¿Cuántas aristas tiene una pirámide triangular y dónde están?

Respuesta: Una pirámide triangular tiene 6 aristas y 4 caras

Análisis:

Como se muestra en la figura anterior, sus 6 aristas son: PA ,PB, PC,AB,AC,BC

El polígono en el plano tiene al menos tres lados y la geometría en el espacio tiene al menos cuatro caras, por lo que el tetraedro es la geometría más simple en el espacio. Al tetraedro también se le llama pirámide triangular. Una pirámide triangular tiene seis aristas, cuatro vértices y cuatro caras.

Una pirámide triangular cuya base es un triángulo equilátero y la proyección del vértice sobre la base es el centro del triángulo base se llama pirámide triangular regular y se llama tetraedro compuesto por cuatro triángulos equiláteros congruentes; un tetraedro regular.

El centro de la esfera inscrita

El centro de la esfera inscrita de una pirámide triangular regular está a 1/4 de la base en la línea que conecta el vértice y el centro de gravedad de la base.

Las proyecciones del centro de la esfera inscritas en las cuatro caras de una pirámide triangular general coinciden con los centros de gravedad de las cuatro caras, y la posición del centro de la esfera se puede determinar en base a este.

El centro de la esfera circunscrita

El centro de la esfera circunscrita de una pirámide triangular rectángulo está a 1/4 de la base en la línea que conecta el vértice y el centro de gravedad. de la base.

Cálculos relacionados: Al igual que calcular el centro de una esfera inscrita, calcula la longitud de la línea recta donde está el centro del círculo (es decir, la línea que conecta el vértice y el centro de gravedad de la base). ), y puedes calcular la distancia entre el vértice y el centro de la esfera (es decir, el radio de la esfera circunscrita).

Las proyecciones del centro de la esfera circunscrita de una pirámide triangular general sobre las cuatro superficies coinciden con el circuncentro de las cuatro superficies, y en base a esto se puede determinar la posición del centro de la esfera.

El centro de la esfera que es tangente al borde

El centro de la esfera que es tangente al borde de una pirámide triangular regular está a 1/4 de la distancia desde el base de la línea que conecta el vértice y el centro de gravedad de la base (los tres El centro de la esfera coincide con el centro del triángulo.

La proyección del centro de la esfera sobre las cuatro caras de una pirámide triangular general con las cuatro aristas tangentes coincide con el centro de las cuatro caras, y la posición del centro de la esfera se puede determinar en base a esto.

Información ampliada

Supongamos que hay una pirámide triangular P-ABC, y la proyección de P en el plano ABC es O. Ahora analicemos qué condiciones satisface la pirámide triangular O. el exterior de △ABC Corazón, corazón, centro lateral, centro de gravedad y centro vertical (cinco centros del triángulo).

Circumcentro

Si O es el circuncentro de △ABC, entonces OA=OB=OC. Dado que OP⊥ plano ABC (la definición de proyección), por lo tanto OP⊥OA, OP⊥OB, OP⊥OC. El teorema de Pitágoras produce PA=PB=PC. Y tanPAO=OP/OA, tanPBO=OP/OB, tanPCO=OP/OC, se puede ver que ∠PAO=∠PBO=∠PCO.

Resumiendo, se puede obtener el siguiente teorema:

Cuando las tres aristas laterales de una pirámide triangular son iguales, la proyección del vértice sobre la base es el circuncentro de la pirámide. triángulo base.

Cuando los ángulos que forman las tres aristas laterales de una pirámide triangular y la base son iguales, la proyección del vértice sobre la base es el circuncentro del triángulo base.

Incentro

Si O es el incentro de △ABC, entonces las distancias de O a los tres lados son iguales y O está dentro de △ABC. Supongamos que los segmentos de línea vertical de O a BC, AC y AB son OD, OE y OF respectivamente, entonces OD=OE=OF. Del teorema de Pitágoras, PD=PE=PF.

Y tanPDO=OP/OD, tanPEO=OP/OE, tanPFO=OP/OF, entonces ∠PDO=∠PEO=∠PFO. Y a partir del teorema de las tres perpendiculares, podemos saber que PD⊥BC, PE⊥AC, PF⊥AB, es decir, ∠PDO, ∠PEO y ∠PFO son los ángulos diédricos P-BC-A, P-AC-B. y P-AB-C respectivamente.

Resumiendo, se puede obtener el siguiente teorema:

Cuando la distancia entre el vértice de una pirámide triangular y los tres lados del triángulo base es igual, y la proyección de el vértice de la base está dentro del triángulo base, entonces la proyección es el corazón.

Cuando los ángulos diédricos formados por cada lado de la pirámide triangular y la base son iguales, y la proyección del vértice sobre la base está dentro del triángulo base, entonces la proyección es incéntrica.

Parochroid

Dado que la parochroid y el incentro tienen las mismas propiedades, ambos son puntos que están equidistantes de los tres lados del triángulo. Es solo que la incorporación está dentro del triángulo y el parocentro está fuera del triángulo. Por lo tanto, la idea de la discusión es la misma que la del corazón. La única diferencia está en la relación posicional entre O y △ABC. Por lo tanto, obtenemos directamente el material de referencia

: Enciclopedia Baidu de la Pirámide Triangular