Solicitud de puntuación alta: ¿Quién puede explicarme las leyes básicas de las matemáticas avanzadas?

Resumen de las definiciones de teoremas de matemáticas avanzadas en el examen de ingreso de posgrado de 2009

Capítulo 1 Funciones y límites

1. La acotación de una función tiene f( x en el dominio de definición )≥K1, entonces la función f(x) tiene un límite inferior en el dominio, y K1 es el límite inferior si f(x)≤K2, hay un límite superior y K2 se llama; límite superior. La condición necesaria y suficiente para que la función f(x) esté acotada en el dominio es que haya tanto un límite superior como un límite inferior en el dominio.

2. El teorema del límite de la secuencia (la unicidad del límite) la secuencia {xn} no puede converger a dos límites diferentes al mismo tiempo.

Teorema (acotación de una secuencia convergente) Si la secuencia {xn} converge, entonces la secuencia {xn} debe ser acotada.

Si la secuencia {xn} es ilimitada, entonces la secuencia {xn} debe divergir, pero si la secuencia {xn} es acotada, no se puede concluir que la secuencia {xn} debe converger, por ejemplo. , la secuencia 1, -1, 1, -1, (-1)n 1... Esta secuencia es acotada pero divergente, por lo que la acotación es una condición necesaria para la convergencia de la secuencia pero no una condición suficiente.

Teorema (la relación entre una secuencia convergente y sus subsecuencias) Si la secuencia {xn} converge a a, entonces cualquiera de sus subsecuencias también converge a a. Si la secuencia {xn} tiene dos subsecuencias que convergen. a diferente El límite de , {xn} es divergente; al mismo tiempo, la subsecuencia de una secuencia divergente también puede ser convergente.

3. Límite de la función En la definición de límite de la función, 0lt |x-x0| significa x≠x0, entonces cuando x→x0, f(x) tiene un límite y f(x). ) ¿En el punto x0 ninguna definición es irrelevante?

Teorema (preservación del signo local del límite) Si f(x)=A cuando lim(x→x0), y Agt 0 (o Alt; 0), entonces hay un cierto punto de x0. Una vez que se elimina la vecindad del centroide, cuando x está en la vecindad, habrá f(x)gt 0 (o f(x)gt; 0), y viceversa.

La condición necesaria y suficiente para la existencia del límite de la función f(x) cuando x→x0 es que el límite izquierdo y el límite derecho existan y sean iguales, es decir, f(x0-0 )=f(x0 0), si no, entonces limf(x) no existe.

En términos generales, si lim(x→∞)f(x)=c, entonces la recta y=c es la asíntota gráfica horizontal de la función y=f(x). Si lim(x→x0)f(x)=∞, entonces la línea recta x=x0 es la asíntota vertical de la gráfica de la función y=f(x).

4. Teorema de la Ley de la Aritmética Límite: La suma de infinitesimales finitos también es infinitesimal; el producto de una función acotada y de los infinitesimales es infinitesimal; infinitesimales también es infinitesimal; teorema si F1 (x)≥F2(x), y limF1(x)=a, limF2(x)=b, entonces a≥b

5. Dos límites importantes lim. (x→0 )(sinx/x)=1; lim(x→∞)(1 1/x)x=1 Si la secuencia {xn}, {yn}, {zn} satisface las siguientes condiciones: yn≤xn≤zn Y limyn=a, limzn=a, entonces limxn=a, este criterio también es válido para funciones.

Una secuencia acotada monótona debe tener un límite.

6. Continuidad de la función Supongamos que la función y=f(x) está definida en una determinada vecindad del punto x0 si el límite de la función f(x) cuando x→x0 existe y es igual a él. El valor de la función f (x0) en el punto x0, es decir, lim (x → x0) f (x) = f (x0), entonces se dice que la función f (x) es continua en el punto x0.

Situación de discontinuidad: 1. No hay definición en el punto x=x0 2. Aunque está definido en x=x0, lim(x→x0)f(x) no existe; Aunque se define en x = x0 y existe lim (x → x0) f (x), pero cuando lim (x → x0) f (x) ≠ f (x0), se dice que la función es discontinua o discontinua en x0.

Si x0 es un punto de discontinuidad de la función f(x), pero existen tanto el límite izquierdo como el derecho, entonces x0 se llama el primer tipo de punto de discontinuidad de la función f(x) (el límite izquierdo y los límites derechos son iguales si son iguales) Elimina las discontinuidades, las que no son iguales se llaman discontinuidades de salto). Cualquier punto de discontinuidad que no sea el primer tipo de punto de discontinuidad se denomina punto de discontinuidad del segundo tipo (punto de discontinuidad infinita y punto de discontinuidad oscilante).

Teorema: La suma, producto y cociente (el denominador no es 0) de un número finito de funciones que son continuas en un determinado punto es una función que es continua en ese punto.

Teorema: Si la función f(x) aumenta o disminuye de forma monótona y continua en el intervalo Ix, entonces su función inversa x=f(y) está en el intervalo correspondiente Iy={y|y=f (x ), monótonamente creciente o decreciente y continua en x∈Ix}. Las funciones trigonométricas inversas son continuas dentro de su dominio.

Teorema (Teorema del Máximo Mínimo) Una función continua en un intervalo cerrado debe tener un valor máximo y mínimo en el intervalo. Si la función es continua en un intervalo abierto o la función tiene discontinuidades en un intervalo cerrado, entonces la función no necesariamente tiene un valor máximo y mínimo en ese intervalo.

Teorema (teorema de la acotación) Una función continua en un intervalo cerrado debe estar acotada en el intervalo, es decir, m ≤ f (x) ≤ M. Teorema (teorema del punto cero) Supongamos que la función f (x) ) Es continua en el intervalo cerrado [a, b], y f(a) y f(b) tienen signos diferentes (es decir, f(a)×f(b)lt; 0), entonces al menos en el intervalo abierto (a, b) Hay un punto cero de la función f(x), es decir, hay al menos un punto ξ(alt; ξlt; b).

Se deduce que una función continua en un intervalo cerrado debe tomar cualquier valor entre el valor máximo M y el valor mínimo m.

Capítulo 2 Derivadas y Diferenciales

1. Condiciones necesarias y suficientes para la existencia de derivadas Las condiciones necesarias y suficientes para que la función f(x) sea derivable en el punto x0 son que. el límite izquierdo lim(h→-0)[f(x0 h)-f(x0)]/h y el límite derecho lim(h→ 0)[f(x0 h)-f(x0)]/h ambos existen y son iguales, es decir, la derivada izquierda f-′(x0) y la derivada derecha f′(x0) son iguales.

2. La función f(x) es diferenciable = gt en el punto x0; la función f(x) es continua ≠gt en el punto x0; en el punto. Es decir, la continuidad de una función en un punto determinado es una condición necesaria pero no suficiente para que la función sea derivable en ese punto.

3. Si se puede derivar la función original, también se puede derivar la función inversa, y la derivada de la función inversa es el recíproco de la derivada de la función original.

4. La función f(x) es diferenciable en el punto x0=gt; la función es diferenciable en el punto; la condición necesaria y suficiente para que la función f(x) sea diferenciable en el punto; x0 es que la función es derivable en el punto x0 Puede guiarse a todas partes.

Capítulo 3 Teorema del valor medio y aplicación de las derivadas

1. Teorema (teorema de Rohr) Si la función f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b], en Es diferenciable en el intervalo abierto (a, b), y los valores de la función en los puntos finales del intervalo son iguales, es decir, f (a) = f (b), entonces hay al menos un punto ξ (alt; ξlt; en el intervalo abierto (a, b); b), igualar a cero la derivada de la función f(x) en este punto: f'(ξ) = 0.

2. Teorema (Teorema del valor medio de Lagrange) Si la función f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe al menos un punto ξ(alt ; ξlt; b) en el intervalo abierto (a, b), de modo que la ecuación f (b)-f(a) = f'(ξ)(b-a) pasa a ser inmediata f'(ξ) = [f(b) -f(a)]/(b-a).

3. Teorema (Teorema del valor medio de Cauchy) Si las funciones f(x) y F(x) son continuas en el intervalo cerrado [a, b], son diferenciables en el intervalo abierto (a, b), y F'(x) no es cero en cada punto de (a, b), entonces hay al menos un punto ξ en el intervalo abierto (a, b), de modo que la ecuación [f(b)- f(a) ]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ) se cumple.

4. Las condiciones de aplicación de la ley de Lópida sólo se pueden utilizar en formas no formuladas como 0/0, ∞/∞, 0×∞, ∞-∞, 00, 1∞, ∞ 0, etc.

5. Determinar la monotonicidad de una función Supongamos que la función f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b), entonces: (1 ) Si en (a, b) f'(x)gt; 0, entonces la función f(x) aumenta monótonamente en [a, b] (2) Si f'(x)lt en (a, b); 0, entonces la función f(x) disminuye monótonamente en [a, b].

Si la función es continua en el intervalo definido, excepto por un número finito de puntos donde la derivada no existe, la derivada existe y es continua, entonces mientras la raíz de la ecuación f'( x)=0 y f'(x) no existe Al dividir el intervalo de definición de la función f(x) con puntos, podemos asegurar que f'(x) mantenga un signo fijo en cada intervalo parcial, por lo que la función f( x) es monótono en cada intervalo parcial.

6. El valor extremo de la función. Si la función f(x) está definida en el intervalo (a, b), x0 es un punto en (a, b). al punto x0 Para cualquier punto x en la vecindad del centroide, f(x)f(x0) es verdadera, y se dice que f(x0) es un valor mínimo de la función f(x).

Cuando una función obtiene un valor extremo, la recta tangente a la curva es horizontal. Sin embargo, cuando hay una curva horizontal en la curva, la función no necesariamente obtiene un valor extremo. El punto de valor extremo de la función diferenciable debe ser su punto estacionario (el punto donde la derivada es 0), pero el punto estacionario de la función no es necesariamente el punto extremo.

Teorema (condición necesaria para que una función obtenga un valor extremo) Supongamos que la función f(x) es derivable en x0 y obtiene un valor extremo en x0, entonces la derivada de la función en x0 es cero , es decir, f'(x0)=0. Teorema (la primera condición suficiente para que una función obtenga un valor extremo) Supongamos que la función f(x) es diferenciable en una vecindad de x0 y f'(x0)=. 0, entonces: (1) Si cuando x alcanza un valor adyacente al lado izquierdo de x0, f'(x) siempre es positivo cuando x alcanza un valor adyacente al lado derecho de x0, f'(x); ) es siempre negativa, entonces la función f(x) obtiene el valor máximo en x0 ; (2) Si cuando x toma el valor adyacente al lado izquierdo de x0, f'(x) siempre es negativa cuando x toma el valor; adyacente al lado derecho de x0, f'(x) es siempre positiva, entonces la función f(x ) obtiene el valor mínimo en x0 (3) Si f'(x) es siempre positiva o siempre negativa cuando x toma valores; adyacente a los lados izquierdo y derecho de x0, entonces la función f(x) no tiene valor extremo en x0.

Teorema (la segunda condición suficiente para que una función obtenga un valor extremo) Supongamos que la función f(x) tiene una segunda derivada en x0 y f'(x0)=0, f''(x0) ≠0 Entonces: (1) Cuando f''(x0)lt; 0, la función f(x) obtiene el valor máximo en x0; (2) Cuando f''(x0)gt; ) Obtener el valor mínimo en x0; el punto estacionario puede ser un punto extremo, o puede ser un punto extremo si no es un punto estacionario.

7. La concavidad y convexidad de la función y su determinación Supongamos que f(x) es continua en el intervalo Ix Si para dos puntos cualesquiera x1 y x2, siempre existe f[(x1 x2). /2]lt; [f (x1) f(x1)]/2, entonces la gráfica de f(x) en el intervalo Ix se dice cóncava si siempre existe f[(x1 x2)/2]gt; ; [f(x1) f(x1)] /2, entonces se dice que la gráfica de f(x) en el intervalo Ix es convexa.

Teorema Supongamos que la función f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] y tiene derivadas de primer y segundo orden en el intervalo abierto (a, b), entonces (1) si en (a, f''(x)gt dentro de b); entonces la gráfica de f(x) en el intervalo cerrado [a, b] es cóncava (2) Si f''(x) dentro de (; a, b) )lt; 0, entonces la gráfica de f(x) en el intervalo cerrado [a, b] es convexa.

Pasos para determinar el punto de inflexión de la curva (punto divisorio cóncavo-convexo) (1) Encuentre f''(x) (2) Sea f''(x)=0, y resuelva esto; ecuación en el intervalo (a, raíces reales en b (3) Para cada raíz real x0 resuelta en (2), verifique los símbolos adyacentes de f''(x) en los lados izquierdo y derecho de x0, si f'); '(x) está en x0 Los lados izquierdo y derecho mantienen un cierto signo respectivamente. Entonces, cuando los signos en ambos lados son opuestos, el punto (x0, f (x0)) es un punto de inflexión. lo mismo, el punto (x0, f(x0)) no es un punto de inflexión.

Al realizar gráficas de funciones, si la función tiene puntos discontinuos o puntos donde la derivada no existe, estos puntos también se deben utilizar como puntos.

Capítulo 4 Integral Indefinida

1. El teorema de existencia de la función original Teorema Si la función f(x) es continua en el intervalo I, entonces existe una función diferenciable F(x) ) en el intervalo I ), de modo que F'(x)=f(x) para cualquier x∈I, simplemente hablando, una función continua debe tener una función original.

Integración por partes Si el integrando es el producto de una función de potencia y seno y coseno o una función de potencia y una función exponencial, puedes considerar usar el método de integración por partes, y asumir que la función de potencia y La función exponencial es u, así que use el método de integración por partes para reducir la potencia de la función de potencia una vez. Si el integrando es el producto de una función potencia y una función logarítmica o una función potencia y una función trigonométrica inversa, las funciones logarítmica y trigonométrica inversa se pueden establecer en u. En el intervalo de definición, su función original debe existir, pero las funciones originales no son necesariamente funciones elementales.

Capítulo 5 Integrales Definidas

1. Problemas típicos resueltos mediante integrales definidas (1) Área de un trapecio curvo (2) Distancia de un movimiento lineal de velocidad variable

2. Teorema de la condición suficiente para la integrabilidad de una función. Supongamos que f(x) es continua en el intervalo [a, b], entonces f(x) es integrable en el intervalo [a, b], es decir, continua = gt. ; integrable.

Teorema Supongamos que f(x) está acotada en el intervalo [a, b] y tiene sólo un número finito de puntos discontinuos, entonces f(x) es integrable en el intervalo [a, b].

3. Algunas propiedades importantes de las integrales definidas: Si f(x)≥0 en el intervalo [a, b], entonces ∫abf(x)dx≥0. , b] Si f(x)≤g(x), entonces ∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx Corolario |∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx. M y m sean las propiedades son los valores máximo y mínimo de la función f(x) en el intervalo [a, b], respectivamente, entonces m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a). Esta propiedad muestra que el integrando está en el intervalo integral. Los valores máximo y mínimo se pueden utilizar para estimar el rango aproximado del valor integral.

Propiedad (teorema del valor medio integral definido) Si la función f(x) es continua en el intervalo [a, b], entonces hay al menos un punto ξ en el intervalo integral [a, b] , de modo que se establece la siguiente fórmula: ∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a).

4. Respecto a la integral generalizada, sea la función f(x) continua en el intervalo [a, b] excepto en el punto c(alt; clt; b), e ilimitada en las proximidades del punto c. Si las dos Una integral generalizada ∫acf(x)dx y ∫cbf(x)dx convergen, entonces defina ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx ∫cbf(x)dx, de lo contrario (siempre que como uno de ellos diverge) se llama Integral generalizada ∫abf(x)dx diverge.

Capítulo 6 Aplicación de la integral definida

Encuentra el área de una figura plana (el área encerrada por una curva)

En el sistema de coordenadas rectangular ( con y sin parámetros) Parámetros)

En el sistema de coordenadas polares (r, θ, x=rcosθ, y=rsinθ) (fórmula del área del sector S=R2θ/2)

Volumen del cuerpo giratorio (por curva continua, el área encerrada por la línea recta y el eje de coordenadas se gira alrededor del eje de coordenadas) (y el volumen V=∫abπ[f(x)]2dx, donde f(x) se refiere a la ecuación de la curva)

Paralelo El área de la sección transversal es el volumen tridimensional conocido (V=∫abA(x)dx, donde A(x) es el área de la sección transversal)

Trabajo, presión del agua, gravedad

El promedio de las funciones Valor (promedio y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)

Capítulo 7 Método diferencial de funciones multivariadas y su aplicación

1. La existencia del límite de funciones multivariadas La existencia de un límite condicional significa que cuando P(x, y) se aproxima a P0(x0, y0) de cualquier manera, la función es infinitamente cercana a A. Si P(x, y) se acerca a P0(x0, y0) de una manera especial, como a lo largo de una línea recta fija O cuando la curva definida tiende a P0 (x0, y0), incluso si la función está infinitamente cerca de un cierto valor, no podemos concluir que el límite de la función existe. Por el contrario, si la función tiende a valores diferentes cuando P(x, y) se acerca a P0(x0, y0) de diferentes maneras, entonces se puede concluir que el límite de esta función no existe. Por ejemplo, función: f(x, y)={0(xy)/(x^2 y^2)x^2 y^2≠0

2. Definición de continuidad de la función multivariada Let function f (x, y) se define en el área abierta (o área cerrada) D, P0 (x0, y0) es el punto interior o punto límite de D y P0∈D, si lim (x→x0, y→y0) f(x, y) = f (x0, y0), entonces se dice que f (x, y) es continua en el punto P0 (x0, y0).

Propiedad (Teorema del valor máximo y mínimo) Una función continua multivariante en una región cerrada acotada D debe tener un valor máximo y un valor mínimo en D.

Propiedad (teorema del valor intermedio) Una función continua multivariante en una región cerrada acotada D. Si obtiene dos valores de función diferentes en D, entonces obtiene un valor entre estos dos valores​ ​en D. cualquier valor entre al menos una vez.

3. Continuidad y Diferenciabilidad de Funciones Multivariadas Si una función de una variable tiene una derivada en un punto determinado, debe ser continua en ese punto. Pero para funciones multivariadas, incluso si cada derivada parcial existe en un punto. cierto punto, tampoco hay garantía de que la función sea continua en ese punto. Esto se debe a que la existencia de cada derivada parcial solo puede garantizar que cuando el punto P se acerca a P0 en la dirección paralela al eje de coordenadas, el valor de la función f (P) tiende a f (P0), pero no puede garantizar que el punto P se aproxima a P0 de alguna manera, el valor de la función f(P) tiende a f(P0).

4. Condiciones necesarias para la diferenciabilidad de una función multivariada La existencia de la derivada de una función unaria en un punto determinado es condición necesaria y suficiente para la existencia de una diferencial. Las derivadas parciales de una función multivariada son sólo una condición necesaria para la existencia de un diferencial completo, pero no una condición suficiente, es decir, diferenciable = gt;

5. Teorema de la condición suficiente (condición suficiente) para la diferenciabilidad de funciones multivariadas Si la derivada parcial de la función z=f(x, y) existe y es continua en el punto (x, y) , entonces la función es en ese punto Diferenciable.

6. Teorema de la condición necesaria y suficiente (condición necesaria) para la existencia de valores extremos de funciones multivariadas Supongamos que la función z=f(x, y) tiene una derivada parcial en el punto (x0, y0). ), y en el punto (x0, y0) tiene un valor extremo, entonces su derivada parcial en este punto debe ser cero.

Teorema (condición suficiente) Supongamos que la función z=f(x, y) es continua en una determinada vecindad del punto (x0, y0) y tiene derivadas parciales continuas de primer y segundo orden, y fx(x0, y0)=0, fy(x0, y0)=0, sea fxx(x0, y0)=0=A, fxy(x0, y0)=B, fyy(x0, y0)=C, entonces f(x, y) Las condiciones para obtener un valor extremo en el punto (x0, y0) son las siguientes: (1) AC-B2gt tiene un valor extremo cuando 0, y tiene un valor máximo cuando Alt 0, y tiene; un valor mínimo cuando Agt 0; (2) AC-B2lt; no hay valor extremo cuando 0; (3) Puede haber o no un valor extremo cuando AC-B2=0;

7. Solución a la existencia de valores extremos de funciones multivariadas (1) Resuelve las ecuaciones fx (x, y) = 0, fy (x, y) = 0 para encontrar todas las soluciones de números reales .Todo se detiene.

(2) Para cada punto estacionario (x0, y0), encuentre los valores A, B y C de las derivadas parciales de segundo orden (3) Determine el signo de AC-B2 y. proceder de acuerdo con condiciones suficientes Determine si f (x0, y0) es un valor máximo o un valor mínimo.

Nota: Al considerar el valor extremo de una función, además de considerar los puntos estacionarios de la función, si hay puntos donde no existen derivadas parciales, también se deben tener en cuenta estos puntos.

Capítulo 8 Integral Doble

1. Algunas aplicaciones de la integral doble El área de la superficie volumétrica de un cilindro curvo (A=∫∫√[1 f2x(x, y ) f2y(x, y)]dσ)

Masa de la lámina plana Coordenadas del centro de gravedad de la lámina plana (x=1/A∫∫xdσ, y=1/A∫∫ ydσ; donde A=∫∫ dσ es el área de la región cerrada D.

El momento de inercia de la lámina plana (Ix=∫∫y2ρ(x, y)dσ, Iy=∫ ∫x2ρ(x, y)dσ; donde ρ(x, y) es la densidad en el punto (x, y)

La atracción de la lámina plana hacia la partícula (FxFyFz)

2. La condición para la existencia de la integral doble es cuando f(x, Cuando y) es continua en el área cerrada D, el límite existe, por lo que debe existir la integral doble de la función f(x, y) en D

3. Algunas propiedades importantes de la integral doble si in. En D, f (x, y) ≤ ψ (x, y), entonces existe la desigualdad ∫∫ f (x, y) dxdy ≤ ∫∫ ψ (x, y) dxdy, especialmente porque -|f (x, y) )|≤f(x,y)≤|f(x,y)|También existe la desigualdad |∫∫f( x,y)dxdy|≤∫∫|f(x,y)|dxdy Propiedades Supongamos que M, m son los valores máximo y mínimo de f(x, y) en el área cerrada D, y σ es el área. de D, entonces existe la propiedad mσ≤∫∫f(x, y)dσ≤Mσ

(Teorema del valor medio de integrales dobles) Supongamos que la función f (x, y) es. continua en el área cerrada D, y σ es el área de D Entonces hay al menos un punto (ξ, η) en D tal que la siguiente fórmula es verdadera: ∫∫f (x, y)dσ=f. (ξ,η)*σ4. Conversión de escalares en integrales dobles entre sistemas de coordenadas rectangulares y polares Para convertir la integral doble del sistema de coordenadas rectangular al sistema de coordenadas polares, simplemente se cambia el integrando en x e y se reemplazan por ycosθ y. rsinθ respectivamente, y se cambia el elemento de área dxd en el sistema de coordenadas rectangular