Precio de opciones neutral al riesgo
Cuando muchos amigos estudian ingeniería financiera, inevitablemente se encontrarán con esta pregunta: ¿Por qué se pueden utilizar precios neutrales al riesgo en la fijación de precios de opciones?
Pero, en última instancia,
la neutralidad del riesgo no es una suposición, sino una inferencia.
La neutralidad del riesgo no es una suposición, sino una inferencia.
La neutralidad del riesgo no es una suposición, sino una inferencia.
Este artículo te llevará a deducir esta inferencia paso a paso.
El llamado método de valoración neutral al riesgo de opciones, es decir, bajo la medida neutral al riesgo, el valor de la opción se deduce como, es decir,
Entre ellos, es la tasa de interés libre de riesgo en el momento, y es el tiempo El álgebra de es el flujo de efectivo pagado por la opción cuando vence. (Por ejemplo, para las opciones de compra europeas comunes, )
En particular, en el caso de
Los estudiantes cuidadosos pueden encontrar que es una variable definida en y es una constante. El valor de esta constante es exactamente el valor de la opción que queremos obtener en ese momento.
Así que nuestro problema se transforma aún más en la prueba de la fórmula anterior.
Si no utilizas fórmulas matemáticas para responder, entonces la respuesta se puede resumir en:
Ahora comenzamos a ampliar paso a paso y utilizar fórmulas matemáticas para explicar y responder esta pregunta. .
Supongamos que actualmente hay dos activos, a saber, acciones y cuentas de efectivo,
¿dónde está el movimiento browniano estándar bajo la medida realista?
Si la medida se transforma en Luego, la fórmula anterior se transforma en
donde está el movimiento browniano estándar bajo la medida neutral al riesgo.
Al ver esto, puede que te preguntes por qué de repente se utiliza la conversión de medidas. No te preocupes, esto se explicará en la segunda mitad del artículo "Por qué utilizar la neutralidad de riesgo".
La llamada medida neutral al riesgo es solo una de muchas medidas convertibles. Por ejemplo, también podemos convertir la medida en una medida anticipada (Forward Measure) para la fijación de precios, pero, por supuesto, esto es una historia. más tarde.
Cuando se trata de medición, tenemos que mencionar el concepto de Numerario, para citar las palabras originales del libro del profesor Wu Lixin "Teoría y práctica del modelado de tasas de interés", es decir
. Tradúzcalo a nuestro caso:
Después de entender qué es una medida neutral al riesgo (qué), las preguntas restantes son por qué y cómo.
La respuesta directa es La explicación financiera del riesgo. -Método de fijación de precios neutral mencionado anteriormente:
La cartera debe tener dos propiedades muy importantes
Utilizando medidas neutrales al riesgo, puede encontrar dicha cartera.
Supongamos que hemos utilizado la medida neutral al riesgo para completar la conversión del proceso de movimiento del precio de las acciones, es decir,
Entonces el movimiento del precio de las acciones utiliza el activo libre de riesgo ( cuenta de efectivo) como unidad de medida. Puede escribirse como
Según la fórmula de Ito, puede ampliarse como
Porque es un movimiento browniano estándar bajo el riesgo neutral. medida, es una martingala bajo la medida, escrita como . Pero puede llevarnos al teorema de representación de la martingala más adelante.
Porque es una variable definida en , de manera similar, y también lo son.
Por lo tanto, podemos definir una nueva variable,
que puede considerarse como una variable proyectada en el espacio, y se puede ver fácilmente que también lo es. de la siguiente manera:
Según el teorema de representación de la martingala, debido a que y son ambas variables definidas en el mismo espacio de medición, debe existir una, de modo que
Entonces podemos determinar esto, y ésta es también la lógica de todo el núcleo del teorema. Porque podemos comenzar a construir nuestra cartera de inversiones en base a esto:
Entre ellos, el valor descontado de esta cartera es
Una observación más detallada puede encontrar que
De de la fórmula anterior se puede concluir que esta cartera tiene las dos características que buscamos
Cuando una cartera de activos posee estas dos características, podemos deducir que la cartera de activos tiene el mismo valor que la opción, en caso contrario Existirán oportunidades de arbitraje.
Esto lleva a la conclusión más importante:
Sí, repítelo
Se expandirá en forma exponencial, podemos llegar a nuestra conclusión final
En este punto, la derivación ha terminado y la fórmula de fijación de precios neutral al riesgo se obtiene de manera razonable e inesperada. :)
Esta parte del conocimiento se menciona en la mayoría de los libros sobre procesos aleatorios, y el teorema de Girsanov en Wikipedia también tiene una explicación más detallada, por lo que no entraré en detalles aquí.
En particular, en el proceso de aprender a convertir medidas, lo que más me inspiró fue esa ecuación.
La inspiración es que la conversión de una medida es similar a convertir cada elemento de evento. en Las probabilidades se han ajustado un poco.
Entonces, si es un , entonces es .
Y encontrar esto equivale a encontrar la respuesta a la conversión de medidas.
En este punto, todo el proceso de prueba ha terminado. No sé si mis amigos lo han digerido. Puedes comunicarte por correo electrónico o dejar un mensaje.
Ps. Pronto comenzaré a actualizar este blog, por favor presten atención :P