¿Qué es la geometría de Riemann?

La geometría riemanniana es un tipo de geometría no euclidiana, también conocida como "geometría elíptica".

Fundación

La gente finalmente se dio cuenta de que existe una nueva geometría diferente a la geometría euclidiana, que se llama geometría no euclidiana. Poco después, Riemann en Alemania creó otra geometría no euclidiana reemplazando el quinto postulado por otro nuevo axioma. El nuevo axioma de Riemann sostiene que "a través de un punto fuera de la línea recta, no se puede trazar ninguna línea paralela".

La comunidad matemática rápidamente se dio cuenta de que estas tres geometrías eran correctas y reflejaban las propiedades de espacios con diferentes curvaturas. La gente llama geometría a la geometría creada por Lobachevsky y Boyer Loche, y la geometría creada por Riemann se llama geometría de Riemann. La geometría euclidiana es geometría en el espacio recto, la geometría de Rietzsche es geometría en el espacio con curvatura positiva y la geometría de Roche es geometría en el espacio con curvatura negativa.

En 1845, Riemann pronunció una conferencia inaugural titulada "Sobre los supuestos como base de la geometría" en la Universidad de Göttingen, marcando el nacimiento de la geometría riemanniana. Riemann unificó estas tres geometrías, denominadas colectivamente geometría riemanniana, y utilizó este trabajo para presentar un informe en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Göttingen y buscar un puesto como profesor.

Después de E. B. Christoffel, L. Bianohi y C. GRAMO. Ricci y otros lo mejoraron y ampliaron aún más en A. Potente herramienta matemática para la creación de la teoría general de la relatividad por parte de Einstein (1915). Desde entonces, la geometría riemanniana se ha desarrollado vigorosamente, especialmente E. Cartan, la forma diferencial externa y el método de marco móvil que estableció, unieron la conexión entre los grupos de Lie y la geometría de Riemann, abrieron amplias perspectivas para el desarrollo profundo de la geometría de Riemann y tuvieron una profunda influencia.

En el último medio siglo, la investigación sobre la geometría riemanniana se ha desarrollado de lo local a lo global, dando como resultado muchas ramas profundas y otras de las matemáticas (como la topología algebraica, las ecuaciones diferenciales parciales, la teoría de intersecciones complejas múltiples). funciones, etc.) y resultados que juegan un papel importante en la física moderna.

Contenido

La investigación de Riemann se basa en la geometría diferencial implícita de superficies curvas de Gauss. En la geometría riemanniana, el objeto más importante es la llamada curvatura constante, para lo tridimensional. espacio, hay tres situaciones: la curvatura es siempre igual a cero; la curvatura es una constante negativa;

Riemann señaló: Las dos primeras situaciones corresponden a la geometría euclidiana y la geometría de Lobachevsky respectivamente, mientras que la tercera situación es la creación del propio Riemann, que corresponde a otra geometría no euclidiana. La tercera geometría de Riemann consiste en reemplazar el quinto postulado con la proposición "Cualquier línea recta trazada a través de un punto fuera de la línea recta cortará la línea recta" como premisa, conservando otros axiomas y postulados de la geometría euclidiana, y lo estableció mediante un razonamiento lógico riguroso. sistema geométrico.

Este tipo de geometría niega la existencia de "líneas paralelas" y es otra geometría no euclidiana completamente nueva. Esta es la geometría de Riemann en el sentido estricto actual. Es una geometría con una constante positiva en la curvatura. , es decir, la geometría en una esfera ordinaria también se llama geometría esférica. El artículo fue publicado en 1868, dos años después de la muerte de Riemann.