Cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes

Algunos de los más utilizados:

1. Ay'' By' Cy=e^mx?

Solución especial y=C(x) e^ mx

2. Ay'' By' Cy=a sinx bcosx

Solución especial y=msinx nsinx

3. = mx n

Solución especial y=ax

La ecuación diferencial lineal de coeficiente constante de segundo orden es una ecuación diferencial de la forma y'' py' qy=f(x), donde p y q son constantes reales. El término libre f(x) es una función continua definida en el intervalo I, es decir, cuando y'' py' qy=0, se denomina ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes.

Si la razón de las funciones y1 e y2 es constante, se dice que y1 e y2 están relacionadas linealmente; si la razón de las funciones y1 e y2 no es constante, se dice que y1 e y2 están relacionadas linealmente; independiente. La ecuación característica es: λ^2 pλ q=0, y luego resuelve la ecuación de acuerdo con las raíces de la ecuación característica.

Información ampliada:

Solución general = solución especial de ecuación no homogénea, solución general de ecuación homogénea

Para coeficiente constante de segundo orden lineal no homogéneo forma de ecuación diferencial ay' ' by' La solución especial y* de cy=p(x) tiene la forma

y*=?

donde Q(x) es un polinomio de del mismo grado que p(x). Según si α es una raíz característica, una raíz característica única o una raíz característica doble (mencionada anteriormente), k toma 0, 1 o 2 a su vez.

Sustituir y* en la ecuación y compare las similitudes de x en ambos lados de la ecuación. El coeficiente de potencia (método del coeficiente indeterminado) se puede determinar para determinar el coeficiente de Q(x) y obtener la solución especial y*.

Método polinomial:

Supongamos una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes y'' py' qy =pm (x)e^(λx), donde p, q, λ son constantes , pm (x) es un polinomio de m grados de x. Sea y=ze^(λz), entonces la ecuación se puede reducir a:

F″(λ)/2!z″ F′( λ)/1! z′ F(λ)z=pm(x), donde F(λ)=λ^2 pλ q es el polinomio característico de la ecuación homogénea correspondiente a la ecuación.

Método ascendente:

Supongamos y'' p(x)y' q(x)y=f(x), cuando f(x) es un polinomio, sea f ( x)=a0x^n a1x^(n-1) ... a(n-1)x an En este momento, ambos lados de la ecuación se diferencian con x n veces al mismo tiempo, y obtenemos

y''' p (x)y'' q(x)y'=a0x^n a1x^(n-1) … a(n-1)x an……

y^(n 1) py^( n) qy^(n-1)=a0n!x a1(n-1)!

y^(n 2) py^(n 1) qy^ (n)=a0n!

Sea y^n=a0n!/q(q≠0), en este momento, y^(n 2)=y^(n 1)=0. A partir de y^(n 1) e y^n, podemos obtener y^(n-1) a través de la penúltima ecuación, y luego ascender en orden hasta llegar a la ecuación y'' p(x)y' q(x) y= f(x), se puede obtener una solución especial de la ecuación y(x).