La función es completamente ortogonal y la ortogonalidad satisfecha por las wavelets biortogonales es <Ψj,k,Ψl,m>=δj,k, es decir, existe ortogonalidad entre funciones wavelet bajo diferentes escalas, y en la misma escala no hay ortogonalidad. entre los sistemas de funciones wavelet obtenidos por traducción, por lo que las wavelets utilizadas para la descomposición y reconstrucción no son la misma función, y los filtros correspondientes no pueden ser generados por la misma wavelet. Aunque esta wavelet no es una wavelet ortogonal, es una wavelet biortogonal con regularidad y soporte ajustado. Su rango de soporte de reconstrucción es 2Nr+1 y su rango de soporte de descomposición es 2Nd+1. La principal característica de la wavelet biorNr.Nd es que tiene características de fase lineal. En términos generales, para obtener una fase lineal, es necesario reducir las limitaciones de la ortogonalidad. Por esta razón, la wavelet biortogonal reduce los requisitos de ortogonalidad y retiene parte de la ortogonalidad de las wavelets ortogonales, permitiendo que la wavelet alcance una fase lineal. y propiedades de soportes más cortos. 6. Wavelet Bior inversa Proviene de Biorthogonal, por lo que las dos formas son muy similares. 7. Wavelet de Meyer La función wavelet y la función de escala de la wavelet de Meyer se definen en el dominio de la frecuencia. No está estrictamente soportada, pero su velocidad de convergencia es muy rápida. 8. Wavelet de Meyer Dmeyer es la wavelet de Meyer discreta. Es una aproximación de la wavelet de Meyer basada en FIR y se utiliza para el cálculo de la transformada de wavelet discreta rápida. 9. Wavelet gaussiana La wavelet gaussiana es la forma diferencial de la función de densidad gaussiana. Es una wavelet no ortogonal ni biortogonal y no tiene función de escala. 10. Wavelet MexicanHat (mexh) La función Mexican Hat es la segunda derivada de la función de Gauss. Debido a que su forma es como la sección transversal de un sombrero mexicano, a esta función la llamamos función del sombrero mexicano. Está bien localizado tanto en el dominio del tiempo como en la frecuencia, pero no existe una función de escala, por lo que esta función wavelet no tiene ortogonalidad. 11. Wavelet de Morlet La wavelet de Morlet es una función sinusoidal de frecuencia única bajo envolvente gaussiana. No tiene función de escala y es una descomposición no ortogonal. 12. Wavelet Gaussiano Complejo Pertenece a un tipo de wavelet complejo y no tiene función de escala. 14. Wavelets B-Spline de frecuencia compleja (wavelets B-spline gaussianos complejos) La función spline se refiere a un tipo de segmentación (pieza) que es suave y está conectada en cada segmento. también una función con cierta suavidad en , que se llama spline para abreviar. 15. Wavelet Morlet compleja La wavelet Morlet es una onda gaussiana modulada sinusoidal compleja de frecuencia única y también es la wavelet de valores complejos más utilizada. Esta wavelet tiene un buen rendimiento en. Tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia, la transformación de esta wavelet es particularmente adecuada para el análisis de datos sísmicos. Referencia: /heifan2014/article/details/72530858