Ecuaciones diferenciales: estructura de solución general de ecuaciones lineales homogéneas
Este artículo analiza la estructura de la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales homogéneos
. Se supone que es una función matricial continua de orden. el intervalo. Uno de los resultados más básicos es:
Si y son dos soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales homogéneos (3.9), entonces
es también una solución de (3.9), donde es cualquier constante. Y todas las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas (3.9) son para un espacio lineal unidimensional.
Para demostrar este teorema, Necesitamos introducir el concepto de independencia lineal de varias funciones vectoriales Dada la definición en el intervalo Si hay funciones vectoriales que son constantes que no son todas cero, tales que
p>
La primera mitad del intervalo. El teorema es fácil de obtener según la fórmula de derivación. Solo necesitamos demostrar que todas las soluciones de (3.9) son espacios lineales unidimensionales.
Primero demostramos que el sistema de ecuaciones (3.9) está en. el intervalo Debe existir una solución linealmente independiente para . Elija arbitrariamente un vector linealmente independiente en el espacio vectorial dimensional o . Según el teorema 3.1, para cualquier número real en cualquier intervalo, el sistema de ecuaciones (3.9) tiene una solución única que satisface. la solución inicial a la condición de valor Si hay una constante que satisface
entonces debe haber
desde el. los vectores son linealmente independientes, por lo tanto deben ser todos cero, lo que demuestra que la solución del sistema de ecuaciones (3.9) es linealmente independiente.
En segundo lugar, demostramos que cualquier solución del sistema de ecuaciones (3.9) se puede expresar como las soluciones linealmente independientes anteriores Combinación lineal
donde es una constante. Por un lado, debido a que los grupos de vectores son linealmente independientes, constituyen un conjunto de bases de. el espacio vectorial dimensional o, por lo que existen constantes, tales que
Además, de la primera parte de este teorema,
también es una solución del sistema de ecuaciones (3.9) que satisface la condición de eliminación. Por lo tanto, la existencia de la solución El teorema de unicidad (es decir, el Teorema 3.1) sabe que (3.11) es verdadero. La prueba anterior nos dice que, en circunstancias fijas, cualquier vector constante en un espacio vectorial dimensional o en él corresponde únicamente a una ecuación homogénea. Una solución al sistema de (3.9). La aplicación en realidad da una relación isomórfica entre el espacio compuesto de funciones. y el espacio lineal o.
Una solución linealmente independiente del sistema homogéneo de ecuaciones (3.9) Juntos se denominan conjunto solución básico de este sistema de ecuaciones. Obviamente el conjunto solución básico no es único. el sistema homogéneo de ecuaciones (3.9) tiene un conjunto solución básico, entonces la solución general del sistema homogéneo de ecuaciones (3.9) debe poder expresar la dimensión (3.11). Las ecuaciones (3.9) se pueden reducir al problema de encontrar sus soluciones especiales linealmente independientes.
Supongamos que se sabe
p>es una solución a. el sistema de ecuaciones (3.9). ¿Cómo determinamos si son linealmente independientes?
La matriz compuesta por soluciones del sistema de ecuaciones (3.9)
se llama matriz solución del sistema de ecuaciones (3.9). se llama El determinante de Wronski de esta solución.
Es fácil saberlo a partir del conocimiento del álgebra lineal: si las funciones vectoriales definidas en el intervalo están relacionadas linealmente, entonces.
Su determinante de Wronski en el intervalo. El teorema de reducción proporciona un método simple para determinar si un determinado conjunto solución del sistema de ecuaciones (39) es linealmente independiente:
Soluciones del sistema de ecuaciones (3.9) El La condición necesaria y suficiente para la independencia lineal es que su determinante de Wronski no sea cero en un punto determinado y satisfaga la fórmula de Liouville
donde está la traza de la matriz, es decir. ,
Según la definición de determinante, es fácil demostrarlo utilizando las fórmulas derivadas de suma y producto de funciones de grado
Dado que es un sistema de ecuaciones (3.9) La solución de , entonces
De la misma manera, podemos obtener que el valor del determinante de la derecha El lado de (3.14) es igual a, donde, por lo tanto,
Esta es una ecuación lineal de primer orden sobre , y su solución es
Por lo tanto, la fórmula de Liouville se cumple. Según esta fórmula, sabemos fácilmente que la constante es 0 (sin punto cero) cuando y Sólo si es igual a 0 (no igual a 0) en un punto determinado. El teorema es. demostrado
La primera parte del Teorema 3.3 también se puede demostrar usando la unicidad de la solución (Teorema 3.1).
Según el Teorema 3.3, simplemente calcule el determinante de Wronski de a. solución dada en cualquier punto del intervalo, y puedes juzgar si es linealmente independiente en función de si es cero
Vale la pena señalar que, el resultado de que el determinante de la matriz de función anterior es. siempre cero o siempre distinto de cero solo es aplicable a la matriz solución dada por la ecuación diferencial lineal homogénea. La matriz de función general no tiene tales propiedades y no se puede utilizar para juzgar si el grupo es linealmente independiente. Por ejemplo, las siguientes dos funciones vectoriales:
El determinante de Wronski siempre es igual a cero, pero son linealmente independientes
Cuando Cuando la solución. es una solución básica, llamamos a la matriz solución
matriz solución básica del sistema de ecuaciones (3.9). En particular, si en un cierto punto (es decir, matriz identidad) , se llama matriz solución estándar.
Según el teorema anterior, si es una matriz solución básica del sistema de ecuaciones (3.9), entonces cualquier solución del sistema de ecuaciones (3.9) puede ser. Expresado como
donde es una constante determinada. Por el contrario, para cualquier vector constante, la función vectorial es la solución del sistema de ecuaciones (3.9). la función de valor inicial se considera como
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donde es una matriz de solución estándar.