¿Dos variedades son topológicamente homeomórficas en difeomorfismos?

Hay dos estructuras en cualquier variedad diferencial, una se llama estructura topológica y la otra se llama estructura diferencial. El homeomorfismo topológico le dice que las estructuras topológicas son las mismas, mientras que el difeomorfismo es un concepto más fuerte y le dice que, además de las mismas estructuras topológicas, las estructuras diferenciales también son las mismas.

¡Cabe señalar que estas dos estructuras son de hecho estructuras diferentes! Es decir: algunas variedades diferenciales pueden tener diferentes estructuras diferenciales bajo la misma estructura topológica. Por ejemplo, R^4, bajo topología estándar, puede tener una cantidad incontable de estructuras diferenciales. En otras palabras, se puede construir un número incontable de estructuras diferenciales de modo que cada versión del homeomorfismo topológico R^4 sea diferencialmente diferente. También hay algunas variedades topológicas en las que no existe ninguna estructura diferencial.

Sin embargo, vale la pena señalar que las variedades diferenciales por debajo de cuatro dimensiones (excluyendo cuatro dimensiones) tienen estructuras diferenciales únicas. En segundo lugar, si existen diferentes estructuras diferenciales en colectores compactos con más de cuatro dimensiones, entonces debe haber un número limitado de tipos. Es más interesante acerca de R^n Excepto n=4, existe una estructura diferencial única