El encanto del Teorema de Pitágoras. El profesor nos pidió que lo escribiéramos. Por favor, ayúdenme a pensar en ello.

Teorema de Pitágoras

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En segundo grado de la escuela secundaria, inicialmente aprenderemos el Teorema de Pitágoras.

El Teorema de Pitágoras o Teorema de Pitágoras, también conocido como Teorema de Pitágoras. Es un teorema geométrico básico que tradicionalmente se cree que fue demostrado por Pitágoras de la antigua Grecia. Se dice que después de que Pitágoras demostró este teorema, mató cien vacas para celebrarlo, por lo que también se le llama el "Teorema de las cien vacas". En China, "Zhou Bi Suan Jing" registra un caso especial del teorema de Pitágoras. Se dice que fue descubierto por Shang Gao en la dinastía Shang, por lo que también se le llama teorema de Shang Gao de la era de los Tres Reinos; "Zhou Bi Suan Jing" El teorema de Pitágoras recibe una anotación detallada como prueba. Se llama Teorema del Puente del Burro en Francia y Bélgica, y Triángulo Egipcio en Egipto.

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos lados rectángulos. Si los dos lados rectángulos de un triángulo rectángulo son a y b respectivamente, y la hipotenusa es c, entonces el cuadrado de a + el cuadrado de b = el cuadrado de c, es decir, α*α+b*b=; c*c

Extensión: cuando el exponente se cambia a n, el signo igual cambia a un signo menor que

Según las investigaciones, los humanos conocen este teorema desde hace al menos 4.000 años.

Número pitagórico: Sí Los tres enteros positivos que pueden formar a^+b^=c^ se llaman números pitagóricos.

De hecho, en actividades humanas anteriores, la gente ya había reconocido Algunos aspectos de este teorema. Algunos casos especiales. Además de los dos ejemplos anteriores, se dice que los antiguos egipcios también usaban la regla de "enganchar tres hilos, cuatro hilos y cinco" para determinar los ángulos rectos. Sin embargo, esta leyenda ha despertado las sospechas de muchos historiadores de las matemáticas. Por ejemplo, el profesor M. Klein, historiador de matemáticas estadounidense, señaló una vez: "No sabemos si los egipcios reconocieron el teorema de Pitágoras. Sabemos que tenían tiradores de cuerdas (topógrafos), pero se dice que eran La teoría de que "La cuerda fue anudada y dividida en tres secciones con longitudes de 3, 4 y 5, y luego utilizada para formar un triángulo rectángulo, nunca ha sido confirmada en ningún documento", sin embargo, los arqueólogos han encontrado varias piezas. Según investigaciones de los expertos. , una de las antiguas tablillas de arcilla babilónicas que se completó alrededor del año 2000 a. C. tiene grabada la siguiente pregunta: "Un palo con una longitud de 30 unidades se encuentra en posición vertical sobre la pared. Cuando su extremo superior se desliza hacia abajo 6 unidades, "¿A qué distancia está? ¿el extremo inferior desde la esquina de la pared?" Este es un ejemplo especial de un triángulo con tres lados de 3:4:5; los expertos también encontraron una extraña tabla de números tallada en otra tablilla de arcilla. El centro *** está grabado con cuatro columnas y quince filas de números. Esta es una tabla numérica pitagórica: la columna de la derecha es el número de serie del 1 al 15, mientras que las tres columnas de la izquierda son los valores de las hebras, los ganchos y las cuerdas. grupos de números pitagóricos. Esto demuestra que el teorema de Pitágoras ha entrado realmente en el tesoro del conocimiento humano.

El teorema de Pitágoras es una perla de la geometría. Está lleno de encanto. Durante miles de años, la gente ha acudido en masa para demostrarlo. Entre ellos se encuentran famosos matemáticos y pintores, así como aficionados a las matemáticas. Hay gente corriente, dignatarios y dignatarios, e incluso el presidente del país. Quizás sea porque el Teorema de Pitágoras es importante, simple y práctico, y más atractivo para la gente, que ha sido publicitado y demostrado cientos de veces. En 1940 se publicó un álbum de demostraciones del teorema de Pitágoras llamado "La proposición de Pitágoras", que recogía 367 métodos de demostración diferentes. De hecho, es más que eso. Según los datos, hay más de 500 formas de demostrar el teorema de Pitágoras. Solo el matemático de mi país, Hua Hengfang, a finales de la dinastía Qing proporcionó más de 20 métodos de demostración maravillosos. Esto no tiene comparación con ningún teorema. (※No se incluyen demostraciones detalladas del teorema de Pitágoras debido a la complejidad del proceso de demostración).

La razón por la que la gente está interesada en el teorema de Pitágoras es que puede generalizarse.

Euclides dio una generalización del teorema de Pitágoras en sus "Elementos de geometría": "Una figura de lado derecho sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene un área igual al área de los dos rectángulos". lados en ángulo. La suma de las áreas de lados rectos similares."

Del teorema anterior se puede deducir el siguiente teorema: “Si se utilizan los tres lados de un triángulo rectángulo como diámetros para dibujar un círculo, entonces el área del círculo formada con la hipotenusa como el diámetro es igual al área de los dos círculos hechos con los dos lados rectángulos como diámetro.

El teorema de Pitágoras también se puede extender al espacio: usando los tres lados de un triángulo rectángulo como aristas correspondientes para construir poliedros similares, el área de la superficie del poliedro sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de superficie de los dos poliedros en los lados en ángulo recto.

Si se utilizan tres lados de un triángulo rectángulo como diámetros para construir esferas, entonces el área superficial de la esfera sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas superficiales de las dos esferas construidas sobre la dos lados en ángulo recto.

Y así sucesivamente.

Apéndice

Introducción a "Zhou Bi Suan Jing"

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Diez Sutras de "Zhou Bi Suan Jing" "Uno de los libros. Escrito alrededor del siglo II a. C., originalmente se llamaba "Zhou Bi". Es el trabajo astronómico más antiguo de mi país. Explica principalmente la teoría de Gaitian y el calendario de cuatro partes de esa época. A principios de la dinastía Tang, fue designado como uno de los libros de texto para el departamento Ming Suan de Guozijian, por lo que pasó a llamarse "Zhou Bi Suan Jing". El principal logro matemático de "Zhou Bi Suan Jing" es la introducción del teorema de Pitágoras y su aplicación en la medición. El libro original no prueba el teorema de Pitágoras. La prueba fue dada por Zhao Shuang, un nativo de Soochow durante el período de los Tres Reinos, en las "Notas sobre la plaza de Pitágoras" del libro "Zhou Bi Zhu". "Zhou Bi Suan Jing" utiliza métodos aritméticos de fracciones y raíces cuadradas bastante complejos.

La historia de la demostración del teorema de Pitágoras por parte de Garfield

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Una tarde de fin de semana de 1876, en las afueras de Washington, la capital En los Estados Unidos, había un hombre de mediana edad que estaba dando un paseo y disfrutando del hermoso paisaje al anochecer. Era Garfield, el entonces congresista republicano de Ohio. Mientras caminaba, de repente encontró a dos niños en un pequeño banco de piedra cercano que estaban concentrados en algo, a veces discutiendo en voz alta, a veces discutiendo en voz baja. Impulsado por la curiosidad, Garfield siguió el sonido y caminó hacia los dos niños, tratando de descubrir qué estaban haciendo. Vi a un niño pequeño inclinado y dibujando un triángulo rectángulo en el suelo con una rama. Entonces Garfield preguntó qué estaban haciendo. El pequeño dijo sin levantar la cabeza: "Disculpe señor, si los dos lados rectángulos de un triángulo rectángulo son 3 y 4 respectivamente, entonces ¿cuál es la longitud de la hipotenusa?" Garfield respondió: "Es 5". " El niño luego preguntó: "Si las longitudes de los dos lados rectángulos son 5 y 7 respectivamente, ¿cuál es la longitud de la hipotenusa de este triángulo rectángulo?" Garfield respondió sin pensar: "El cuadrado de la hipotenusa debe ser igual a 5 al cuadrado más 7 al cuadrado". El niño volvió a decir: "Señor, ¿puede decir la verdad?" Garfield se quedó sin palabras y no podía explicarlo, y se sentía muy incómodo.

Así que Garfield dejó de caminar e inmediatamente se fue a su casa para discutir los problemas que el pequeño le había dado. Después de pensar y calcular repetidamente, finalmente descubrió el motivo y dio un método de prueba conciso.

De la siguiente manera:

Solución: El contenido del teorema de Pitágoras: La suma de los cuadrados de los dos lados rectángulos a y b de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa c,

a ^2;+b^2;=c^2;

Explicación: Los antiguos eruditos chinos llamaban al lado rectángulo más corto de un triángulo rectángulo " gancho", el lado más largo en ángulo recto "hebra" y la hipotenusa se llama "cuerda", por lo que este teorema se llama "Teorema de Pitágoras". El teorema de Pitágoras revela la relación entre los lados de un triángulo rectángulo.

Por ejemplo: Si los dos lados rectángulos de un triángulo rectángulo son 3 y 4 respectivamente, entonces la hipotenusa c2= a2+b2=9+16=25

Significa que la hipotenusa es 5 .

Teorema de Pitágoras

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Capítulo 1 El Teorema de Pitágoras 1. El contenido del Teorema de Pitágoras y cómo se obtuvo, qué inspiración hizo obtienes de la demostración del teorema? Ejercicio: El área del cuadrado representado por la letra B en la figura es ( ) A. 12 B. 13 C. 144 D. 194 1. En △ABC, ∠C =Rt∠ (1) Si a =. 2, b = 3 Entonces el área del cuadrado con c como lado = (2) Si a =5, c =13 Entonces b = . (4) Si a∶c = 3:5 y c =20, entonces b = . (5) Si ∠A =60° y AC =7cm, entonces AB = cm, BC 2 = cm2. El lado angulado y la hipotenusa de un triángulo rectángulo miden 8 cm y 10 cm respectivamente. Entonces la altura de la hipotenusa es igual a 3 cm. El perímetro del triángulo isósceles es de 20 cm, la altura de la base es de 6 cm, luego la longitud del triángulo. la base es cm 4. En △ABC, AB=AC, ∠BAC=120 °,AB=12cm, entonces la altura AD en el lado BC = cm. Conocido: En △ABC, ∠ACB=90°, CD. ⊥AB en D, BC= ,DB=2cm, luego BC cm, AB= cm, AC= cm 6. Como se muestra en la figura, una persona quiere cruzar un río debido a la influencia de la corriente. El punto de la costa C está a 200 m del punto B previsto. Como resultado, en realidad nada 520 m en el agua. Calcula el ancho del río como _______. 7. Hay dos monos de 10 metros de altura en un árbol. Un mono bajó del árbol y caminó hasta el punto A del estanque a 20 metros del árbol. El otro trepó a la copa del árbol D y luego saltó directamente a A. La distancia se calcula como una línea recta. Si la distancia recorrida por los dos monos es igual, el árbol tiene _________ metros de altura.

8. Se sabe que las longitudes de los dos lados de un Rt△ son 3 y 4 respectivamente, entonces el cuadrado del tercer lado es ( )

A, 25 B. , 14 C, 7 D , 7 o 25

9. La madre de Xiaofeng compró un televisor de 29 pulgadas (74 cm). ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre 29 pulgadas es correcta?

A. Xiaofeng piensa que se refiere a la longitud de la pantalla; B. La madre de Xiaofeng cree que se refiere al ancho de la pantalla;

C. piensa que se refiere a La longitud de la diagonal de la pantalla

10.

2. ¿De cuántas maneras tienes para demostrar que un triángulo es un triángulo rectángulo?

Ejercicio:

Las longitudes de los tres lados de un triángulo son (a+b)2=c2+2ab, entonces este triángulo es ( )

A. Triángulo equilátero; B. Triángulo obtuso; C. Triángulo rectángulo; D. Triángulo agudo.

1. En ΔABC, si AB2 + BC2 = AC2, entonces ∠A + ∠C = °.

2. Como se muestra en la figura, △ABC en la cuadrícula del cuadrado, si la longitud del lado del cuadrado pequeño es 1, entonces △ABC es ( )

(A) Derecha triángulo (B) Triángulo agudo

(B) (C) Triángulo obtuso (D) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta

Se sabe que las longitudes de los tres lados del triángulo son 2n+1, 2n +2n, 2n + 2n+1 (n es un entero positivo), el ángulo máximo es igual a _________ grados.

3. el cuadrilátero ABCD, AB=3cm, AD=4cm, BC=13cm, CD =12cm y ∠A=90°, encuentra el área del cuadrilátero ABCD.

Métodos de demostración únicos

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Existe un teorema muy importante en trigonometría, que en nuestro país se llama teorema de Pitágoras. El teorema de Shang-Gao. Porque "Zhou Bi Suan Jing" mencionó que Shang Gao dijo "enganche tres hilos, cuatro hilos y cinco". Varias de estas pruebas se presentan a continuación.

La prueba original era del tipo dividida. Sean a y b los lados rectángulos de un triángulo rectángulo y c la hipotenusa. Considere los dos cuadrados A y B en la siguiente figura con longitudes de lados a+b. Divida A en seis partes y B en cinco partes. Dado que ocho triángulos rectángulos pequeños son congruentes, al restar cantidades iguales de cantidades iguales, podemos deducir que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados derechos.

El cuadrilátero en B aquí es un cuadrado con longitud de lado c porque la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo rectángulo es igual a dos ángulos rectos. El método de prueba anterior se llama método de prueba de congruencia por resta. La imagen B es la "imagen de cuerda" del "Zhou Bi Suan Jing" de mi país.

La imagen de abajo es H. La prueba dada por Perigal en 1873 es una prueba de congruencia aditiva. De hecho, esta prueba fue redescubierta, porque este método de división ya era conocido por labitibn Qorra (826~901). (Por ejemplo: la imagen de la derecha) La siguiente prueba fue dada por S.E. Dudeney en 1917. También utiliza un método de prueba de congruencia aditiva.

Como se muestra en la figura de la derecha, el área del cuadrado con longitud de lado b más el área del cuadrado con longitud de lado a es igual al área del cuadrado con longitud del lado c.

Se dice que el método de prueba de la figura siguiente fue diseñado por Leonardo da Vinci (da Vinci, 1452～1519) y utiliza el método de prueba de congruencia por resta.

Euclides dio una demostración extremadamente inteligente del Teorema de Pitágoras en la Proposición 47 del Volumen 1 de sus Elementos, como se muestra en la imagen de la página siguiente. Debido a los hermosos gráficos, algunas personas lo llaman "el turbante del monje", mientras que otros lo llaman "la silla de manos de la novia", lo cual es realmente interesante. El profesor Hua Luogeng sugirió una vez enviar esta imagen al universo para comunicarse con los "extraterrestres". El esquema de la prueba es:

(AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL.

De manera similar, (BC)2=KEBL

Entonces

(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2< / p>

El matemático y astrónomo indio Bhaskara (activo alrededor de 1150) dio una maravillosa demostración del teorema de Pitágoras, que también es una prueba segmentada. Como se muestra en la siguiente imagen, divide el cuadrado de la hipotenusa en cinco partes. Cuatro de las partes son triángulos que son congruentes con el triángulo rectángulo dado; una parte es un cuadrado pequeño y la diferencia entre los dos lados rectángulos es la longitud del lado. Es fácil volver a juntar las cinco partes para obtener la suma de los cuadrados con dos lados rectángulos. De hecho,

Bashikara también dio un método de demostración como se muestra a continuación. Dibuja la altura de la hipotenusa del triángulo rectángulo para obtener dos pares de triángulos semejantes, de modo que

c/b=b/m,

c/a=a/n,

c/a=a/n,

p>

cm=b2

cn=a2

Agrega ambos lados obtener

a2+b2=c(m+n)=c2

Esta prueba fue demostrada en el siglo XVII por el matemático británico J. Redescubierto por Wallis (1616～1703).

Varios presidentes estadounidenses tienen conexiones sutiles con las matemáticas. G. Washington fue una vez un famoso topógrafo. T. Jefferson había promovido vigorosamente la educación matemática superior en los Estados Unidos. A. Lincoln aprendió lógica estudiando los Elementos de Euclides. Aún más creativo fue el decimoséptimo presidente J. A. Garfield (1831～1888) tenía un gran interés y un talento extraordinario en las matemáticas elementales cuando era estudiante. En 1876 (cuando era miembro de la Cámara de Representantes y cinco años más tarde elegido Presidente de los Estados Unidos) dio una hermosa demostración del Teorema de Pitágoras, que se publicó en el New England Journal of Education. La idea de la prueba es utilizar las fórmulas de áreas de trapecios y triángulos rectángulos. Como se muestra en la imagen de la página siguiente, es un trapecio rectángulo compuesto por tres triángulos rectángulos. Usa diferentes fórmulas para encontrar la misma área

Es decir

a2+2ab+b2=2ab+c2

a2+b2=c2

Este tipo de demostración suele ser de interés para los estudiantes de secundaria cuando aprenden geometría.

Hay muchas formas ingeniosas de demostrar este teorema (se dice que hay casi 400 tipos). Aquí se presentan algunas a los estudiantes. Todas se demuestran utilizando el método del rompecabezas.

Prueba 1 Como se muestra en la Figura 26-2, dibuja los cuadrados ABDE, ACFG y BCHK fuera del triángulo rectángulo ABC. Sus áreas son c2, b2 y a2 respectivamente. Sólo nos falta demostrar que el área del cuadrado grande es igual a la suma de las áreas de los dos cuadrados pequeños.

Cruza C con CM‖BD, cruza AB con L y conecta BC y CE.

Porque

AB=AE, AC=AG ∠CAE=∠BAG,

Entonces △ACE≌△AGB

SAEML=SACFG (1)

El mismo método puede probar

SBLMD=SBKHC (2)

(1)+(2), obtenemos

SABDE=SACFG+ SBKHC,

Es decir, c2=a2+b2

Prueba 2 Como se muestra en la Figura 26-3 (diagrama de Zhao Junqing), se utilizan ocho triángulos rectángulos ABC para formar un cuadrado grande CFGH su longitud de lado es a+b, hay un cuadrado inscrito ABED dentro de él, su longitud de lado es c, como se puede ver en la figura.

SCFGH=SABED+4×SABC,

Entonces a2+b2=c2

El método de prueba 3 se muestra en la Figura 26-4 (diagrama de Mei Wending) .

Construye un cuadrado ABDE hacia afuera sobre la hipotenusa AB del ángulo recto △ABC, y un cuadrado ACGF sobre el ángulo recto AC. Se puede probar (omitir) que extender GF debe pasar E; extender CG a K de modo que GK=BC=a, conectar KD y construir DH⊥CF en H, entonces DHCK es un cuadrado con una longitud de lado a. Supongamos

el área del pentágono ACKDE = S

Por un lado,

S = el área del cuadrado ABDE + 2 veces el área de △ABC

=c2+ab (1)

Por otro lado,

S=área del cuadrado ACGF+área del cuadrado DHGK

+2 veces el área de △ABC

=b2+a2+ab (2)

De ( 1), (2) obtenemos

c2=a2+b2

Prueba 4 Como se muestra en la Figura 26-5 (diagrama de Xianmingda), dibuje un cuadrado ABDE en la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC, y luego use los dos lados rectángulos CA y CB del triángulo rectángulo ABC como base para completar un cuadrado con longitud de lado b BFGJ (Figura 26-5). Se puede probar (omitir) que la línea de extensión de GF debe pasar por D. Extienda AG a K de modo que GK=a, y deje EH⊥GF en H, entonces EKGH debe ser un cuadrado con una longitud de lado igual a a.

Supongamos que el área del pentágono EKJBD es S. Por un lado

S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)

Por otro lado,

S=SBEFG+2?S△ ABC+SGHFK

=b2+ab+a2

El argumento se extrae de (1) y (2)

son todo basado en el área Verificar: Un área grande es igual a la suma de varias áreas pequeñas. Use diferentes representaciones de la misma área para obtener la ecuación y luego simplifíquela para obtener el teorema de Pitágoras) La imagen se muestra en /21010000/vcm/0720ggdl.doc

El teorema de Pitágoras es uno de los teoremas con la mayor cantidad de métodos de demostración en matemáticas. Uno: ¡hay más de cuatrocientas formas de demostrarlo! Pero la primera prueba registrada, el método de Pitágoras, se ha perdido. El método de prueba más antiguo disponible actualmente pertenece al antiguo matemático griego Euclides. Su demostración fue en forma de razonamiento deductivo y quedó registrada en la obra maestra de matemáticas "Elementos de geometría". Entre los antiguos matemáticos chinos, la primera persona en demostrar el teorema de Pitágoras fue Zhao Shuang, un matemático del estado de Wu durante el período de los Tres Reinos. Zhao Shuang creó un "Diagrama de círculo y cuadrado de Pitágoras" y dio una prueba detallada del teorema de Pitágoras combinando números y formas. En este "Diagrama del cuadrado pitagórico", el cuadrado ABDE obtenido con la cuerda como longitud del lado se compone de 4 triángulos rectángulos iguales más el cuadrado pequeño en el medio. El área de cada triángulo rectángulo es ab/2; la longitud del lado del cuadrado pequeño en el medio es b-a, por lo que el área es (b-a) 2. Entonces podemos obtener la siguiente fórmula: 4×(ab/2)+(b-a) 2 =c 2 Después de la simplificación, podemos obtener: a 2 +b 2 =c 2 Es decir: c= (a 2 +b 2 ) (1/2) La prueba de Zhao Shuang es única y muy innovadora. Utilizó el truncamiento, el corte, la ortografía y el complemento de figuras geométricas para demostrar la relación de identidad entre expresiones algebraicas, que es a la vez rigurosa e intuitiva. Proporcionó la base para que la antigua China demostrara números, unificara formas y números, y combinara estrechamente el álgebra y el álgebra. Geometría. Los estilos únicos que son inseparables entre sí dan ejemplo.

La siguiente URL es el "Diagrama cuadrado pitagórico" de Zhao Shuang: /catchpic/0/01/01F9D756BE31CE31F761A75CACC1410C.gif La mayoría de los matemáticos posteriores heredaron este estilo y lo desarrollaron, pero la división, unión, desplazamiento y complemento de los gráficos específicos son ligeramente diferentes. . Por ejemplo, cuando Liu Hui demostró el teorema de Pitágoras más tarde, también utilizó el método de prueba formal de números. Liu Hui utilizó el "método complementario de entrada y salida", es decir, el método de prueba de cortar y pegar. Ciertas áreas del cuadrado con Pitágoras como lado lo recortan (fuera) y lo mueven al área en blanco del cuadrado con la cuerda como lado (hacia adentro). El resultado es que simplemente se llena. se resuelve completamente utilizando el método del diagrama. La siguiente URL es la "Imagen de entrada de Green y Zhu" de Liu Hui: /catchpic/A/A7/A7070D771214459D67A75E8675AA4DCB.gif

El teorema de Pitágoras se utiliza ampliamente. Otro libro antiguo del Período de los Reinos Combatientes en mi país, "Doce notas a la posdata de la historia del camino", contiene este registro: "Yu controlaba las inundaciones y cortaba los ríos. Observaba las formas de las montañas y ríos, determinó las tendencias altas y bajas, eliminó desastres monstruosos y dirigió las aguas hacia el Mar de China Oriental. No hay peligro de ahogamiento, por lo que este fenómeno pitagórico está relacionado con la vida "El significado de este pasaje es que para. Para controlar las inundaciones, Dayu hizo que los ríos fluyeran incontrolablemente. Determinó la dirección del flujo de agua de acuerdo con la altura del terreno y aprovechó la situación para hacer que la inundación fluyera hacia el mar, ya no habrá desastres por inundaciones. es el resultado de aplicar el teorema de Pitágoras.

El Teorema de Pitágoras tiene una amplia gama de aplicaciones en nuestras vidas.