Preguntas del examen de álgebra lineal

(1) Demostrar que 1, x-1, (x-1) (x-2) son un conjunto de bases del espacio vectorial Como el espacio es tridimensional, solo necesitamos. demostrar que son linealmente independientes Eso es todo.

Sea a*1 b*(x-1) c*(x-1)(x-2)=0

Es decir,

salida cx^ 2 (b-3c)x 2c a=0

De la definición de polinomio igual a 0, sabemos que los coeficientes de todos sus términos son 0, por lo que tenemos

c=0, b-3c =0, 2c a=0

Entonces a=b=c=0

Es decir, 1, x-1, (x-1 ) (x-2) son linealmente independientes, por lo que lo es un conjunto de bases para este espacio vectorial.

(2) Porque

1 x x^2

=1 (x-1) 1 (x-1)(x-2) 3x-2

=3*1 4*(x-1) (x-1)(x-2)

Entonces 1 x x^2 está en base 1, x-1, ( x -1) Las coordenadas bajo (x-2) son (3, 4, 1)

(El método de coordenadas se usa aquí porque la pregunta es relativamente simple. El método estándar es usar la transformación de base fórmula Obtenga la fórmula de transformación de coordenadas para encontrar las coordenadas).