Cómo utilizar el teorema del intervalo cerrado para demostrar el teorema monótono acotado

Supongamos que S es un conjunto acotado superior, sea b un límite superior y tome a∈S para construir el intervalo [a, b].

Definir propiedad P: El intervalo cerrado E satisface la existencia de x1∈E, x1∈S y la existencia de x2∈E, y x2 no pertenece a S.

Utilice el método de bisección para construir un conjunto de intervalos:

Divida [a, b] en dos subintervalos, entonces al menos uno de ellos tiene la propiedad P. Puede Si desea registrar el intervalo como [a1,b1], entonces [a1,b1] está contenido en [a,b].

Las tres propiedades principales de las funciones continuas en intervalos cerrados: el teorema del valor intermedio, el teorema del valor máximo y el teorema de la continuidad consistente aparecen cuando es necesario y sus demostraciones son continuas con números reales. . Demostrado por el teorema del sexo. Todo el sistema se puede representar en la siguiente figura.

Información ampliada:

El teorema del intervalo cerrado es muy utilizado en proposiciones relacionadas con números reales porque tiene buenas propiedades estructurales. Por tanto, el teorema del intervalo cerrado no sólo tiene importantes propiedades teóricas. Valor y tiene buen valor de aplicación.

Por ejemplo, se utiliza para demostrar el teorema monótono acotado, las propiedades de funciones continuas en intervalos cerrados (acotación, optimidad, existencia de puntos cero, continuidad consistente, etc.), el teorema del valor medio de Lagrange. Teoremas utilizados en cálculo diferencial. A modo de introducción, aquí se proporciona el proceso de demostrar el teorema acotado monótono y el teorema de la media de Lagrange utilizando teoremas de intervalo cerrado. Una secuencia que tiene un límite superior para aumentar monótonamente o un límite inferior para disminuir monótonamente debe converger.

Prueba: tomemos como ejemplo una secuencia que aumenta monótonamente con un límite superior. Supongamos que la secuencia {xn} aumenta monótonamente y tiene un límite superior b. Si la secuencia comienza desde un determinado elemento y todos los elementos son iguales a una determinada constante a, entonces a es el límite de {xn}. Si este no es el caso, es decir, {xn} es estrictamente monótono,

Enciclopedia Baidu - Teorema del intervalo cerrado