¿Cuál es la desigualdad de Jensen?

(Jensen) Desigualdad Si f(x) es una función convexa en (a, b), x1, x2 están ambos en (a, b), demuestra la desigualdad: f[(x1 x2)/ 2 ]≥1/2[f(x1) f(x2)] está establecido

Demostración: Demuestre que f[(x1 x2)/2]≥1/2[f(x1) f(. x2)] El establecimiento se puede transformar en demostrar que f[(x1 x2)/2]-f(x1)≥f(x2)-f[(x1 x2)/2] supongamos que x1lt; a Lagrange El teorema del valor medio se puede obtener: f[(x1 x2)/2]-f(x1)=f'(ξ1)(x2-x1)/2, f(x2)-f[(x1 x2)/ 2=f '(ξ2)(x2-x1)/2, donde ξ1 está entre x1 y (x1 x2)/2, y ξ2 está entre (x1 x2)/2 y x2 A partir del supuesto de x1lt; se puede saber que ξ1lt; ξ2. Dado que f(x) es una función convexa en (a, b), f(x) satisface f''(x)lt;0 en (a, b), entonces f'( x) está en (a, b) disminuye hacia arriba, ya que ξ1lt; ξ2, entonces f'(ξ1)gt; f'(ξ2), entonces {f[(x1 x2)/2]-f(x1)}-{ f(x2)-f [(x1 x2)/2]}=(x2-x1)[ f'(ξ1)- f'(ξ2)]/2gt 0, entonces f[(x1 x2)/2]- f(x1)gt; f(x2)-f[(x1 x2)/2], entonces f[(x1 x2)/2]gt;1/2[f(x1) f(x2)]. x1lt;x2, el resultado es el mismo; si x1=x2, entonces obviamente f[(x1 x2)/2]=1/2[f(x1) f(x2)], entonces demostramos que f[(x1 x2) )/2]≥1/2 [f(x1) f(x2)]

De manera similar, si f(x) es una función cóncava sobre (a, b), y x1 y x2. están ambos en (a, b), entonces Hay una desigualdad: 1/2[f(x1) f(x2)]≥f[(x1 x2)/2]

Encuentra el. segunda derivada de f(x)=tanx: f'( x)=1/cos^2x

f''(x)=1/cos^3x*(-2)*(cosx)' =2tanx/cos^2x

Obviamente, cuando x∈(0, π/2), f''(x)gt;0 es una función cóncava, por lo que hay 1/2[f(x1 ) f(x2)]gt;f[(x1 x2)/ 2].