Preocupaciones sobre los polinomios y la factorización

El punto de partida de este problema es la relación entre la factorización y las raíces de polinomios.

Para cualquier polinomio P(x) y el número complejo a, x-a | si y solo cuando P(a) = 0.

De la hermosa condición polinómica f(x) | f(x^2), se puede deducir que todas las raíces de f(x) en el complejo rango son f(x Las raíces de ^2).

Escrito de la siguiente manera: Si el número complejo a satisface f(a) = 0, entonces f(a^2) = 0.

Además, si f(x) no tiene raíces múltiples, y el resultado anterior es una condición necesaria y suficiente.

Porque f(x) se puede descomponer en el producto de factores lineales que son son primos mutuos en el rango complejo, y cada factor divide a f(x^2).

Entonces su producto f(x) también divide a f(x^2).

Escribe el condición obtenida anteriormente como: Si a es la raíz de f(x), entonces a^2 también es la raíz de f(x).

Además, dado que a^2 es la raíz de f(x ), obtenemos que a^4 es la raíz de f(x), y así sucesivamente, a^ 8, a^16,... son todas raíces de f(x).

Pero para polinomio distinto de cero f(x), hay como máximo raíces finitas, por lo que hay m < n tal que a^m = a^n.

Se convierte en a^m·(a^(n-m )-1) = 0, es decir, a = 0 o a es una raíz unitaria (es decir, una cierta potencia entera positiva de a = 1).

Obtenemos: La raíz de un hermoso polinomio solo puede ser 0 o una raíz unitaria.

Hablemos de nuevo sobre la raíz unitaria.

Si a es una ecuación Si x^n = una raíz compleja de 1, entonces se dice a ser una raíz unitaria de grado n (un número puede ser una raíz unitaria de diferentes grados al mismo tiempo).

Si a es una raíz unitaria de grado n, es fácil de verificar Para cualquier número entero k, a^k también es una raíz unitaria enésima.

Todas las raíces unitarias enésimas corresponden exactamente a n puntos iguales en la circunferencia unitaria del plano complejo: cos(2kπ/n)+isin(2kπ/ n ), k = 0, 1, ..., n-1.

Recuerde ζ(n) = cos(2π/n)+isin(2π/n), se puede ver que la enésima unidad las raíces se pueden escribir como ζ(n)^k, k = 0, 1, ..., n-1.

Si correspondes ζ(n)^k a k, puedes ver que la enésima raíz unitaria La operación de multiplicación es consistente con la operación de suma de la clase restante de mod n.

Por lo tanto, el cuadrado de la enésima raíz unitaria corresponde a la multiplicación de la clase restante de mod n por 2.

La observación anterior es suficiente para resolver este problema (de hecho, también contiene muchos resultados no utilizados).

2 Los únicos polinomios hermosos de grado 1 son x. y x-1 (o sus múltiplos constantes distintos de cero).

Al multiplicar por una constante distinta de cero para hacer que el primer coeficiente sea 1, supongamos que el hermoso polinomio con grado 1 es x-a.

Dado que a es su raíz, podemos obtener que a^2 también es su raíz, sustituir a^2-a = 0 y resolver a = 0,1.

1. x^2+x+1 es un hermoso polinomio.

Esto se puede verificar directamente, también podemos saberlo a partir de x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1) que las dos raíces de x^2+x+1 son ζ(3) y ζ(3)^2

Tenga en cuenta que dado que ζ(3)^3 = 1, ζ(3)^4. = ζ(3), y x^2+x+1 no tiene raíces múltiples, por lo que es un hermoso polinomio.

Y x^2+x+1 no es divisible por el hermoso polinomio x o x-1 de grado lineal, por lo que no es degradable.

3. x^2+x+1 no es único Un hermoso polinomio no degradable de grado 2.

x ^2-1 tampoco es degradable, porque aunque x^2-1 = (x-1)(x+1), x+1 no son polinomios hermosos.

Estos dos son los únicos no degradables. -hermosos polinomios degradables de grado 2.

Sea f(x) un hermoso polinomio de grado 2, a es f(una raíz de x), hay a^2, a^4 son todas raíces de f(x).

Si a^2 = a, hay a = 0,1, hay x | f(x ) o x-1 |

La otra raíz b de f(x) satisface b^2 = a o b^2 = b, por lo que f(x) = x^2, (x-1)^2, x(x -1) o x^2-1.

Si a^2 ≠ a, entonces a^4 = a o a^2, y la solución es a = ζ(3), ζ(3) ^2 O -1.

Entonces f(x) = x^2+x+1 o x^2-1.

4 Usamos raíces unitarias para construir n-. de grado indegradable El hermoso polinomio.

Si a es la raíz de f(x), existen a^2, a^4, a^8,... todas las raíces de f(x) .

Esperamos que f(x) tenga n raíces diferentes. También podríamos dejar que sean a, a^2, a^4,..., a^(2^(n-1). )), y hacer a^ (2^n) = a.

Es aceptable que a = ζ(2^n-1), entonces a, a^2, a^4,.. ., a^(2^(n -1)) no son iguales.

El polinomio f(x) con sus raíces es un polinomio hermoso.

Supongamos que el polinomio hermoso g(x) | f(x), entonces g(x) contiene una cierta raíz a^(2^k) de f(x).

G(x) es un hermoso polinomio, a^ (2^(k+1)), a ^(2^(k+2)),... son todas raíces de g(x).

Especialmente, a = a^(2^) n) también es una raíz de g(x). Además, a, a^2, a^4,..., a^(2^(n-1)) son todas raíces de g(x).

Por lo tanto, f(x) | g( x), los dos difieren en un múltiplo constante.

Entonces f(x) no tiene factores polinomiales hermosos no triviales y no es degradable.

Cabe señalar que los polinomios hermosos construidos de esta manera tienen coeficientes complejos.

Si se limita a coeficientes reales, es posible que no haya un polinomio hermoso no degradable. por ejemplo, no existe de grado 3.

Además, existen muchos métodos de construcción. Por ejemplo (x-1)(x-(-1))(x-√(-1) )(x-√√(-1))...