Función de doble gancho

Función de marca

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El sinónimo de función de doble marca generalmente se refiere a la función de verificación.

La función de verificación es una función similar a proporción inversa La función hiperbólica general de una función es una función de la forma f(x)=ax b/x(agt; 0, bgt; 0).

Nombre chino

Función de tic

También conocida como

Función de tic, función de anzuelo, función Nike, función de doble anzuelo, marca de verificación Función, función de Shuangfeiyan

Expresión

f(x)=ax b/x (agt; 0, b>0)

Disciplinas aplicadas

p>

Matemáticas

Alcance de los campos aplicables

Funciones algebraicas

Alcance de los campos aplicables

Geometría analítica

Contenido

1 Definición Nombre de la definición

2 Imagen de propiedad Paridad máxima, asíntota monótona

3 Función de marca de verificación Desigualdad mínima y media

4 Resolver derivadas

5 Otras soluciones

6 Puntos clave

7 Ejemplos

Definición

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Definición

La llamada función de marca de verificación (función hiperbólica) es una función en la forma

(agt; 0).

Nombre

Lleva el nombre de la imagen y también se conoce como "función de doble gancho", "función de gancho", "función de marca de verificación", "función de doble golondrina voladora", etc. También conocida como "función Nike" o "curva Nike".

Propiedades

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Imagen

La función tick es una función común y especial en matemáticas, como se muestra en la figura. Al dibujar un gráfico, es mejor dibujar una asíntota.

Valor máximo

Cuando xgt 0,

hay un valor mínimo (aquí para conveniencia de investigación, se especifica agt; 0, bgt; 0), es decir, cuando

, f(x) toma el valor mínimo.

Paridad y monotonicidad

Paridad

La función de doble gancho es una función impar.

Monotonicidad

Sea k=

, entonces:

Intervalos crecientes: {x|x≤-k} y {x | x≥k}; intervalo de disminución: {x|-k≤xlt;0} y {x|0lt;x≤k}

Cambio de tendencia: primero aumenta y luego disminuye en el lado izquierdo de la y -eje, en el y El lado derecho del eje primero disminuye y luego aumenta, que son dos tics.

Asíntotas

La gráfica de la función tick son dos curvas con el eje y e y=ax como asíntotas respectivamente, y cualquiera en la gráfica

Función tick

El producto de las distancias de un punto a dos asíntotas es exactamente el producto del seno del ángulo entre las asíntotas (0-180°) y |b|.

Nota: La gráfica de la función de verificación es una hipérbola. De hecho, la imagen es axialmente simétrica y se puede obtener girando el ángulo mediante la ecuación estándar de la hipérbola.

El valor mínimo y la desigualdad media de la función tick

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El estudio de las propiedades de la función tick es inseparable de la desigualdad media. Hablando de desigualdad media, en realidad se deriva de la función cuadrática. Todos sabemos que

expandir, obtener

, es decir,

.

Suma 2ab a ambos lados al mismo tiempo, ordenar

Tomando los cuadrados de ambos lados, obtenemos la fórmula del teorema del valor medio:

Considere

en

como a,

as Sustituyendo b en la fórmula anterior, obtenemos

Aquí hay una regla: toma el valor mínimo si y solo si ax=b/x, resuelve para x= sqrt(b/a), y el correspondiente f(x) =2sqrt(ab). Echemos un vistazo a la desigualdad media. También se puede escribir así: (a b)/2≥sqrt(ab).

¿Qué pasa con la siguiente fórmula? También es la fórmula de la media, pero la diferencia es que la primera se llama media aritmética, mientras que la segunda se llama media geométrica. En resumen, la media aritmética nunca será menor que la media geométrica.

Resolver derivadas

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De hecho, las propiedades de la función de verificación también se pueden estudiar utilizando derivadas. Pero primero, necesitas saber cómo convertir potencias exponenciales negativas. Esto también es muy simple, pero debes dominarlo. Para dar algunos ejemplos: 1/x=x^-1, 4/x^2=4x^-2. Cuando x es el denominador, se puede convertir en una potencia exponencial negativa. Entonces tenemos f(x)=ax b/x=ax bx^-1. El método de derivación es el mismo. La función derivada obtenida es a (-b)x^-2. calcular Obtenga b=ax^2, el resultado sigue siendo x=sqrt(b/a), simplemente calcule f(x) si es necesario. Cuando normalmente resuelves problemas, si usas el teorema de la derivada o de la media depende de cuál te guste usar. Sin embargo, preste atención a la discusión final del teorema de la media. A veces ax≠b/x significa que no se puede utilizar el teorema de la media. Los valores máximo y mínimo en (puede utilizar las conclusiones de su investigación)

Cuando xgt; 0, f(x)=ax b/x tiene un valor mínimo cuando xlt; )=ax b/x tiene el valor máximo

f(x)=x 1/x

Primero que nada, debes saber que su dominio es que x no es igual a 0

Cuando xgt; 0,

De la desigualdad media:

f(x)=x 1/xgt;=2 root (x*1) /x)=2

Cuando x=1/x es igual

x=1, el valor mínimo es: 2 y no hay valor máximo.

Cuando xlt;0,-xgt;0

f(x)=-(-x-1/x)lt;=-2

Cuando -x=-1/x es igual.

x=-1, el valor máximo es: -2, no hay valor mínimo.

El rango de valores es: (-∞, -2] y [2, ∞)

Demuestra que la función f(x)=ax b/x, (agt; 0 , bgt; 0) Monotonicidad en xgt;0

Supongamos x1, x2∈ (0, ∝) y x1gt

Entonces f(x1)-f(x2)=( ax1 b/x1) - (ax2 b/x2)

=a (x1-x2)-b (x1-x2)/x1x2

= (x1-x2) (ax1x2 -b)/x1x2

∵x1gt;x2,x1-x2gt;0

∴ Cuando x∈(0,√(b/a)), x1x2lt;b/a , entonces ax1x2-blt;b-b=0

∴f(x1)-f(x2)lt;0, es decir, cuando x∈(0,√(b/a)), f(x) = ax b/x disminuye monótonamente

∴ Cuando x∈(√(b/a), ∞), x1x2gt b/a, entonces ax1x2-bgt; ∴f(x1)-f(x2)gt; 0, es decir, cuando x∈(√(b/a), ∞), f(x)=ax b/x aumenta monótonamente.

Materiales de referencia