Predecir la pregunta final de física y matemáticas en el examen de ingreso a la escuela secundaria de 2010
Ejemplo 1, la pregunta final del examen de escuela secundaria de Shanghai de 2005: en △ABC, ∠ABC=900, AB=4, BC=3. O es un punto en movimiento en el lado AC. Se dibuja un semicírculo con el punto O como centro. Es tangente al lado AB en el punto D y corta al segmento de recta OC en el punto E. Para EP⊥ED, el rayo de intersección AB está en el punto P y el rayo de intersección CB está en el punto F.
(1) Como se muestra en la figura, verifique: △ADE∽△AEP;
(2) Suponga que OA=x, AP=y, encuentre la expresión analítica de y con con respecto a x, y escriba su dominio;
(3) Cuando BF=1, encuentre la longitud del segmento de línea AP.
Solución: (1) Conectar OD,
Fácil de probar a partir de las condiciones conocidas, OD⊥AB,
∵EP⊥ED, ∴∠ODA= ∠ DEP
∵OD=OE ∴∠ODE=∠OED
∴∠ADE=∠AEP
Y ∵∠A=∠A ∴△ADE∽ △ PEA.
(2) ∵∠ABC=900, AB=4, BC=3, ∴AC=5
∵OA=x, fácil de encontrar OE=OD=, AD= ∴AE=x+
∵△ADE∽△AEP ∴ Es decir,
∴ .
Se puede ver en este ejemplo que la expresión analítica de la función en la segunda pregunta se basa en la conclusión de la primera pregunta "△ADE∽△AEP".
Ejemplo 2, la última pregunta del examen de la escuela secundaria de Shanghai de 2001: Se sabe que en el trapezoide ABCD, AD‖BC, AD (1) Como se muestra en la figura, P es un punto en AD, que satisface ∠BPC=∠A. ①Verificar; △ABP∽△DPC ②Encontrar la longitud de AP. (2) Si el punto P se mueve en el borde de AD (el punto P no coincide con los puntos A y D), y satisface ∠BPE = ∠A, PE corta la recta BC con el punto E y corta recta DC al mismo tiempo en el punto Q, entonces ① Cuando el punto Q está en la extensión del segmento DC, supongamos AP=x, CQ=y, encuentre la expresión analítica de la función de y con respecto ax, y escriba el dominio de la función; ②Cuando CE=1, escriba la longitud de AP (no es necesario anotar el proceso de resolución del problema). Solución: (1) ① Prueba: ∵ ∠ABP=180°-∠A-∠APB, ∠DPC=180°-∠BPC-∠APB, ∠BPC=∠A, ∴ ∠ABP= ∠DPC. ∵ En el trapecio ABCD, AD‖BC, AB=CD, ∴ ∠A=∠D. ∴△ABP∽△DPC. ②Solución: Supongamos que AP=x, luego DP=5-x, de △ABP∽△DPC, obtenemos, es decir, obtenemos x1=1, x2=4, entonces la longitud de AP es 1 o 4． Solución a (2) ①: Similar a (1) ①, es fácil obtener △ABP∽△DPQ, ∴. Es decir, Obtenemos (1 ②AP=2 o AP=3-. Dado que el dominio de definición de la función en la pregunta (2) de este ejemplo es un punto difícil, si no hay una conclusión en la pregunta (1) de que "la longitud de AP es 1 o 4", la La respuesta al dominio será fácil. Resulta que 0 El pavimento de la idea de resolver la primera pregunta Ejemplo 3, la pregunta final en el examen de la escuela secundaria de Shanghai de 2003: como se muestra en la Figura 1, en el cuadrado ABCD, AB=1, Arco AC es un arco de círculo con el punto B como centro y la longitud AB como radio. El punto E es cualquier punto del lado AD (el punto E no coincide con los puntos A y D. Dibuja una tangente al círculo donde se encuentra el arco AC que pasa por E. El lado que se cruza DC está en el punto F y G es el punto tangente). . (1) Cuando ∠DEF=450, verifique que el punto G sea el punto medio del segmento de línea EF (2) Suponga que AE=x, FC=y, encuentre y con; con respecto a x La fórmula analítica funcional de y escriba el dominio de la función; (3) Doble △DEF a lo largo de la línea recta EF para obtener △D1EF, como se muestra en la Figura 2. Cuando EF=, analice △AD1D y △ ¿Es ED1F similar? Si es así, pruébelo. Si no es similar, simplemente escriba la conclusión y no se requiere ningún motivo. Solución, (1) ∵∠DEF=450 ∴DE=DF ∵AD=DC ∴AE=FC Fácil de demostrar que AD y CD circundan tangentes B en el punto A y punto C, de acuerdo con el teorema de longitud tangente, podemos obtener AE=EG, FC=GF, ∴EG=GF, es decir, el punto G es el punto medio del segmento de línea EF. (2) ∵EG=AE=x, FG=CF=y ∴ED=1-x, FD=1-y, EF=x+y En Rt△ En DEF, de ED2+FD2=EF2, obtenemos (1-x)2+(1-y)2?= (x+y)2 ∴y= (0＜x＜1) En este ejemplo, la conclusión "AE=EG, FC=GF" obtenida al citar el teorema de la longitud tangente en la primera pregunta tiene un efecto guía en la conclusión de EF=x+y en la segunda pregunta. . Para otro ejemplo, al encontrar la expresión analítica de la función en la segunda pregunta del Ejemplo 2, la verificación que se realiza en la primera pregunta puede considerarse como un caso especial de la función; segunda pregunta, entonces la segunda pregunta La inferencia y prueba de la pequeña pregunta se pueden extraer de las ideas de la primera pequeña pregunta. Este es un proceso de imitación a creación. La imitación significa aprender y aplicar, y la creación significa cambio flexible. Esta es una cualidad básica que los estudiantes de secundaria deben tener al aprender matemáticas. Todo en el mundo siempre está indisolublemente ligado. la clave para la imitación es descubrir conexiones; la clave para la creación es descubrir diferencias y encontrar formas de abordar nuevos problemas. Lo anterior es un ejemplo de la relación progresiva entre la primera pregunta y las siguientes preguntas en la pregunta final. De hecho, esta relación progresiva continúa entre las siguientes preguntas: Por ejemplo, la solución a la pregunta (3) en el Ejemplo 1 es la siguiente: ∵△ADE∽△ AEP ∴ ∵ , ∴ Fácil de demostrar: △BPF∽△EPD ∴ ∴Cuando BF=1, BP=2 Si EP paga a CB Si la extensión la línea está en el punto F, entonces AP=4-BP=2; Si EP cruza a CB en el punto F, entonces AP=4+BP=6. Se puede observar que al resolver la pregunta (3) se citan las conclusiones de la pregunta (1) "△ADE∽△AEP" y la pregunta (2) ",". Para otro ejemplo, la solución a la pregunta (3) en el Ejemplo 3 es la siguiente: Cuando EF= , ∵EF=EG+GF=AE+FC ∴ =x+ y ∴ Resuelve la ecuación para obtener En ese momento, es decir, ∵AD=1 ∴AE=ED Por el significado de la pregunta, podemos obtener D1H=HD ∴EH‖AD1 ∴∠DAD1=∠FED1 A partir de las condiciones conocidas, es fácil demostrar que ∠ADD1=∠EFD1 ∴△AD1D∽ △ED1F En ese momento, es decir, △AD1D y △ED1F no tienen el mismo parecido. Se puede observar que al resolver la pregunta (3), se citan las conclusiones de "EF=x+y" e "y=" de la pregunta (2). Por lo tanto, en muchas preguntas integrales, suele haber una relación progresiva entre las preguntas anteriores y siguientes. En el futuro, cuando tengamos dificultades para resolver problemas integrales, podremos utilizar la relación progresiva entre las subpreguntas del problema y consultar las conclusiones y soluciones de las subpreguntas anteriores completadas. y vea si hay algún consejo o ayuda para completar las preguntas. (08 Guangdong Guangzhou 25 análisis de preguntas) 25. (1) Cuando t = 4, Q y B se superponen, y P y D se superponen. La parte superpuesta es = 4 (08 Shenzhen, Guangdong) 22. Como se muestra en la Figura 9, en el sistema de coordenadas plano rectangular, el vértice de la gráfica de la función cuadrática es el punto D, se cruza con el eje y en el punto C y se cruza con el eje x en los puntos A y B. Punto A está a la izquierda del origen. Las coordenadas del punto B son (3, 0), OB=OC, tan∠ACO=. (1) Encuentra la expresión de esta función cuadrática. (2) Una línea recta que pasa por dos puntos C y D corta el eje x en el punto E. ¿Existe un punto F en la parábola tal que los puntos A, C, E y F sean los vértices? el cuadrilátero es un paralelogramo? Si existe solicitar las coordenadas del punto F; si no existe explicar el motivo. (3) Si la línea recta paralela al eje x intersecta la parábola en dos puntos M y N, y un círculo con MN como diámetro es tangente al eje x, encuentre la longitud de el radio del círculo. (4) Como se muestra en la Figura 10, si el punto G (2, y) es un punto en la parábola, el punto P es un punto en movimiento en la parábola debajo de la línea recta AG, cuando el punto P se mueve a cualquier posición, △ APG tiene el área más grande? Encuentre las coordenadas del punto P y el área máxima de △APG en este momento. (08 Análisis de la pregunta 22 de Guangdong Shenzhen) 22. (1) Método 1: De lo conocido: C (0, -3), A (-1, 0)...1 punto Sustituir las coordenadas de los tres puntos A, B y C para obtener... ……………………2 puntos La solución es: ………………3 puntos Entonces la expresión de esta función cuadrática es: ………………………3 puntos Método 2: De lo conocido: C (0, -3), A (-1, 0) …………… …1 punto Supongamos que la expresión es: ………………………2 puntos Sustituyendo las coordenadas del punto C en: …………… ………3 puntos Entonces la expresión de esta función cuadrática es: ………………………3 puntos (Nota: El resultado final de la expresión se expresa en No se descontarán puntos por ningún de las tres formas) (2) Método 1: Existencia, las coordenadas del punto F son (2, -3) ………………4 Puntos Razón: Es fácil obtener D (1, -4), por lo que la fórmula analítica de la recta CD es: Las coordenadas del ∴ punto E son (-3, 0) ........ ………………4 puntos De las coordenadas de los cuatro puntos A, C, E y F: AE=CF=2, AE‖CF ∴ Tomando A. , El cuadrilátero con vértices C, E y F es un paralelogramo ∴Hay un punto F con coordenadas (2, -3)………………5 puntos Método 2: Es fácil obtener D (1, -4), por lo que la fórmula analítica de la recta CD es: Las coordenadas del punto ∴E son (-3, 0) ………… … ...4 puntos ∵Un cuadrilátero con A, C, E y F como vértices es un paralelogramo ∴Las coordenadas del punto F son (2, -3) o (-2, ―3) o (-4, 3) Sustituyendo la expresión de la parábola para comprobar, solo (2, -3) es consistente ∴ Hay un punto F con coordenadas (2, - 3)…………………………5 puntos (3) Como se muestra en la figura, ①Cuando la línea recta MN está por encima del eje x , suponiendo que el radio del círculo es R (R>0), entonces N (R+1, R), Sustituye la expresión de la parábola y obtienes.........6 puntos ②Cuando la recta MN Cuando esté debajo del eje x, sea el radio del círculo r (r>0), luego N (r+1, -r), sustituya el expresión de la parábola y la solución Puntuación.........7 puntos El radio de ∴ círculo es o. …………7 puntos (4) Dibuja una línea paralela al eje y que pase por el punto P y corte a AG en el punto Q, Es fácil obtener G ( 2, -3), La recta AG es. …………8 puntos Supongamos P (x, ), luego Q (x, -x-1), PQ. ……………………9 puntos Cuando, el área de △APG es la más grande En este momento, las coordenadas de el punto P son , . …………………………10 puntos 5 (08 Guiyang, Guizhou) 25. (La puntuación total para esta pregunta es 12 puntos) (Aún no hay respuesta a esta pregunta) El departamento de habitaciones de un hotel tiene 60 habitaciones para que vivan los turistas. Cuando el precio de cada habitación Cuesta 200 yuanes por día, las habitaciones pueden estar llenas. Cuando el precio diario de cada habitación aumente en 10 yuanes, habrá una habitación disponible. Para las habitaciones ocupadas por turistas, el hotel debe pagar diversas tarifas de 20 yuanes por habitación y día. Supongamos que el precio diario de cada habitación aumenta en RMB. Encuentre: (1) La relación funcional entre la ocupación diaria de habitaciones (habitaciones) y (yuanes). (3 puntos) (2) El cargo diario por habitación del hotel (yuanes) es una función de (yuanes). (3 puntos) (3) El beneficio diario (yuanes) del departamento de habitaciones del hotel es una función de (yuanes) cuando el precio de cada habitación es de cuántos yuanes por día, cuál es el máximo; ¿valor? ¿Cuál es el valor máximo? (6 puntos)