Tabla de fórmulas derivadas de números altos

La tabla de fórmulas de derivadas de números elevados es la siguiente:

1.

2. y=x^μ, y'=μx^(μ-1) (μ es una constante y μ≠0).

3. y=a^x, y'=a^xlna; y=e^x, y'=e^x.

4. y=logax, y'=1/(xlna) (agt; 0 y a≠1);

5. y=senx, y'=cosx.

6. y=cosx, y'=-sinx.

7. y=tanx, y'=(secx)^2=1/(cosx)^2.

8. y=cotx, y'=-(cscx)^2=-1/(sinx)^2.

Regla de la fórmula de la derivada:

La derivada de la derivada de primer orden se llama derivada de segundo orden. Las derivadas de segundo orden y superiores se pueden definir paso a paso. inducción. Los derivados de segundo orden y superiores se denominan colectivamente derivados de orden superior. Conceptualmente, las derivadas de orden superior se pueden calcular paso a paso de acuerdo con las reglas de operación de las derivadas de primer orden, pero este enfoque no es factible desde consideraciones operativas prácticas. Por tanto, es necesario estudiar el método de cálculo de las derivadas de orden superior, especialmente las derivadas de orden arbitrario.

Se puede ver que cuanto mayor es el orden de la derivada, más compleja es la derivada del producto correspondiente, pero existen regularidades obvias. Para resumir las reglas generales, los coeficientes de la derivada de orden n. El producto y las reglas cambiantes del orden de la derivada son similares a los coeficientes y las reglas exponenciales de la expansión binomial.

Derivación de la fórmula derivada:

La fórmula derivada es un concepto importante en cálculo, que describe la tasa de cambio de una función en un punto determinado. El siguiente es el proceso de derivación de la fórmula derivada:

Primero, consideramos una función f(x), que se define en x=x0. Para encontrar la derivada de f(x) en x=x0, podemos usar la definición de límite. Según la definición de límite, si existe lim(x→x0)[f(x)-f(x0)/(x-x0), entonces el valor límite es la derivada de f(x) en x=x0.

A continuación, utilizamos la regla de sustitución infinitesimal equivalente, es decir, cuando x→0, senx~x, para derivar la fórmula derivada. Sabemos que cuando x→0, sin(x-x0)~(x-x0). Por lo tanto, podemos reemplazar el denominador en la fórmula lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0) con (x-x0)-sin(x-x0), de modo que Puede obtener lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x→x0)[f(x)- f(x0)]/[(xx0)- pecado(x-x0)].

Entonces, podemos usar la serie de Taylor para expandir sin(x-x0) y obtener lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]/[(x-x0)-sin (x-x0)]= lim(x→x0)[f'(x0) O((-x0))^2]/[(1-cos(x-x0)) O((x-x0)^2 )].

Finalmente, usamos la regla de sustitución infinitesimal equivalente y las propiedades básicas de encontrar límites, y podemos obtener lim(x→x0)[f'(x0) O((x- x0))^2 ]/ [(1-cos(x-x0)) O((x-x0)^2)]=f'(x0)/1=f'(x0).

Por lo tanto, demostramos que la derivada de f(x) en x=x0 es f'(x0). Cabe señalar que aquí solo se proporciona un método común para derivar fórmulas derivadas. De hecho, existen muchos métodos para derivar fórmulas derivadas, como el método de derivación directa, el método de expansión de series de potencias, etc.