El curso imparte diseño de "Diámetro perpendicular a la cuerda"
La primera lección (1)
Objetivos de enseñanza:
(1) Comprender la simetría axial de un círculo y el proceso de derivar el teorema del diámetro perpendicular; ser capaz de aplicar inicialmente el teorema del diámetro vertical para cálculo y demostración.
(2) Cultivar aún más la capacidad de los estudiantes para observar, analizar y resolver problemas.
(3) A través de la simetría; de círculos, cultivar la apreciación estética de las matemáticas de los estudiantes e inspirar el amor de los estudiantes por las matemáticas.
Puntos clave y dificultades de enseñanza:
Puntos clave:
① El teorema del diámetro vertical y su aplicación
② Capacidad de aprendizaje a partir de; perceptivo a racional.
Dificultad: Demostración del teorema del diámetro vertical.
Diseño de actividades de enseñanza y aprendizaje:
(1) Actividades experimentales, planteando preguntas:
1. Experimento: Dejar que los estudiantes utilicen sus propios métodos para explorar el Simetría de círculos, el profesor guía a los estudiantes a descubrir: un círculo tiene simetría axial, simetría central e invariancia de rotación.
2. Hacer preguntas: El profesor guía a los estudiantes para que observen, analicen, descubran y hagan preguntas.
El teorema del diámetro perpendicular se deriva de observaciones perceptuales y racionales a través de experimentos de demostración.
(2) Teorema y demostración del diámetro perpendicular:
Conocido: en ⊙O, CD es el diámetro, AB es la cuerda, CDAB y el pie vertical es E.
Verificación: AE=EB, =, =.
Prueba: Conecte OA y OB, luego OA=OB. También ∵CDAB, la recta CD es el eje de simetría del isósceles △OAB, y es el eje de simetría de ⊙O. Por lo tanto, al plegar a lo largo del diámetro CD, los dos semicírculos a ambos lados de CD coinciden, el punto A y el punto B coinciden, AE y BE coinciden, y , coinciden con , respectivamente. Por lo tanto, AE=BE, =, =. Así, se obtiene una propiedad importante del círculo.
Teorema del diámetro perpendicular: Bisecan la cuerda y bisecan los dos arcos subtendidos por la cuerda.
Organiza a los estudiantes para que analicen las condiciones y conclusiones del teorema del diámetro vertical:
CD es el diámetro de ⊙O, CDAB AE=EB,
Para el conveniencia de aplicación, no es fácil Si ocurre un error, establezca el teorema original como:
①A través del centro del círculo
②Perpendicular a la cuerda
;③Bisección de la cuerda;
④El arco superior subtendido por una cuerda bisectriz;
⑤El arco menor subtendido por una cuerda bisectriz.
Profundizar la comprensión del teorema, resaltar los puntos clave, dispersar los puntos difíciles y evitar confusiones entre los estudiantes.
(3) Aplicación y entrenamiento
Ejemplo 1. Se sabe que en ⊙O, la longitud de la cuerda AB es de 8 cm y la distancia del centro O a AB es de 3 cm. Encuentra el valor del radio ⊙O.
Análisis: Para requerir el radio de ⊙O y conectar OA, solo necesitas encontrar la longitud de OA. Debido a que la distancia desde el punto de condición O a AB es de 3 cm, dibujamos OEAB en E, y. AE= EB=AB=4cm. En este momento, simplemente resuelva Rt△AOE.
Solución: Conectar OA y convertir OEAB en E.
Entonces AE=EB.
∵AB=8cm, AE=4cm.
Y ∵OE=3cm,
En Rt△AOE,
(cm).
El radio de ⊙O es de 5 cm.
Relación: r =h+d; r2 =d2 + (a/2)2
Ejemplo 2. Conocido: Entre los dos círculos concéntricos con O como centro, el más grande círculo La cuerda AB corta el círculo pequeño en dos puntos C y D. Demuestre que AC=BD. (Prueba omitida)
Nota: Esta pregunta es básica y los estudiantes de todos los niveles deben completarla de forma independiente.
Ejercicio 1: Dos preguntas de los Ejercicios 1 y 2 del libro de texto P78. Los estudiantes analizan ideas y los estudiantes evalúan y se comunican entre sí.
Guíe a los estudiantes para que resuman: ①Construya la figura básica del teorema del diámetro vertical La combinación del teorema del diámetro vertical y el teorema de Pitágoras es un método común para calcular la longitud de la cuerda, el radio, la distancia entre el centro de la cuerda y otros. problemas; ②Resolver en un círculo Para problemas relacionados con cuerdas, la distancia entre cuerdas y centros se usa a menudo como una línea auxiliar.
(4) Secciones y Reflexiones
El profesor organiza a los estudiantes para realizar:
Conocimientos:
(1) Simetría axial de un círculo ;
(2) El teorema del diámetro vertical y su aplicación.
Método:
(1) El teorema del diámetro vertical y el teorema de Pitágoras se combinan para calcular la longitud de la cuerda, el radio, la distancia entre el centro de la cuerda y otras cuestiones para construir un triángulo rectángulo;
(2) La distancia entre el centro de la cuerda y la línea auxiliar se usa a menudo para resolver problemas relacionados con las cuerdas en la causa.
(3) Para comprender mejor el teorema del diámetro perpendicular, una línea recta solo necesita satisfacer
① Pasar por el centro del círculo
② Perpendicular a la cuerda, entonces podemos obtener
③ Bisectar la cuerda; cuerda;
④ El arco superior subtendido por la cuerda bisectriz;
p>
⑤El arco menor subtendido por la cuerda bisectriz.
(5) Tarea
11, 12 y 13 del libro de texto P84.
Segunda Lección (2)
Objetivos de enseñanza:
(1) Permitir a los estudiantes dominar los dos corolarios del teorema del diámetro vertical y sus aplicaciones simples;
(2) A través de la discusión de inferencias, los estudiantes desarrollarán gradualmente su capacidad para observar, comparar, analizar, descubrir problemas y resumir problemas. Promover el desarrollo y mejora del nivel de pensamiento creativo de los estudiantes
(3) Penetrar en la relación dialéctica de lo general a lo especial y de lo especial a lo general.
Puntos clave y dificultades de enseñanza:
Puntos clave:
① Dos inferencias del teorema del diámetro vertical
② Métodos de exploración; las inferencias.
Dificultad: Corolario 1 del teorema del diámetro vertical.
Diseño de actividad de aprendizaje:
(1) Teorema de descomposición (análisis del teorema)
1. Preguntas de repaso: Teorema: bisecta esta cadena, y biseca The dos arcos correspondientes a la cuerda.
2. Análisis:
(Orientación del profesor)
(2) Nuevas combinaciones, descubrimiento de nuevos problemas: (Los estudiantes de nivel A forman sus propias combinaciones, comunicación grupal, B (Incluyendo el teorema original, hay 10 tipos)
(3) Explora nuevos problemas y resume nuevas conclusiones:
(1) El diámetro que biseca el La cuerda (no el diámetro) es perpendicular a la cuerda y bisecta los dos arcos correspondientes a la cuerda.
(2) La bisectriz vertical de la cuerda pasa por el centro del círculo y biseca los dos arcos correspondientes a la cuerda.
(3) Dividir en dos el diámetro de un arco subtendido por la cuerda, dividir en dos la cuerda perpendicularmente y dividir en dos el diámetro del otro arco subtendido por la cuerda.
(4) Los arcos entre dos rectas paralelas de un círculo son iguales.
(4) Ejercicios de consolidación:
Ejercicio 1. ¿Es correcto bisecar el diámetro de una cuerda perpendicular a la cuerda y bisecar los dos arcos opuestos por la cuerda? ¿Por qué?
(En Corolario 1 (1), ¿por qué se suma la condición de que no sea un diámetro?)
Ejercicio 2. Rellena los espacios en blanco: En ⊙O,
(1) Si MNAB, MN es el diámetro, entonces ________, ________, ________
(2) Si AC=BC, MN es el diámetro y AB no es el diámetro; ________, ________, ________;
(3) Si MNAB, AC=BC, entonces ________, ________, ________
(4) Si =, MN es el diámetro, entonces ________; , ________, ________.
(El objetivo de este tema: Consolidar teoremas e inferencias)
(5) Aplicación y reflexión
Ejemplo, descuartizamiento.
(Los estudiantes del nivel A pueden completarlo de forma independiente, mientras que los estudiantes de otros niveles deben completarlo bajo la guía del profesor)
La imagen de la pregunta 3 en el libro de texto P80 es una Error típico.
El propósito de esta pregunta es guiar a los estudiantes a aplicar teoremas e inferencias para bisectar arcos y cultivar la capacidad práctica de los estudiantes a través de operaciones independientes para profundizar su comprensión del problema a través de la comparación; con la imagen de la pregunta 3 del libro de texto P80 Reconocimiento del conocimiento perceptual y comprensión del conocimiento racional. Cultivar las habilidades de pensamiento de los estudiantes.
(6) Resumen:
Conocimientos: Dos corolarios del teorema del diámetro vertical.
Habilidades:
① Métodos de investigación de inferencia;
② Dibujo de arcos bisectores.
(7) Tarea:
Lección 3
Aplicación del teorema del diámetro vertical e inferencia en la resolución de problemas
Propósito de la enseñanza:
⑴ Se requiere que los estudiantes dominen el teorema del diámetro vertical y su corolario, y sean capaces de resolver problemas de demostración y cálculo relacionados.
⑵ Cultivar la capacidad de razonamiento lógico riguroso de los estudiantes; mejorar la conciencia de aplicación del pensamiento de ecuaciones y las ideas de discusión de clasificación.
⑶ Proporcionar educación patriótica a los estudiantes a través del Ejemplo 4 (Zhaozhouqiao); e inculcar en los estudiantes el pensamiento materialista dialéctico de que las matemáticas provienen de la práctica y a su vez sirven a la práctica.
Enfoque de la enseñanza: la aplicación del teorema del diámetro vertical y su corolario en la resolución de problemas
Dificultad de enseñanza: Cómo sumar líneas auxiliares
Contenido didáctico:
( 1) Repaso
1 Teorema del diámetro perpendicular y su
Corolario 1: Para una línea recta y un círculo, si se cumple alguna de las siguientes cinco condiciones, entonces también se cumplen las otras tres condiciones Cada una:
⑴ la línea recta pasa por el centro del círculo;
⑵ perpendicular a la cuerda;
⑶ biseca la cuerda
⑷; a qué se opone el acorde Arco menor
⑸ Arco menor subtendido por un acorde bisector. Se puede abreviar como: Zhi 2 Corolario 3
Corolario 2: Los arcos encerrados por dos cuerdas paralelas de una circunferencia son iguales.
2 Aplicar el teorema del diámetro vertical y sus cálculos de inferencia (los estudiantes de cualquier nivel aquí deben estudiar de forma independiente)
Implica la longitud de cuatro segmentos de línea: longitud de la cuerda a, radio del círculo r, cuerda La relación entre la distancia al centro d y la altura del arco h: r =h+d r2 =d2 + (a/2)2
3 Líneas auxiliares que se agregan a menudo: (resumen de los estudiantes)
⑴ Usa la distancia entre las cuerdas y sus centros
⑵ Usa el radio. ————La construcción de un triángulo rectángulo
4 se puede utilizar para demostrar: segmentos de línea iguales, arcos iguales, ángulos iguales y relaciones verticales al mismo tiempo, proporciona una base para cálculos y dibujos; círculos.
(2) Ejemplos de aplicación: (Deje que los estudiantes analicen, comuniquen y respondan, y el maestro los guía para resumir)
Ejemplo 1. El puente de arco de piedra de Zhaozhou construido en Sui Dinastía de mi país hace más de 1.300 años El arco tiene forma de arco, su luz (la longitud de la cuerda opuesta al arco) es de 37,4 metros y la altura del arco (la distancia desde el punto medio del arco hasta la cuerda, también llamada altura del arco) es de 7,2 metros. Encuentre el radio del arco del puente (con una precisión de 0,1 metros).
Descripción:
① Educar a los estudiantes sobre el patriotismo;
② Ideas para resolver problemas de aplicación: Problemas prácticos (transformación, construcción de triángulos rectángulos) Pregunta de matemáticas.
Ejemplo 2. Se sabe que el radio de ⊙O es 5, la cuerda AB∥CD, AB =6, CD =8. Encuentra: la distancia entre AB y CD. (Permita que los estudiantes hagan dibujos)
Solución: Hay dos situaciones:
(1) Cuando las cuerdas AB y CD están a ambos lados del centro O del círculo
Pase por el punto O Como EFAB en E, conecte OA, OC,
También ∵AB∥CD, EFCD.
(Hacer líneas auxiliares es difícil. Los estudiantes a menudo hacen OEAB y OFAB, y obtienen EF=OE+OF, lo cual es una conclusión incorrecta)
Desde EF hasta el centro del círculo O, EFAB, AB =6 , obtenemos AE=3,
En Rt△OEA, según el teorema de Pitágoras, obtenemos
De manera similar, podemos obtener: OF=3
EF=OE+OF=4+3 =7.
(2) Cuando las cuerdas AB y CD están en el mismo lado del centro del círculo O
Se puede obtener el mismo método que (1): OE=4, OF= 3.
Descripción: ① Esta pregunta trata principalmente de impregnar la idea de clasificación y cultivar el pensamiento riguroso y los métodos de resolución de problemas de los estudiantes: determinar análisis gráficos, gráficos, números y formas para resolver problemas; 'Métodos y habilidades para hacer líneas auxiliares.
Ejemplo 3. Se sabe que: AB es la cuerda de ⊙O, el radio OC∥AB, AB=24, OC =15. Solicitud: longitud de BC.
Solución: (Omitido, pasar O como OEAE en E, pasar B como BFOC en F, conectar OB. BC =)
Explicación: Construir un triángulo rectángulo agregando líneas auxiliares, Y encuentre la relación entre los segmentos de línea conocidos y requeridos.
(3) Formación de aplicación:
1 pregunta en P8l.
Después de llenar un poco de aceite en un tanque de aceite cilíndrico con un diámetro de 650 mm. La sección transversal es como se muestra en la figura. Si el ancho de la superficie del aceite es AB=600 mm, encuentre la profundidad máxima del aceite.
Los estudiantes analizan y los profesores brindan la orientación adecuada.
Análisis: Para requerir la máxima profundidad de aceite es encontrar la altura del arco con aceite. La altura del arco es la diferencia entre el radio y la distancia del centro O a la cuerda. No es difícil ver que se puede formar un ángulo recto con la mitad del radio y la cuerda del triángulo, y luego resolverlo usando el Teorema de la Perpendicular y el Teorema de Pitágoras.
(4) Resumen:
1 Al aplicar el teorema del diámetro vertical y su corolario, especifique las condiciones.
2. Problemas que pueden demostrarse mediante la aplicación de teoremas; se centran en la aplicación de ideas de construcción, ideas de ecuaciones e ideas de clasificación en la resolución de problemas.
(5) Tarea: Preguntas 15 y 16 del libro de texto P84, preguntas 2 y 3 del Grupo B en P85.
Actividades de exploración
La línea MN intersecta a ⊙O en los puntos A y B, CD es el diámetro de ⊙O, CEMN está en E, DFMN está en F y OHMN está en H .
(1) ¿Cuál es la relación entre los segmentos de recta AE y BF? ¿Qué tipo de relación cuantitativa satisfacen los segmentos CE, OH y DF? y explicar las razones.
(2) Cuando los dos puntos finales de la línea recta CD están a ambos lados de MN, ¿se puede mantener la relación anterior? Si no, ¿cuál es la relación entre ellos? y explicar las razones.
(Consejos de respuesta: (1) AE=BF, CE+DF=2OH, (2) AE=BF sigue siendo cierto, CE+DF=2OH no puede ser cierto. CE, DF y OH deberían satisfacer)