Los triángulos son congruentes

¿Qué es un triángulo? Es una figura cerrada con sólo tres lados. Estos los conocemos en el primer grado de primaria. ¿Cuáles son los dos triángulos congruentes? La congruencia de dos triángulos significa que los tres lados y los ángulos de los dos triángulos son congruentes. Mientras los dos triángulos sean congruentes, los tres lados y los ángulos de los dos triángulos deben ser congruentes. Entonces, si hay dos triángulos, ¿cómo puedes determinar que los dos triángulos son congruentes? En primer lugar, podemos usar la definición de triángulos congruentes para juzgar que dos triángulos son congruentes. Acabamos de decir que los tres lados y los tres ángulos de dos triángulos congruentes son iguales. Los triángulos son iguales. Si los ángulos son iguales, ¿no son estos dos triángulos triángulos congruentes?

? De esto, obtenemos el primer método para determinar la congruencia de triángulos: si los tres lados de un triángulo y los tres ángulos son iguales, entonces los dos triángulos son iguales. El lenguaje simbólico es como se muestra. arriba:

? Sin embargo, al igual que el proceso de prueba en la imagen de arriba, parece demasiado complicado juzgar la congruencia de triángulos usando tres lados iguales y tres ángulos. Incluso el proceso requiere mucha escritura. Entonces, ¿existe una forma más sencilla de demostrar que dos triángulos son congruentes? No lo sabemos, pero podemos explorarlos uno por uno. ¿Cómo explorar? Cuando no sabemos exactamente cuántas condiciones se necesitan para juzgar que los triángulos son congruentes, para lograr la simplicidad de las matemáticas, generalmente comenzamos con las condiciones más bajas y las sumamos lentamente. No nos detendremos hasta que se agreguen suficientes condiciones. Para probar la conjetura, ¿cuántas condiciones exploraremos? Las condiciones que pueden probar que los triángulos son congruentes no son una excepción, no importa que las condiciones sean mayores o menores, deben pertenecer a los ángulos o lados de los elementos del triángulo.

? Según el principio de que cada condición debe pertenecer a los elementos de un triángulo de menor a mayor, podemos enumerar las siguientes posibilidades:

1: Dos triángulos y un lado. Si son iguales, entonces los dos triángulos son congruentes.

? 2: Si un ángulo de dos triángulos es igual, entonces los dos triángulos son congruentes.

? 3: Si dos lados de dos triángulos son iguales, entonces los dos triángulos son congruentes.

? 4: Si los dos ángulos de dos triángulos son iguales, entonces los dos triángulos son congruentes.

? 5: Si un ángulo y un lado de dos triángulos son iguales, entonces los dos triángulos son congruentes.

6: Si los tres ángulos de dos triángulos son iguales, entonces los dos triángulos son congruentes.

? 7: Si tres lados de dos triángulos son iguales, entonces los dos triángulos son congruentes.

? 8: Si los dos ángulos de dos triángulos y los lados incluidos de los dos ángulos son iguales, entonces los dos triángulos son congruentes.

? 9: Si los dos ángulos de dos triángulos y los lados opuestos de un ángulo son iguales, entonces los dos triángulos son congruentes.

10: Si los dos lados de dos triángulos y los ángulos entre los dos lados son iguales, entonces los dos triángulos son congruentes.

11: Si los dos lados de dos triángulos y los ángulos opuestos de un lado son iguales, entonces los dos triángulos son congruentes. (Estos pueden colocarse directamente en el PPT)

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Además, hay muchas posibilidades, pero primero demostremos que las 11 posibilidades anteriores pueden determinar la congruencia de triángulos. Condiciones:

Después de la operación real, la posibilidad de una condición para juzgar que los triángulos son congruentes y la posibilidad de dos condiciones para juzgar que los triángulos son congruentes se han falsificado al dar contraejemplos. Puede probar el proceso específico mediante. Para ahorrar tiempo, no existe. Dirijamos nuestra atención a la posibilidad de determinar la congruencia de triángulos bajo tres condiciones:

La primera posibilidad es que los tres ángulos de dos triángulos sean iguales y. los dos triángulos son congruentes. Podemos dar un contraejemplo: lo anterior. Los tres ángulos del triángulo ABC y el triángulo A ' B ' C ' son iguales, pero los tres lados de los dos triángulos no son iguales. Esto prueba que la primera conjetura es errónea. Pero todos los ángulos de los dos triángulos son iguales. Aunque los dos triángulos no son necesariamente congruentes, todavía tienen ciertas características especiales. A este triángulo especial lo llamamos triángulos similares.

La segunda posibilidad es que los tres lados de los dos triángulos sean iguales y los dos triángulos sean congruentes. En la figura, los triángulos AB=A'B', AC=A'C', BC=. B'C', y estos dos triángulos resultan ser congruentes. ¿Es esto una coincidencia o es una nueva forma de determinar la congruencia de los triángulos? Probémoslo en todos los triángulos. Dibuja dos triángulos agudos con tres lados iguales, un triángulo rectángulo con tres lados iguales y un triángulo obtuso con tres lados iguales. Mira si estos dos triángulos son congruentes. ¡igual! Parece que hemos descubierto la primera forma más sencilla de determinar la congruencia de triángulos: si tres lados de dos triángulos son iguales, entonces los dos triángulos son congruentes. El lenguaje de abreviaturas puede ser (lado lado lado) o (SSS), pero sólo. Se dibujan unos cuantos. Un triángulo de tres lados iguales, y estos triángulos son congruentes, ¿no es posible que sea coincidencia? ¿Es eso posible? Parece que no podemos demostrar que si los lados de dos triángulos son iguales, entonces los dos triángulos son congruentes. ¿Qué podemos hacer? No tenemos más remedio que etiquetar nuestro método recién descubierto para determinar la congruencia de triángulos como un axioma evidente que no requiere prueba. Para mejorar la credibilidad, realizamos múltiples conjuntos de experimentos de transformación geométrica y finalmente determinamos este nuevo axioma. El lenguaje simbólico es el que se muestra a continuación

La tercera posibilidad: si los dos ángulos de dos triángulos y los lados incluidos de los dos ángulos son iguales, entonces los dos triángulos son congruentes. encontró que los dos triángulos aleatorios son congruentes. ¿Es este un nuevo teorema o axioma? Dibuja rápidamente dos ángulos y dos triángulos de ángulos agudos, dos triángulos rectángulos y dos triángulos de ángulos obtusos cuyos lados incluidos son iguales. Efectivamente, todos estos triángulos son congruentes. El método es el mismo que (SSS). Dos ángulos y los lados incluidos en los dos ángulos son iguales. Los dos triángulos son congruentes. No se puede demostrar mediante razonamiento. ángulo) o (ASA). El lenguaje simbólico es el siguiente.

La cuarta posibilidad: los mismos dos ángulos y un lado son iguales, pero la cuarta posibilidad es que los dos ángulos y el lado opuesto de un ángulo sean iguales. En este caso, los dos triángulos siguen siendo congruentes. ? Igualdad De hecho, la congruencia de dos triángulos cuyos dos ángulos y los lados opuestos de un ángulo son iguales no requiere ningún dibujo para demostrarse, pero se puede demostrar directamente:

Porque: ángulo C = ángulo. C', ángulo B = ángulo B'

Por lo tanto: ángulo A = ángulo A' = 180 grados - ángulo C - ángulo B

Porque: en los triángulos ABC y A'B' C', ángulo A = ángulo A', ángulo B = ángulo B', A B es igual a A 'B'

Por lo tanto: el triángulo ABC es congruente con A'B'C' (ASA)

Utiliza el axioma de que dos ángulos y sus lados incluidos son iguales, podemos deducir que dos ángulos y los lados opuestos de un ángulo son iguales, porque esto lo podemos demostrar con un razonamiento lógico riguroso, entonces los dos ángulos de dos triángulos y los lados opuestos de un ángulo son iguales, entonces es un axioma que dos triángulos son congruentes y el lenguaje de abreviatura puede ser (ángulo lado del ángulo) o (AAS). El lenguaje simbólico es el siguiente

La quinta posibilidad: los dos lados de los dos triángulos y los ángulos entre los dos lados son iguales, entonces los dos triángulos son congruentes y los triángulos dibujados son congruentes. los dos triángulos por separado, los dos lados y Dos triángulos de ángulo agudo, un triángulo rectángulo y un triángulo de ángulo obtuso cuyos ángulos en ambos lados son iguales se encuentran iguales. Esto explica el cuarto método para determinar rápidamente la congruencia. de triángulos: cuando los dos lados de los dos triángulos y los ángulos entre los dos lados son iguales, entonces los dos triángulos son congruentes. Este método no puede probarlo, pero también es un axioma. El lenguaje simbólico es el siguiente.

La sexta posibilidad: los dos lados de los dos triángulos y los ángulos opuestos de un lado son iguales, y los dos triángulos son congruentes. En este caso, podemos dibujar una. contraejemplo, como se muestra en la figura, dos El ángulo A del triángulo ABC es igual y los lados B A y B C también son iguales respectivamente, pero los dos triángulos no son congruentes. Esto demuestra que si los dos lados de dos triángulos y los ángulos opuestos de un lado son iguales, no necesariamente los dos triángulos son congruentes.

Después de un poco de exploración, descubrimos que cuando obtenemos tres elementos de un triángulo como condiciones, hay cuatro posibilidades para demostrar que los triángulos son congruentes. Uno son dos triángulos. Si los tres lados son iguales, entonces los dos. los triángulos son congruentes. Una es que si los dos ángulos de dos triángulos y los lados incluidos por los dos ángulos son iguales, entonces los dos triángulos son congruentes. Una es que si los dos ángulos de dos triángulos y los lados opuestos de un ángulo son iguales, entonces los dos triángulos son congruentes.

Una es que los dos lados de los dos triángulos y los ángulos entre los dos lados son iguales y los dos triángulos son congruentes.

Utilizando estos métodos para determinar la congruencia de triángulos, podemos resolver con éxito muchos problemas de geometría. Estos problemas geométricos no son más que darle algunas condiciones y luego pedirle que resuelva el problema basándose en lo dado. condiciones y tus propias condiciones Descubre las condiciones para demostrar que los dos triángulos son congruentes y finalmente infiere que los dos ángulos o los dos lados son iguales basándose en las propiedades de congruencia de los triángulos. Por ejemplo, considere la siguiente pregunta.

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En clase, cuando terminé de aprender a demostrar que los triángulos son congruentes, estaba emocionado y confundido. La emoción radica en el hecho de que. usamos Después de pasar tanto tiempo y probar tantos razonamientos lógicos ingeniosos, finalmente se me ocurrieron tres formas muy simples de determinar la congruencia de dos triángulos. ¿De qué sirve esperar en la vida real? : "Tal vez la congruencia de triángulos no tenga ninguna utilidad en la vida real. La razón por la que necesitamos aprender la congruencia de triángulos es simplemente para ejercitar la capacidad de razonamiento y demostración de las personas", pero en estudios posteriores, me sorprendió mucho descubrir que esto era así. no es el caso. La congruencia de triángulos se puede utilizar en la vida real y puede resolver problemas de medición en la vida real.

A continuación, solo necesita medir la distancia de los segmentos de línea. M N en tu propia orilla, y puedes saber la distancia del segmento de recta B C, que es el ancho del río. ¿Por qué? Debido a que B C es perpendicular a C M y M N es perpendicular a M C según la definición de perpendicular, el ángulo B C A es igual al ángulo NM A = 90 grados Dado que el ángulo D A C y el ángulo N A M son ángulos de vértice opuestos, los dos ángulos son iguales. , porque en los triángulos ABC y En el triángulo A M N: el ángulo B CA es igual al ángulo A M N, A C es igual a AM (esta es información ya conocida al dibujar, equivalente a información conocida), el ángulo B A C es igual al ángulo M A N, entonces el triángulo ABC es igual al triángulo A MN, la base es el lado del ángulo (ASA) derivado anteriormente, y luego se usa porque el triángulo ABC es igual al triángulo A MN, por lo que B C es igual a MN, siempre que se mida la distancia de M N, se puede medir la distancia de B C.

? Esta es la congruencia mágica de los triángulos Además de aplicarse a la vida real o a la resolución de problemas geométricos, el papel de la congruencia de los triángulos también se extiende a muchos otros conceptos. Por ejemplo, recientemente tenemos en orden. Para aprender la simetría axial y explorar las propiedades de otras figuras simples en nuestras vidas, podemos usar la congruencia de triángulos o el juicio de congruencia de triángulos y las propiedades de congruencia de triángulos para obtenerla.

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