¿Cuál es la ecuación estándar de una parábola?

, Definición

La trayectoria (o conjunto) de puntos del plano que equidistan de un punto fijo F y de una recta fija l se llama parábola. Además, a F se le llama "foco de la parábola" y a l se le llama "directriz de la parábola".

Defina la distancia del foco a la directriz de la parábola como la "distancia focal", representada por p.p>0.

Inserte el plano de corte en un cono en una dirección paralela al suelo, puedes obtener un círculo si inclinas este plano hasta que quede paralelo a un lado, puedes hacer una parábola.

2. Ecuación estándar de la parábola

Parábola de apertura hacia la derecha: y^2=2px

Parábola de apertura hacia la izquierda: y^2=-2px

Parábola de apertura superior: y=x^2/2p

Parábola de apertura inferior: y=-x^2/2p

3. parábola de apertura)

Excentricidad: e=1

Foco: (p/2,0)

Ecuación directriz l: x=-p/2

Vértice: (0,0)

4. Su fórmula analítica:

Método de sustitución de tres puntos

5. Propiedades ópticas de la parábola:

La luz que pasa por el foco y es reflejada por la parábola es paralela al eje de simetría de la parábola

Otros

Parábola: y. = ax* + bx + c

Es decir, y es igual al cuadrado de ax más bx más c

a > Cuando 0, la apertura es hacia arriba

Cuando a < 0, la apertura es hacia Siguiente

Cuando c = 0, la parábola pasa por el origen

Cuando b = 0, el eje de simetría de la parábola es el eje y

También existe la fórmula del vértice y = a (x-h)* + k

Es decir, y es igual a a multiplicado por (x-h) al cuadrado + k

h es la x de las coordenadas del vértice

k es la y de las coordenadas del vértice

p>

Generalmente se utiliza para encontrar los valores máximo y mínimo

La ecuación estándar de la parábola: y^2=2px

Significa que el foco de la parábola está en el semieje positivo de x. La coordenada del foco es (p/2 ,0) y la ecuación de la directriz es x=-p/2

Dado que el foco de la parábola puede estar en cualquier semieje, existe una ecuación estándar y^2=2px y ^2=- 2px x^2=2py x^2=-2py

7. Usa la simetría de la parábola para resolver problemas

Sabemos que la parábola y = ax2 + bx + c ( a ≠0) es una figura axialmente simétrica, su eje de simetría es la recta x = - b/ 2a, y su vértice está sobre el eje de simetría. Al resolver problemas relacionados con parábolas, si puedes hacer un uso inteligente de la simetría de las parábolas, a menudo podrás proporcionar soluciones simples.

Ejemplo 1 Se sabe que el eje de simetría de la parábola es x =1, la parábola se cruza con el eje y en el punto (0, 3), y la distancia entre los dos puntos de intersección con el El eje x es 4. Encuentra la fórmula analítica de esta parábola.

Análisis Sea la fórmula analítica de la parábola y = ax2 + bx + c. Si sigue el método de solución convencional, necesita resolver un sistema de ecuaciones lineales tridimensionales sobre a, byc, y el proceso de deformación es relativamente complicado si hace un uso inteligente de la simetría de la parábola, la solución es; simple. Debido a que el eje de simetría de la parábola es x = 1, la distancia entre los dos puntos de intersección con el eje x es 4. A partir de la simetría de la parábola, podemos saber que se cruza con el eje x en dos puntos A. (-1, 0) y B (3, 0). Por lo tanto, la fórmula analítica de la parábola se puede establecer como y = a(x+1)(x-3). Y como la parábola corta al eje y en el punto (0, 3), 3 = -3a. Por lo tanto a =-1.

∴y = - (x+1)(x-3), es decir,

y = - x2 + 2x +3.

Ejemplo 2 Se sabe que la parábola pasa por dos puntos A (-1, 2) y B (3, 2), y la ordenada de su vértice es 6. Encuentra el valor de y cuando x = 0.

Análisis Para encontrar el valor de y cuando x = 0, sólo necesitamos encontrar la fórmula analítica de la parábola.

De la simetría de la parábola, podemos saber que los dos puntos A (-1, 2) y B (3, 2) son puntos simétricos de la parábola.

Se puede observar que el eje de simetría de la parábola es x = 1. Por tanto, el vértice de la parábola es (1, 6). Por lo tanto, la fórmula analítica de la parábola se puede establecer como y = a(x-1)2+6. Como el punto (-1, 2) está en la parábola, 4a + 6 = 2. Por lo tanto a = -1.

∴y = - (x-1)2+ 6, es decir,

y = - x2 + 2x +5.

∴Cuando x =0, y = 5.

Ejemplo 3 Se sabe que la distancia entre los dos puntos de intersección A y B de la parábola y el eje x es 4, intersecta al eje y en el punto C, y su vértice es (- 1, 4). Encuentra el área de △ABC.

Análisis Para encontrar el área de △ABC solo se requieren las coordenadas del punto C. Por esta razón se requiere la fórmula analítica de la parábola. Del problema se puede ver que el eje de simetría de la parábola es x = -1. Se puede ver por la simetría de la parábola que las coordenadas de los dos puntos A y B son (-3, 0) y (1, 0) respectivamente. Por lo tanto, la fórmula analítica de la parábola se puede establecer como y = a (x+1) 2 + 4 [o y = a (x + 3) (x-1)].

∵El punto (1, 0) está en la parábola,

∴4a + 4 = 0. ∴a = -1.

∴y = - (x+1)2+ 4, es decir,

y = - x2 - 2x +3.

∴Las coordenadas del punto C son (0, 3).

∴S△ABC = 1/2×(4×3)=6.

Ejemplo 4 Se sabe que la ordenada del vértice A de la parábola y = ax2 + bx + c es 4, corta con el eje y en el punto B, corta con el eje x en dos los puntos C y D, y -1 y 3 son las dos raíces de la ecuación ax2 + bx + c =0. Encuentra el área del cuadrilátero ABCD.

Análisis Para encontrar el área del cuadrilátero ABCD, basta encontrar las coordenadas de dos puntos A y B. Para ello se requiere la fórmula analítica de la parábola. De la pregunta se puede ver que las coordenadas de los puntos C y D son (-1, 0) y (3, 0) respectivamente. Se puede ver por la simetría de la parábola que el eje de simetría de la parábola es x = 1. Por tanto, las coordenadas del vértice A son (1, 4). Por lo tanto, la fórmula analítica de la parábola se puede establecer como y = a (x-1) 2 + 4 [o y = a (x + 1) (x-3)].

∵ El punto (-1, 0) está en la parábola,

∴4a + 4 = 0. Por lo tanto a = -1.

∴y = - (x-1)2+ 4, es decir,

y = - x2 + 2x +3.

∴Las coordenadas del punto B son (0, 3).

Conecta OA, luego S cuadrilátero ABCD = S△BOC + S△AOB + S△AOD = 1/2×1×3+1/2×3×1+1/2×3×4=9

p>