Plan de lección de Matemáticas optativas 1-1 para escuela secundaria "Tasa de cambio y derivadas"

Electiva 1-1 de Matemáticas de secundaria, Plan de lección 1 "Tasa de cambio y derivadas"

1. Contenido y análisis de contenido

El contenido de esta sección es seleccionado del libro de texto experimental estándar del curso Educación popular Una versión es un curso inicial sobre derivados. El contenido principal incluye el problema de la tasa de cambio y el concepto de derivados.

La derivada es el concepto central del cálculo. Tiene una base práctica extremadamente rica y una amplia gama de aplicaciones. En el estudio de este capítulo, los estudiantes aprenderán el conocimiento relevante de los derivados, experimentarán los métodos de pensamiento contenidos en ellos, sentirán su papel en la resolución de problemas prácticos y comprenderán el valor cultural del cálculo.

El punto de partida para aprender el concepto de derivadas en el libro de texto del plan de estudios es el límite. Esta forma de establecer conceptos es estrictamente lógica y sistemática, pero a los estudiantes les resulta difícil comprender la definición formal de límites, lo cual. También afecta su comprensión de los derivados.

El libro de texto estándar del curso no presenta la definición formal de límites y conocimientos relacionados, pero utiliza cálculos de lista para captar intuitivamente la tendencia cambiante de las funciones (lo que implica la definición descriptiva de límites). Este método intuitivo y vívido contiene. la idea de aproximación, las ventajas de definir las derivadas de esta manera son:

1. Permitir que los estudiantes se concentren más en comprender la naturaleza de las derivadas

2. Los estudiantes tienen una; comprensión de la idea de aproximación Con una base intuitiva rica y cierta comprensión, es propicio para aprender definiciones de límites estrictos en la etapa primaria de la universidad

Con base en el análisis anterior, el enfoque de enseñanza de esto. La lección es: enriquecer la experiencia perceptual de los estudiantes, aplicar el método de pensamiento de aproximación guía a los estudiantes a explorar y comprender la idea y la connotación de las derivadas.

2. Análisis de objetivos y metas

1. A través del análisis de ejemplos, experimente el proceso de transición de la tasa de cambio promedio a la tasa de cambio instantánea, comprenda los antecedentes reales del concepto derivado y conocer la tasa de cambio instantánea Es la derivada y comprender la idea y la connotación de la derivada

2. Cultivar la capacidad de los estudiantes para observar, analizar, comparar y generalizar abstractamente a través de cálculos prácticos; , y experimentar el método de pensamiento de aproximación 3. Experimentar cambios en la vida El problema de la tasa resume de manera abstracta el proceso de la tasa de cambio promedio, y nos damos cuenta de que el conocimiento matemático proviene de la vida y sirve a la vida. Experimente los métodos de pensamiento matemático desde lo específico hasta lo general a través del proceso de formación de conceptos.

3. Análisis Diagnóstico de Problemas de Enseñanza

1. Soplar globos es una experiencia de vida que tienen muchas personas, y la velocidad del movimiento es un conocimiento de física con el que los estudiantes están muy familiarizados. pero ¿cómo abstraerlo de ejemplos específicos? La esencia de diferentes problemas matemáticos es una de las claves para enseñar esta lección. Para el problema de inflado de globos, las variables independientes y los valores de las funciones en el proceso de cambio deben analizarse desde la perspectiva de las funciones y, naturalmente, se debe guiar a los estudiantes para que establezcan la relación funcional entre el radio r y el volumen V durante el inflado; En el proceso, deben prestar atención a la observación o la imaginación y poner en práctica la operación real. Traducido al lenguaje matemático correspondiente, por ejemplo, cuando se sopla un soplo de casi el mismo tamaño, significa que el volumen del mismo aumenta. el globo es el mismo, etc.

2. Esta es la primera vez que se utiliza la velocidad promedio para resolver el problema de la velocidad instantánea. Es difícil hacerlo bien de inmediato. Por lo tanto, la transición de la tasa de cambio promedio a la tasa de cambio instantánea. es una parte importante de esta lección. Al mismo tiempo, aunque los estudiantes han estado expuestos a la idea de "aproximación" involucrada en este problema en el estudio de Matemáticas 1 "Dichotomía", todavía es difícil aplicarlo sin práctica repetida. , entonces "aproximación" La penetración de ideas y la aplicación de métodos de "aproximación" serán un punto difícil en esta lección.

Con base en el análisis anterior, la dificultad de enseñanza de esta lección es ayudar a los estudiantes a comprender el problema de la tasa de cambio promedio de los globos y la aplicación del método de pensamiento de "aproximación".

IV.Análisis de las condiciones de apoyo a la enseñanza

Utilizar la tecnología de la información en la enseñanza de manera oportuna, aprovechar al máximo las ventajas de la tecnología de la información y ayudar a los estudiantes a comprender mejor los conceptos 1. Por convertir los resultados del cálculo en objetos físicos La proyección permite a los estudiantes participar activamente en el aula y mantener un alto nivel de actividades de pensamiento.

2. A través de demostraciones del bloc de dibujo geométrico, los estudiantes pueden comprender conceptos de manera más intuitiva y vívida;

5. Diseño del proceso de enseñanza

1. Crear situaciones e introducir nuevas lecciones

Introducción al profesor: La creación del cálculo es un hito en el desarrollo de las matemáticas; Y su aplicación generalizada creó un nuevo período de transición a las matemáticas modernas, proporcionando métodos y medios importantes para estudiar variables y funciones.

En este capítulo, los estudiantes utilizarán una gran cantidad de ejemplos para experimentar el proceso de describir problemas de la vida real desde la tasa de cambio promedio hasta la tasa de cambio instantánea. Luego, primero estudiaremos la cuestión de la tasa de cambio para introducir una. nueva lección.

Intención del diseño: explorar completamente el valor didáctico de la introducción del capítulo, que explica tres aspectos del problema: primero, señala brevemente la relación entre las funciones y el cálculo; segundo, describe la historia de la creación del cálculo; y su estado; tercero, resumir el contenido de aprendizaje de este capítulo.

2. Explorar ejemplos para obtener conceptos.

Pregunta 1: Es posible que tengas experiencia inflando globos. Durante el proceso de inflar un globo, se puede encontrar que a medida que aumenta el volumen de aire en el globo, el radio del globo aumenta cada vez más lentamente. ¿Quiénes son las variables independientes y los valores de las funciones en este proceso? Intente establecer la relación funcional entre ellos. ¿Cómo describir el proceso de cambio anterior desde una perspectiva matemática?

Intención del diseño: refinar el modelo matemático. El análisis de ejemplos de vida proporciona una base concreta para el concepto de tasa de cambio promedio de una función de inducción.

Actividades profesor-alumno: recordar el proceso de inflar globos (o dejar que los alumnos inflen globos en el acto) y establecer la función del radio r con respecto al volumen V

Relación matemática: r(V)?

p>

r(V2)?r(V1)

. A través de la observación y el cálculo, utilice datos para explicar el fenómeno anterior y demuéstrelo mediante un bloc de dibujo geométrico para experimentar el fenómeno anterior de manera más realista

　V2?V1

La Figura 1 demuestra visualmente que cuando el volumen de la bola aumenta (el área de la parte negra se vuelve más grande y la parte verde se vuelve más delgada), el radio aumenta cada vez más. La Figura 2 demuestra que cuando los puntos A y B se mueven hacia la derecha, el incremento de la variable independiente permanece sin cambios, pero la tasa promedio de cambio se vuelve cada vez más pequeña.

Figura 1

Pregunta 2 ¿Cómo podemos describir con mayor precisión el estado de movimiento del atleta?

Intención del diseño: ejemplos de análisis, modelos matemáticos abstractos y funciones inductivas. El concepto de tasa de cambio promedio proporciona otro trasfondo importante y permite a los estudiantes sentir inicialmente las deficiencias de la tasa de cambio promedio, estimulando el deseo de explorar más a fondo nuevos conocimientos.

Actividades profesor-alumno:

Pregunta 2

¿Cuál es la fórmula para calcular la tasa de cambio promedio v

h(? t2)?h( t1)

　t2?t1

　Y da explicaciones intuitivas con la ayuda de pinturas geométricas.

3. Analice, resuma y comprenda el concepto.

Pregunta 3 Compare la relación de cálculo de la tasa de cambio promedio en la pregunta 1 y la pregunta 2. ¿Cuáles son sus diferentes características en general? funciones f (x), ¿cómo calcular su tasa de cambio promedio?

Intención de diseño: permitir a los estudiantes combinar dos ejemplos, comparar y analizar, abstraer y resumir la forma general y experimentar el proceso matemático de especial a general.

Actividades profesor-alumno: los alumnos discuten, analizan y resumen a partir de los ejemplos anteriores, y sacan conclusiones:

f(x2)?f(x1) se llama función f (x) de x1 Definición del cambio promedio a x2: Generalmente, en la función y=f(x), la fórmula 21f(x2)?f(x1)?y tasa, entonces

　x2 ?x1?x

p>

Entre ellos, los valores de △x y △ y pueden ser positivos o negativos, pero el valor de △x no puede ser 0 y el valor de △ y puede ser 0.

x?x

Si la función f(x) es una función constante, △ y =0. Variaciones:

　f(x)?f(x)f(x? x)?f(x)

　x?x

　2

　1

　1

　1

　2

　1

p>

.

　21

Pregunta 4 Observa la tasa de cambio promedio de la función f(x), y analiza el promedio combinado con la pendiente de la recta

f(x)?f(x )

　x2?x1

　?y?x

¿Cuál es el significado geométrico de la tasa de cambio

Figura 4

Intención del diseño: Obtener el significado geométrico de la tasa de cambio promedio desde una perspectiva geométrica, incorporando la idea de combinar números y formas.

r(v0?v)?r(v0). ?v?0?vlim

Pregunta 8 ¿Cómo expresar la tasa de cambio instantánea de la función general f(x) en x?x0

Intención del diseño: ¿guiar a los estudiantes a abandonar? preguntas específicas La importancia práctica es obtener de forma abstracta la tasa de cambio instantánea de una función en un punto determinado, es decir, la derivada, lo que ayuda a los estudiantes a lograr un salto en la comprensión.

Actividades profesor-alumno: Plantear el concepto de derivadas a partir de las dos preguntas anteriores:

Generalmente, la tasa de cambio instantánea de la función f(x) en x?x0 es :

lim

y?|f?(x0)?lim se llama derivada de la función y = f (x) en x = x0, denotada como f?(x0 ) o x ?x , es decir: ?x?00?x?0f(x?x)?f(x) ?y?lim x00 ?x?0 f(x0?x)?f(x0) .? x

5. Resumen autónomo y mejora de la comprensión

Pregunta 9: ¿Qué has ganado al estudiar esta lección

Intención del diseño: ayudar a los estudiantes a? resumir por su cuenta Construir un sistema de conocimiento, aclarar el contexto del conocimiento y comprender mejor el conocimiento y los métodos de pensamiento de esta lección.

Actividades profesor-alumno: Revelar pensamiento funcional, métodos de pensamiento de aproximación y generalizaciones abstractas en el proceso de formación de conceptos a partir de resúmenes independientes de los estudiantes.

VI. Diseño de detección de objetivos

1. La refinación del petróleo crudo en diferentes productos como gasolina, diésel y plástico requiere enfriamiento y calentamiento del petróleo crudo. Si

　2? En el momento x h, la temperatura del petróleo crudo (unidad: c) es f(x)?x?7x?15(0?x?8).

(1) Calcule la tasa de cambio instantáneo de la temperatura del petróleo crudo a las 2 h y 6 h, y explique su importancia.

(2) Calcule la tasa de cambio instantáneo de la temperatura del petróleo crudo en las horas 3 y 5 y explique su significado.

2. Se sabe que el desplazamiento (m) del movimiento de un objeto y el tiempo t (s) satisfacen la relación S(t)=-2t2+5t

(1) Encuentra la quinta posición del objeto Segundos y la velocidad instantánea del sexto segundo.

(2) Encuentre la velocidad instantánea del objeto en el tiempo t.

(3) Encuentre la aceleración del objeto en el tiempo t y determine qué movimiento está haciendo el objeto.

Intención del diseño: el propósito es permitir que los estudiantes aprendan a observar la física. modelos desde una perspectiva matemática y establecer la conexión entre varias disciplinas y una comprensión más profunda de las leyes de los cambios en las cosas.

Matemáticas de secundaria optativa 1-1 "Tasa de cambio y derivadas" Plan de lección 2

Preparación para la enseñanza

Objetivos de enseñanza

(1) Comprender el concepto. de tasa de cambio promedio

(2) Comprender los conceptos de velocidad instantánea, tasa de cambio instantánea

(3) Comprender el concepto de derivadas

(4) Ser capaz de encontrar funciones en La derivada o tasa de cambio instantánea de un determinado punto.

2. Enfoque de la enseñanza/puntos de dificultad

Enfoque de la enseñanza: los conceptos de velocidad instantánea. , tasa de cambio instantánea y la formación y comprensión del concepto de derivadas

Dificultades en la enseñanza: Ser capaz de encontrar la derivada de una función simple y=f(x) en x=x0

3. Herramientas didácticas

Multimedia, escritura en pizarra

　4.Etiquetas

Proceso de enseñanza

1. Crear escenarios e introducir temas

En el siglo XVII, en los primeros días del desarrollo del capitalismo europeo, debido a la escasez de fábricas, la transición de la industria artesanal a la producción mecánica mejoró la productividad y promovió el rápido desarrollo de la ciencia y Uno de los logros más destacados son los fructíferos resultados de la investigación matemática: la producción del cálculo.

Board performance/PPT

Los profesores descubrieron que en los saltos desde plataformas altas, la altura del atleta h (unidad: metros) en relación con la superficie del agua está relacionada con el tiempo después del despegue t (unidad : segundos) Existe una relación funcional

h(t)=-4.9t2+6.5t+10

Cómo describir aproximadamente el estado de movimiento de un atleta usando su velocidad promedio dentro de un. cierto período de tiempo?

Bloquear espectáculo/PPT

Dejar que los estudiantes hablen libremente. El profesor no se apresura a sacar conclusiones, sino que continúa guiando a los estudiantes: si quiere saber la conclusión. , observemos y estudiemos juntos.

La intención del diseño entra naturalmente en el contenido del tema.

2. Exploración de nuevos conocimientos

[1] La cuestión de la tasa de cambio

Exploración colaborativa

Exploración 1 Tasa de inflación del globo

Muchas personas han inflado globos. Si recuerdas el proceso de inflar globos, puedes encontrar que a medida que aumenta el volumen de aire en el globo, el radio del globo aumenta cada vez más lentamente. Perspectiva matemática, ¿cómo describir este fenómeno?

La relación funcional entre el volumen V (unidad: L) y el radio r (unidad: dm) del globo es

Si el El radio r se expresa en función del volumen V, entonces

p>

Práctica de tablero/PPT

Actividades

Análisis

Cuando V aumenta de 0 a 1, el radio del globo aumenta la tasa de expansión promedio del globo es (1) cuando V aumenta de 1 a 2, el radio del globo aumenta la tasa de expansión promedio del globo

　0.62>0.16

Se puede ver que a medida que el volumen del globo aumenta gradualmente, su tasa de expansión promedio se vuelve gradualmente menor.

Piense en cuál es la tasa de expansión promedio de. el globo cuando el volumen de aire aumenta de V1 a V2

Análisis:

Explore 2 High Platform Diving

En el buceo en plataforma alta, existe una relación funcional. h (t)=-4.9t2+6.5t+10.

¿Cómo describir aproximadamente el estado de movimiento de un atleta usando su velocidad promedio en un período de tiempo determinado?

(¿Calcule? )

　Desempeño de la junta/PPT

Los estudiantes levantan la mano para responder

Actividad Los estudiantes sienten que las preguntas son valiosas y desafiantes, y están ansiosos por saber cómo para resolver los problemas.

Análisis del profesor: h(t)=-4.9t2+6.5t+10

Las dos preguntas sobre la intención del diseño van de fácil a difícil, lo que permite a los estudiantes avanzar un paso en un tiempo. Cumplir el propósito de introducir el concepto de tasa de cambio y profundizar la comprensión del concepto de tasa de cambio.

Exploración 3 Calcula la velocidad promedio del atleta durante

este período de tiempo, y piensa en las siguientes preguntas:

(1) ¿Cuál es la velocidad del atleta? ¿La velocidad promedio durante este período de tiempo es estacionaria?

(2) ¿Crees que hay algún problema con el uso de la velocidad promedio para describir el estado de movimiento de los atletas? /PPT

Ejemplos de estudiantes Respuesta manual

Cuando un profesor está buceando en plataforma alta, la velocidad promedio no puede reflejar con precisión su estado de movimiento durante este período de tiempo.

Profesores y estudiantes sacan conclusiones conjuntamente

Tasa de cambio promedio:

La relación funcional en los dos problemas anteriores se expresa como y = f (x), luego la tasa de cambio en el problema se puede expresar mediante la fórmula

Ponemos Esta fórmula se llama tasa de cambio promedio de la función y=f(x) de x1 a x2

Es habitual. usar ?x=x2-x1,?y=f(x2)-f(x1)

Aquí?x se considera como un incremento de x1.x1+?x se puede usar en lugar de x2

¿De manera similar? y=f(x2)-f(x1), entonces, La tasa de cambio promedio se puede expresar como:

Significancia geométrica Observando la gráfica de la función f(x) , ¿cuál es el significado geométrico de la tasa de cambio promedio?

Explora 2 ¿Cuándo?t se acerca a 0, ¿cuál es la tendencia de la velocidad promedio durante el? período de 2s a (2+△t)s

Cuando △t se acerca a 0, es decir, no importa cuando t se acerca a 2 desde el lado menor que 2 o desde el lado mayor que 2, la velocidad promedio se acerca un cierto valor 13.1.

Desde un punto de vista físico, el intervalo de tiempo |△ A medida que t | se vuelve infinitamente pequeño, la velocidad promedio se acercará infinitamente a la velocidad instantánea en t = 2. La velocidad instantánea en t = 2 es ?13,1 m/s.

Para facilitar la expresión, utilizamos xx para representar. Cuando t = 2, △t se acerca a 0, ¿la velocidad promedio se acerca a un cierto valor? 13.1?.

Velocidad instantánea

Usamos

Indica que cuando t=2, ?t se acerca a 0, la velocidad promedio tiende a un cierto valor -13.1.

Reemplazar localmente la velocidad variable con velocidad uniforme, reemplazar la velocidad instantánea con velocidad promedio y luego hacer la transición de una aproximación de la velocidad instantánea a un valor exacto de la velocidad instantánea tomando límites. Entonces, ¿la velocidad instantánea del atleta en un momento determinado?

La intención del diseño es permitir que los estudiantes experimenten la idea de aproximación de la velocidad promedio a la velocidad instantánea: cuanto más pequeño es △t, más cerca está V de la velocidad instantánea en t=2 segundos.

Exploración 3:

(1). ¿Cómo expresar la velocidad instantánea del deportista en un momento determinado t0?

(2). (x) está en ¿Cómo expresar la tasa de cambio instantánea en x = x0?

El concepto de derivada:

Generalmente, la tasa de cambio instantánea de la función y = f ( x) en x = x0 es

Se llama derivada de la función y = f(x) en x = x0, denotada como

O,

Mejora resumida

Se puede ver en la definición de derivada que el método general para encontrar la derivada de la función y = f (x) es:

[3] Explicación de ejemplo

Ejemplo 1 Refinar petróleo crudo para convertirlo en gasolina, diesel y plástico Para diversos productos, el petróleo crudo debe enfriarse y calentarse si en x h, la temperatura del petróleo crudo (unidad: ) es y=f (x). = x2?7x+15 (0?x?8). Calcule las 2h y la tasa de cambio instantáneo de la temperatura del petróleo crudo a las 6h, y explique su significado.

Solución: A las 2h y a las 6h, la. La tasa de cambio instantáneo de la temperatura del petróleo crudo es

A las 2 h y 6 h, las tasas de cambio instantáneo de la temperatura del petróleo crudo son ?3 y 5 respectivamente. Muestra que cerca de las 2 h, la temperatura del petróleo crudo disminuye a. a una tasa de aproximadamente 3/h; cerca de la sexta hora, la temperatura del petróleo crudo disminuye a una tasa de aproximadamente 5/h La tasa de aumento

[4] Resumen de conocimientos en esta lección

1. La tasa de cambio promedio de la función

2. Los pasos para encontrar la tasa de cambio promedio de la función:

(1) Encuentre el incremento de la función? y=f(x2)-f(x1)

(2) Calcula la tasa de cambio promedio

3, encuentra la velocidad instantánea del objeto en movimiento:

(1) Encuentre el incremento de desplazamiento?s=s(t+?t)-s(t)

(2) Encuentre la velocidad promedio

(3 ) Encuentra el límite

4. De la definición de derivada, podemos obtener los pasos generales para encontrar la derivada:

(1) ¿Encontrar el incremento de la función y= f? (x?t)-f(x0

　)

　(2)) Tasa de cambio promedio

　(3) Encuentra el límite

3. Resumen de revisión y tarea

[1] Ejercicios de clase

1 Cuando la variable independiente x de la función y=f(x) cambia de x0 a x?x. , la función La cantidad de cambio del valor?y es ( ) A.f(x?x)B.f(x0)+?x

　C.f(x0)?x

D.f(x? x)-f (x0)

2. Si una partícula se mueve según la ley s=8+t2, entonces en el período de tiempo 2 a 2.1, la velocidad promedio es ( ) A.4 B. 4.1

C.0.41 D.-1.1 3. Encuentra la rapidez promedio de y=x2 cerca de x=x0.

4. Traza la recta secante de la curva que pasa por los dos puntos P (1, 1) y Q (1+?x,1+?y) de la curva y=f(x)=x3. y encuentre la pendiente actual de la recta secante cuando se restan los valores de función f(x0) y f(x?x) correspondientes a ?x para obtener el cambio en el valor de la función?y=f(x? x)-f(x0), por lo que se debe seleccionar D

2. B

Análisis:

3. Análisis: