La historia de los símbolos de funciones cuadráticas

La historia muestra que el papel de conceptos matemáticos importantes en el desarrollo de las matemáticas es inconmensurable. Se puede decir que el impacto del concepto de funciones en el desarrollo de las matemáticas es duradero y extraordinario a lo largo de la antigüedad y la modernidad. Mirando hacia atrás en el desarrollo histórico del concepto de función, podemos ver que es muy beneficioso echar un vistazo al proceso histórico del concepto de función que se refina, profundiza y enriquece continuamente. No solo nos ayuda a mejorar nuestro. Comprender los entresijos del concepto de función, pero también nos ayuda a comprender el impacto de los conceptos matemáticos en el desarrollo de las matemáticas y el enorme papel del aprendizaje de las matemáticas.

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Marx alguna vez creyó que el concepto de función se originó a partir del estudio de ecuaciones indefinidas en álgebra. Dado que Diofanto ya había realizado considerables investigaciones en la época romana sobre ecuaciones indefinidas, el concepto de funciones ya había surgido al menos en ese momento.

Desde la revolución astronómica de Copérnico, el movimiento se ha convertido en un interés común de los científicos durante el Renacimiento. La gente piensa: dado que la Tierra no es el centro del universo, y ella misma tiene rotación y revolución, entonces. ¿Por qué el objeto que cae no se desvía sino que cae verticalmente a la tierra? La órbita del planeta es una elipse. Además, estudie la ruta, el alcance y la altura del objeto proyectil en la superficie terrestre. Impacto de la velocidad de los proyectiles de artillería en la altura y el alcance, ambos son problemas que los científicos están tratando de resolver y los estrategas militares están pidiendo resolver. El concepto de función es un concepto matemático derivado del estudio del movimiento. Este es el origen mecánico. del concepto de función.

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Mucho antes de que se propusiera claramente el concepto de función, los matemáticos habían entrado en contacto y estudiado muchas funciones específicas, como funciones logarítmicas, funciones trigonométricas y funciones hiperbólicas. . etc. Alrededor de 1673, Descartes ya había notado la dependencia de una variable de otra variable en su geometría analítica. Sin embargo, debido a que en ese momento aún no se comprendía la necesidad de refinar el concepto general de funciones, no fue hasta finales del siglo XVII que Newton. y Leibniz Cuando se estableció el cálculo, los matemáticos aún no habían aclarado el significado general de las funciones.

En 1673, Leibniz utilizó por primera vez la palabra función para significar "potencia". Más tarde utilizó la palabra para referirse a la abscisa, la ordenada, la longitud de la tangente del punto de la curva y otras geometrías relevantes del punto de la curva. la curva. Se puede observar que el significado matemático inicial de la palabra función es bastante amplio y vago. Casi al mismo tiempo, Newton utilizó otro término "flujo" para expresar la relación entre variables en la discusión del cálculo, hasta que en 1689 el matemático suizo. John Bernoulli definió claramente el concepto de función basándose en el concepto de función de Leibniz. Bernoulli llamó a la cantidad compuesta por la variable x y constante en cualquier forma "función de x", expresada como yx.

En aquel momento, Dado que las operaciones para conectar variables y constantes eran principalmente operaciones aritméticas, operaciones trigonométricas, operaciones exponenciales y operaciones logarítmicas, más tarde Euler simplemente usó estas operaciones para conectar variables x. La fórmula formada por la constante c se llama función analítica y se divide en " función algebraica" y "función trascendental".

A mediados del siglo XVIII, debido al estudio de los problemas de vibración de las cuerdas, D'Alembert y Euler introdujeron sucesivamente el término "función arbitraria". Al explicar el concepto de "función arbitraria", D'Alembert dijo que se refiere a una "fórmula analítica arbitraria", mientras que Euler pensó que se trataba de "una curva arbitraria trazada". Ahora parece que todas estas son expresiones de funciones y una extensión del concepto de funciones.

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El concepto de función carece de una definición científica, lo que ha provocado agudas contradicciones entre la teoría y la práctica. Por ejemplo, las ecuaciones diferenciales parciales se utilizan ampliamente en tecnología de ingeniería, pero debido a que no existe una definición científica de funciones, el establecimiento de la teoría de ecuaciones diferenciales parciales es muy limitado. De 1833 a 1834, Gauss comenzó a centrar su atención en la física. En el proceso de cooperación con W. Weibull para inventar el telégrafo, realizó muchos trabajos experimentales sobre el magnetismo y propuso la importante teoría de que "la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia", lo que hizo que las funciones aparecieran como una rama independiente de matemáticas, las necesidades prácticas impulsaron a la gente a estudiar más a fondo la definición de funciones.

Más tarde, la gente dio esta definición: Si una cantidad depende de otra cantidad, y cuando esta última cambia, la cantidad anterior también cambia, entonces la primera cantidad se llama segunda cantidad.

función. "Aunque esta definición aún no ha revelado la esencia de la función, inyecta cambio y movimiento en la definición de la función, lo cual es un progreso bienvenido en la historia del desarrollo del concepto de." función, el trabajo del matemático francés Fourier tiene el mayor impacto Fourier reveló profundamente la naturaleza de las funciones y defendió que las funciones no necesitan limitarse a expresiones analíticas. En 1822, dijo en su famoso libro "La teoría analítica del calor": "Por lo general, una función representa un conjunto conexo de valores u ordenadas, cada una de las cuales es arbitraria... No asumimos que estas ordenadas obedecen a una "Las mismas leyes; son una tras otra en cualquier forma". En este libro, expresó una función dada por una "línea" discontinua en forma de suma en serie trigonométrica. Para ser más precisos, cualquier función periódica con 2π, en el intervalo [-π, π], puede expresarse por, entre las cuales la investigación de Fourier sacudió fundamentalmente la antigua teoría sobre La idea tradicional del concepto de función causó un gran impacto. en la comunidad matemática en ese momento. Resulta que no existe una brecha insuperable entre expresiones analíticas y curvas. La serie comunica expresiones analíticas y curvas. La visión de que las funciones son expresiones analíticas finalmente se ha convertido en un gran obstáculo para revelar relaciones funcionales.

A través de un debate se produjeron las definiciones de funciones de Lobachevsky y Dirichlet.

En 1834, el matemático ruso Lobachevsky propuso la definición de función: "La función de x es un número que tiene un valor definido para cada x y cambia con el cambio de x. El valor de la función puede estar dado por una expresión analítica, o por una condición, que proporciona una manera de encontrar todos los valores correspondientes. Esta dependencia de la función puede existir, pero aún se desconoce "esta definición. Establecer la correspondencia entre variables y funciones es un desarrollo importante de la concepto de función, porque la "correspondencia" es un atributo esencial y parte central del concepto de función.

En 1837, el matemático alemán Dirichlet creía que no importaba cómo establecer la relación entre x e y, por lo que su definición fue: “Si para cada valor de x, y siempre hay un valor completamente cierto valor que le corresponde, entonces y es una función de x. ”

Según esta definición, incluso si se expresa de la siguiente manera, todavía se dice que es una función (función de Dirichlet):

f(x) = 1? (x es un número racional),

0? (x es un número irracional).

En esta función, si x aumenta gradualmente de 0 a 0, entonces f(x) de repente se convertirá en 0 o 1. No importa cuán pequeño sea el intervalo, f(x) va de 0 a 1 indefinidamente. Por tanto, es difícil expresarlo con una o varias fórmulas, e incluso si se puede encontrar una expresión es un problema. Pero independientemente de si puede expresarse mediante una expresión, según la definición de Dirichlet, esta f (x) sigue siendo una función.

La definición de función de Dirichlet evita brillantemente todas las descripciones de dependencias en definiciones de funciones anteriores y es aceptada incondicionalmente por todos los matemáticos de una manera completamente clara. En este punto, podemos decir que se ha formado el concepto de función y la definición esencial de función. Esto es lo que la gente suele llamar la definición de función clásica.

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El mayor desarrollo de la práctica de producción y los experimentos científicos ha provocado nuevas contradicciones agudas en el concepto de función. En la década de 1920, los humanos comenzaron a estudiar los fenómenos microfísicos. La mecánica cuántica apareció en 1930. En la mecánica cuántica, se necesitaba una nueva función, la función delta,

Es decir, ?ρ(x) = 0, x≠0,

∞,x=0.

Y

La aparición de la función δ ha provocado un intenso debate entre la gente. Según la definición original de la función, sólo se permite la correspondencia entre números y "∞" no se considera un número. Además, para una función cuya variable independiente tiene solo un punto distinto de cero, su valor integral no es igual a cero, lo cual también es inimaginable. Sin embargo, la función delta es de hecho una abstracción del modelo real. Por ejemplo, cuando los coches o los trenes pasan por un puente, naturalmente ejercen presión sobre el puente. En teoría, solo hay un punto de contacto entre las ruedas del vehículo y la plataforma del puente. Suponga que la presión del vehículo sobre la vía y la plataforma del puente es una unidad. En este momento, la presión en el punto de contacto x = 0.

Fuerte es

P(0)=presión/superficie de contacto=1/0=∞.

En los puntos restantes x≠0, no hay presión, por lo que no hay presión, es decir, ?P(x)=0. Además, sabemos que la integral de la función de presión es. igual a la presión, es decir, el concepto de función tiene tal historia. Se desarrolla dinámicamente bajo las condiciones y produce una nueva definición de función moderna: si para cualquier elemento x del conjunto M, siempre hay un elemento y determinado por el conjunto N correspondiente a él, entonces se dice que una función está definida en el conjunto M, registrada como y =f(x). El elemento x se llama variable independiente y el elemento y se llama variable dependiente.

Aunque la definición moderna de función difiere de la definición clásica en la forma solo en unas pocas palabras, es un desarrollo conceptual importante y un punto de inflexión importante en el desarrollo de las matemáticas que se pueden utilizar como análisis funcional moderno. La señal de este punto de inflexión es que estudia las relaciones funcionales en conjuntos generales.

Después de más de doscientos años de refinamiento y transformación, la definición del concepto de función ha formado la definición moderna de función, que debería decirse que es bastante completa. Sin embargo, el desarrollo de las matemáticas es interminable. La definición moderna de función no significa el fin histórico del desarrollo del concepto de función. En las últimas dos décadas, los matemáticos han reducido las funciones a un concepto más amplio: "relación".

Supongamos que el conjunto X, Y, definimos el producto X × Y de X e Y como

}．

Un subconjunto R en el conjunto de productos (x, y) R, entonces se dice que xey no tienen relación.

Ahora supongamos que f es la relación entre X e Y, es decir, la función f. En esta definición, se ha evitado formalmente el término "correspondencia" y se ha utilizado por completo el lenguaje de la teoría de conjuntos.

A partir de todo el proceso de desarrollo del concepto de función anterior, nos damos cuenta de lo importante que es conectar con la realidad y una gran cantidad de materiales matemáticos para investigar, descubrir y ampliar la connotación de los conceptos matemáticos.