Libro de texto de teoría de secuencias para secundaria
Libro de texto de teoría de secuencias de la escuela secundaria
La secuencia es uno de los contenidos importantes de las matemáticas de la escuela secundaria. La secuencia geométrica es una nueva secuencia especial después de aprender la secuencia aritmética. como Ahorros, pagos a plazos, etc. se utilizan ampliamente en todo el contenido de matemáticas de la escuela secundaria, la secuencia numérica está estrechamente relacionada con las funciones aprendidas y los límites de la secuencia posterior. La capacidad matemática de los estudiantes puede cultivar la observación, el análisis y la capacidad de resumir, adivinar y resolver problemas de manera integral. El siguiente es un libro de texto de teoría de secuencias de la escuela secundaria. Puede leerlo.
1. Hablando de materiales didácticos
1. El estado y función de los materiales didácticos:
La secuencia es uno de los aspectos importantes Los contenidos de las matemáticas de la escuela secundaria no solo tienen una amplia gama de aplicaciones prácticas, sino que también desempeñan un papel en la conexión del pasado y el futuro. Por un lado, la secuencia como función especial es inseparable de la idea de función, por otro lado, aprender la secuencia también nos prepara para aprender más sobre los límites de la secuencia y otros contenidos; La secuencia aritmética se basa en que los estudiantes aprendan los conceptos relevantes de la secuencia y los dos métodos para dar la secuencia: la fórmula general y la fórmula recursiva, lo que profundiza y amplía aún más el conocimiento de la secuencia. Al mismo tiempo, la secuencia aritmética también proporciona una base para el aprendizaje y la comparación para el aprendizaje futuro de la secuencia geométrica.
2. Objetivos docentes
En base a los requisitos del plan de estudios y el nivel real de los estudiantes, se determinan los objetivos docentes de esta clase.
a En términos de conocimiento: comprender y dominar el concepto de secuencia aritmética; comprender el proceso de derivación y las ideas de la fórmula general de la secuencia aritmética; introducir inicialmente el método de pensamiento del "modelado matemático" y ser capaz de aplicarlo.
b En términos de capacidad: cultivar la capacidad de los estudiantes para observar, analizar, resumir y razonar, bajo la premisa de comprender la relación entre funciones y secuencias, transferir el método de estudio de funciones al estudio de secuencia, y cultivar el conocimiento y los métodos de los estudiantes. Capacidad de transferencia; mejorar la capacidad de los estudiantes para analizar y resolver problemas a través de ejercicios paso a paso.
c Emocionalmente: a través del estudio de secuencias aritméticas, los estudiantes pueden cultivar su espíritu de exploración y descubrimiento activos; desarrollar buenos hábitos de pensamiento de observación cuidadosa, análisis serio y buen resumen.
3. Enfoque y dificultad de la enseñanza
De acuerdo con los requisitos del programa de estudios, determiné que el enfoque de enseñanza de esta lección es:
①El concepto de aritmética secuencia.
②El proceso de derivación y aplicación de la fórmula general del término de secuencia aritmética.
Dado que esta es la primera vez que los estudiantes entran en contacto con la inducción incompleta y no están familiarizados con ella, usar la inducción incompleta para derivar la fórmula homonomial de una secuencia aritmética es un punto difícil en esta lección. Al mismo tiempo, los estudiantes no están relativamente familiarizados con el método de pensamiento del "modelado matemático", por lo que utilizar ideas matemáticas para resolver problemas prácticos es otra dificultad en esta clase.
2. Método de enseñanza y aprendizaje:
Para los estudiantes de primer año de la escuela secundaria No. 3, tienen un rico conocimiento y experiencia. Su desarrollo intelectual ha llegado a la etapa. de operación formal y tienen la capacidad de enseñar. Los estudiantes tienen una fuerte capacidad de pensamiento abstracto y capacidad de razonamiento deductivo, por lo que cuando enseño, me concentro en la orientación, la inspiración, la investigación y la discusión para satisfacer las características de desarrollo psicológico de dichos estudiantes, promoviendo así el futuro. desarrollo de la capacidad de pensar.
En vista del pensamiento y las características psicológicas de los estudiantes de secundaria, en esta clase utilizo métodos de enseñanza heurísticos, basados en discusiones y en la práctica de conferencias para estimular la curiosidad de los estudiantes por el conocimiento a través de preguntas y permitirles participar activamente. participar en actividades de práctica matemática, descubrir, analizar y resolver problemas bajo la guía de profesores en forma de pensamiento independiente y comunicación mutua.
3. Orientación sobre el método de enseñanza:
Al guiar el análisis, deje espacio para que los estudiantes piensen y permita que asocien y exploren. Al mismo tiempo, anímelos a ser audaces. Cuestionar y expresar sus propias opiniones en torno al centro. Aclarar las ideas, métodos y problemas que es necesario resolver.
4. Procedimientos de enseñanza
El proceso de enseñanza de esta lección consta de (1) revisión de la introducción (2) exploración de nuevas lecciones (3) ejemplos de aplicación (4) ejercicios de retroalimentación (5) Resumen (6) Asignar tareas, que constan de seis enlaces didácticos.
(1) Introducción a la revisión:
1. Desde un punto de vista funcional, una secuencia puede considerarse como una secuencia de valores de función correspondientes al dominio de __________, entonces la fórmula general de la secuencia Es decir, el ______ de la función correspondiente. (N﹡; fórmula analítica)
Revise el contenido de la sección anterior hasta el Ejercicio 1 para prepararse para el estudio de problemas de secuencia utilizando el pensamiento funcional en esta lección.
2. Xiao Ming actualmente sabe 100 palabras. Él o ella planea dejar de memorizar palabras a partir de hoy. Como resultado, sin saberlo, olvida 2 palabras todos los días. Luego, en los próximos cinco días, su vocabulario. aumenta día a día de la siguiente manera: 100, 98, 96, 94, 92 ①
3. Xiaofang solo sabe 5 palabras. Decide memorizar 10 palabras todos los días a partir de hoy. cinco días, lo hará El número de palabras aumenta día a día a 5, 10, 15, 20, 25 ②
A través de los ejercicios 2 y 3, se introducen dos secuencias aritméticas específicas y una comprensión preliminar de la Se proporcionan características de la secuencia aritmética para los siguientes conceptos. Establecer una base para el aprendizaje, crear situaciones problemáticas para aprender nuevos conocimientos y estimular la sed de conocimiento de los estudiantes. Los estudiantes observan las características de las dos secuencias y derivan el concepto de secuencia aritmética. El resumen del problema también cultiva la capacidad cognitiva de los estudiantes de lo concreto a lo abstracto y de lo especial a lo general.
(2) Exploración de nuevas lecciones
1. El concepto de secuencia aritmética se da naturalmente a través de la introducción:
Si hay una secuencia, comience desde la segundo término La diferencia entre cada término y el término anterior es igual a la misma constante. Esta secuencia se llama secuencia aritmética.
Esta constante se llama tolerancia de una secuencia aritmética, generalmente representada por la letra d. . Énfasis:
① "A partir del segundo ítem" satisface la condición;
②La tolerancia d debe obtenerse restando el ítem anterior del último
; ③Cada La diferencia entre un término y su término anterior debe ser la misma constante (énfasis en "la misma constante"
Sobre la base de la comprensión de los conceptos, los estudiantes convierten el lenguaje literal de las secuencias aritméticas al matemático); lenguaje, y resumí la expresión matemática:
an+1-an=d (n≥1) Al mismo tiempo, para cooperar con la comprensión del concepto, encontré 5 conjuntos de secuencias, y los estudiantes juzgaron si era una secuencia aritmética, sí Encuentra la tolerancia de una secuencia aritmética.
1. 9, 8, 7, 6, 5, 4,...;√ d=-1
2. 0.70, 0.71, 0.72, 0.73, 0.74.. .; √ d=0.01
3.0, 0, 0, 0, 0, 0,…….; √ d=0
4.1, 2, 3, 2, 3, 4,...; ×
5. 1, 0, 1, 0, 1,... Tolerancia de tres secuencias = 0
Esto enfatiza que el la tolerancia puede ser un número positivo, un número negativo o 0
2. La segunda parte clave es la fórmula general de la secuencia aritmética
En la inducción de fórmulas de términos generales de aritmética secuencias, adopto un método de enseñanza basado en la discusión. Se da el primer término de la secuencia aritmética, la tolerancia d, y los estudiantes estudian en grupos para discutir la fórmula del término general de a4. Al resumir la fórmula general de a4, los estudiantes pueden adivinar la fórmula general de a40 y luego resumir la fórmula general de an. Todo el proceso lo completan los estudiantes. A través de la discusión mutua, se cultiva el sentido de colaboración de los estudiantes y se resuelven las dificultades de enseñanza.
Si el primer término de la primera sucesión aritmética {an} es a1 y la diferencia común es d, entonces según su definición:
a2 - a1 =d, es decir: a2 =a1 + d
a3 – a2 =d es decir: a3 =a2 +d = a1 +2d
a4 – a3 =d es decir: a4 =a3 +d = a1 + 3d
……
Conjetura: a40 = a1 +39d, y luego resume la fórmula general de la secuencia aritmética:
an=a1+(n-1 )d
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Se señala en este momento: este método para encontrar la fórmula del término general se llama inducción incompleta. Este método para derivar la fórmula no es lo suficientemente riguroso para cultivar. Debido a la actitud de aprendizaje rigurosa de los estudiantes, se les presenta otro método para encontrar la secuencia. Método de fórmula general------método de superposición:
a2 – a1 =d
. a3 – a2 =d
a4 – a3 =d
……
an – an-1=d
Añade la izquierda y los lados derechos de estas (n-1) ecuaciones para obtener an – a1= (n-1) d es an= a1+(n-1) d (1)
Cuando n=1, (1 ) también es cierto,
Entonces, para todo n∈N﹡, la fórmula anterior es cierta
Por lo tanto, es la fórmula general de la secuencia aritmética {an}.
En el proceso de demostración del método de superposición, utilizo métodos de enseñanza heurísticos.
Utilice el concepto de secuencia aritmética para inspirar a los estudiantes a escribir n-1 ecuaciones.
Compare las fórmulas generales que se han resumido para inspirar a los estudiantes a pensar en sumar n-1 ecuaciones. Demuestre la fórmula general.
Aquí, la idea matemática del método de superposición se introduce a través de este punto de conocimiento, y los requisitos de enseñanza de "centrarse en los métodos y resaltar ideas" se logran gradualmente.
A continuación, Dé un ejemplo: si una secuencia aritmética {El primer término de an} es 1 y la tolerancia es 2. La fórmula general de esta secuencia es: an=1+(n-1)×2,
Es decir, an=2n-1. A partir de esto Consolidar la aplicación de la fórmula general de la secuencia aritmética
Al mismo tiempo, se requiere dibujar la imagen de la secuencia, que muestra que la aritmética La secuencia es una función lineal sobre el entero positivo n, y su imagen es un número infinito de puntos aislados dispuestos uniformemente. Utilice la idea de funciones para estudiar la secuencia y aclarar las propiedades de la secuencia.
(3) Ejemplos de aplicación
Este enlace tiene como objetivo permitir a los estudiantes mejorar su comprensión del significado de fórmulas generales y su aplicación de fórmulas generales a través de ejemplos y ejercicios, y mejorar su capacidad. para resolver problemas prácticos. A través de los Ejemplos 1 y 2, se muestra a los estudiantes que la relación entre las cuatro cantidades a1, d, n y an en la fórmula de términos generales de la secuencia aritmética debe verse desde la perspectiva de los cambios de movimiento. Cuando se conoce una parte de la cantidad, la otra parte se puede encontrar según esta fórmula.
Ejemplo 1 (1) Encuentra el término 20; el término 30; el término 40 de la secuencia aritmética 8, 5, 2,...
(2) Es -401 ¿Cuáles son los términos de la secuencia de diferencias -5, -9, -13,...? En caso afirmativo, ¿qué número es?
En la primera pregunta, agregué el cálculo de los términos 30 y 40 para fortalecer y consolidar la fórmula general de términos de la secuencia aritmética; la segunda pregunta es en realidad una cuestión de encontrar una solución entera positiva, y la clave es encontrar Encuentra la fórmula del término general de la secuencia an
Ejemplo 2 En la secuencia aritmética {an}, se sabe que a5=10 y a12 =31, encuentra el primer término a1 y. la tolerancia d.
Basado en el ejemplo 1 anterior, utilice el ejemplo 2 como ejercicio para consolidar la fórmula general
El ejemplo 3 es un problema práctico de modelado
Construcción Es necesario para diseñar escaleras al construir una casa Se sabe que la altura del segundo piso de un edificio desde el suelo es de 3 metros, y la altura del tercer piso desde el suelo es de 5,8 metros si las escaleras están diseñadas para tener 16. escalones de igual altura, ¿cuál es la altura de cada escalón?
Para esta pregunta, utilizo una combinación de métodos de enseñanza heurísticos y de discusión.
Inspire a los estudiantes a prestar atención a la "altura igual" de cada escalón, hágales pensar que la altura de cada escalón desde el suelo constituye una secuencia aritmética y guíelos para transformar este problema práctico en un modelo matemático------ Secuencia aritmética: (Los estudiantes discuten y analizan, Juegan los tableros por separado y el profesor analizará el problema. El problema puede surgir en: Los estudiantes piensan que el número de elementos es 16. Debe quedar claro que a1 es la altura del segundo piso desde el suelo, a2 significa la altura del primer escalón desde el suelo y el nivel 16 la altura de los escalones desde el suelo es a17, y se puede utilizar material didáctico para mostrar el diagrama de escalera real para resolver dificultades).
El propósito de formular esta pregunta: 1. Fortalecer la capacidad de análisis integral de los estudiantes de problemas aplicados, 2. Obtener problemas de secuencia aritmética a través de problemas matemáticos prácticos y estimular el interés de los estudiantes; matemáticas El ejemplo muestra el método de pensamiento matemático de "comenzar desde problemas reales, establecer modelos matemáticos mediante la abstracción y la generalización, y finalmente restaurar el "modelado matemático" para ilustrar los problemas reales
(4) Ejercicios de retroalimentación
1, Preguntas 1 y 2 en los ejercicios posteriores a la sección (los estudiantes deben completarlos dentro del tiempo especificado). Propósito: Familiarizar a los estudiantes con fórmulas generales y capacitarlos en habilidades básicas.
2. Libro Ejemplo 3 arriba) El escalón más alto de la escalera tiene 33 cm de ancho, el escalón más bajo tiene 110 cm y hay 10 escalones entre ellos. El ancho de cada escalón es una secuencia aritmética. > Propósito: Calcular el ancho de los pasos en el medio. Los estudiantes fortalecen el entrenamiento de ideas de modelado.
3. Si la secuencia {an} es una secuencia aritmética, si bn = k an , (k es una constante) intenta demostrar: la secuencia {bn} es una secuencia aritmética
Esta pregunta es para que los estudiantes mejoren su entrenamiento en problemas de secuencia, aprendan a usar definiciones para probar problemas de secuencia y fortalezcan el concepto de secuencias aritméticas.
(5) Resumen (los estudiantes resumen esto. Beneficios de esta lección)
1. Conceptos y expresiones matemáticas de secuencias aritméticas. palabras clave: a partir del segundo elemento, cada elemento está relacionado con el elemento anterior Las diferencias son todas iguales a la misma constante
2. La fórmula general de la secuencia aritmética an= a1+(n-1). d sabrá tres para encontrar uno
3. Utilizar métodos de pensamiento de "modelado matemático" para resolver problemas prácticos
(6) Asignar tareas
Preguntas obligatorias: Libro de texto P114, Ejercicio 3.2, Preguntas 2 y 6
Preguntas opcionales: Conocido El primer término de la secuencia aritmética {an} es a1=-24, que es un número positivo a partir del décimo término Encuentra el valor. rango de tolerancia d.
(Propósito: mejorar la capacidad de los estudiantes a través de tareas en capas. Curiosidad y satisfacción de las necesidades de los estudiantes en diferentes niveles)
5. Diseño de pizarra
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Resalte los puntos clave de esta sección en la pizarra y enfatice los lugares como en la definición, "desde el segundo elemento en adelante" " y "la misma constante" están marcados con tiza roja, dejando espacio para que los estudiantes escribir preguntas. Toda la escritura en la pizarra encarna plenamente el método de enseñanza de lectura y práctica intensivas;