Resumen de fórmulas matemáticas de bachillerato obligatorio curso 1 y curso obligatorio 2
Fórmula geométrica especial del área de la superficie del cuerpo (c es la circunferencia de la base, h es la altura, es la altura inclinada, l es la barra colectora) fórmula del volumen del cilindro, cono y cono
Esfera Fórmulas de área de superficie y volumen: V=; S=
2.1 Relación posicional entre puntos del espacio, rectas y planos 1 Significado de plano: El plano está infinitamente extendido 2 Tres axiomas: (1) Axioma 1: Si dos puntos de una recta están en un plano, entonces la recta está en este plano. El símbolo es A∈LB∈L =gt L αA∈αB∈α Axioma 1: Determinar si la recta. la recta está en el plano.
(2) Axioma 2: Hay y sólo hay un plano que pasa por tres puntos que no están en línea recta. El símbolo se expresa como: Línea de inconsistencia de tres puntos A, B, C = gt Existe y solo hay un plano α, de modo que A∈α, B∈α, C∈α. La función del axioma 2: la base para determinar un plano.
(3) Axioma 3: Si dos planos que no se superponen tienen un punto común, entonces tienen y solo una línea recta común que pasa por el punto. La representación simbólica es: P∈α∩β =gt; α∩β=L, y P∈L Funciones del axioma 3: la base para determinar si dos planos se cruzan.
2.1.2 Rectas y rectas líneas en el espacio Relación posicional entre 1 Dos líneas rectas en el espacio tienen las siguientes tres relaciones: líneas rectas que se cruzan: en el mismo plano, hay y solo un punto común líneas rectas paralelas: en el mismo plano, no hay ningún punto común; ; diferentes planos Línea recta: A diferencia de cualquier plano, no existe un punto común. 2 Axioma 4: Dos rectas paralelas a una misma recta son paralelas entre sí. La representación simbólica es: Supongamos que a, b, c son tres líneas rectas a∥bc∥b. Énfasis: el axioma 4 esencialmente significa que el paralelismo es transitivo y esta propiedad se aplica tanto al plano como al espacio. La función del axioma 4: la base para juzgar que dos líneas rectas en el espacio son paralelas.
3 Teorema de los ángulos congruentes: Si los dos lados de dos ángulos en el espacio son paralelos, entonces los dos ángulos son iguales o complementarios.
4 Notas: ① a' y b' El El tamaño del ángulo formado sólo está determinado por las posiciones mutuas de a y b, y no tiene nada que ver con la elección de O. Por simplicidad, el punto O generalmente se toma en una de las dos líneas rectas;
② Dos superficies opuestas El ángulo θ∈(0, ) formado por una recta;
③ Cuando el ángulo formado por dos rectas de diferentes caras es un ángulo recto, decimos que las dos rectas con diferentes caras son perpendiculares entre sí, denotadas como a⊥ b;
④ Dos líneas rectas son perpendiculares entre sí, y hay dos situaciones: vertical y vertical; En los cálculos, normalmente las dos líneas rectas formadas por dos lados diferentes se convierten en el ángulo formado por dos líneas rectas que se cruzan.
2.1.3 — 2.1.4 Relaciones posicionales entre rectas y planos, y planos en el espacio
1 Hay tres relaciones posicionales entre rectas y planos: (1) Recta. las líneas están en En el plano - hay innumerables puntos comunes
(2) La línea recta cruza el plano - solo hay un punto común
(3) La línea recta está en el plano Paralelo - No hay un punto común que señale: cuando una línea recta se cruza o es paralela a un plano, se llama colectivamente una línea recta fuera del plano. Puede representarse por a α a α a∩α=A. a a∥α
2.2. Determinación de rectas y planos paralelos y sus propiedades
2.2.1 Juicio de rectas y planos paralelos 1. Teorema de juicio de rectas y planos paralelos: Una recta fuera de un plano es paralela a una recta en este plano, entonces la recta es paralela a este plano.
La abreviatura es: si las rectas son paralelas, entonces las rectas y las superficies son paralelas.
Representación de símbolos: a αb β =gt; a∥αa∥b
2.2.2 Determinación de que un plano es paralelo a un plano 1. Teorema de determinación de que dos planos son paralelos: dentro de un plano Si dos rectas que se cortan son paralelas a otro plano, entonces los dos planos son paralelos. Representación de símbolos: a βb βa∩b = P β∥αa∥αb∥α
2. Hay tres formas de juzgar que dos planos son paralelos: (1) usar la definición (2) teorema de determinación; (3) Dos planos perpendiculares a la misma recta son paralelos.
2.2.3 — 2.2.4 Propiedades de las rectas y planos y planos paralelos a planos 1. Propiedades de las rectas y planos paralelos Teorema: Una recta es paralela a un plano, luego cualquier plano que la atraviese esta recta La intersección con este plano es paralela a esta recta. La abreviatura es: si las rectas y superficies son paralelas, las rectas son paralelas. Representación simbólica: a ∥αa β a∥bα∩β= b Función: Este teorema se puede utilizar para resolver el problema de paralelas entre rectas.
2. El teorema de la propiedad de dos planos paralelos: Si dos planos paralelos intersecan a un tercer plano al mismo tiempo, entonces sus rectas de intersección son paralelas. Representación del símbolo: α∥βα∩γ= a a∥b β∩γ= b Función: Del paralelo entre el plano y el plano se puede concluir que la línea recta es paralela a la línea recta 2.3 El juicio y las propiedades de la línea recta y perpendicularidad del plano
2.3.1 Determinación de la perpendicularidad de una recta a un plano 1. Definición: Si la recta L es perpendicular a cualquier recta del plano α, decimos que la recta es L y el plano α son perpendiculares entre sí, denotados como L⊥α, y la línea recta L se llama línea perpendicular del plano α, el plano α se llama plano vertical de la línea recta L. Como se muestra en la figura, cuando la línea recta es perpendicular al plano, su único punto común P se llama pie vertical.
P a L2. Teorema de determinación de la perpendicularidad de una recta a un plano: Si una recta es perpendicular a dos rectas que se cruzan en un plano, entonces la recta es perpendicular al plano.
Notas: a) La condición de "dos líneas rectas que se cruzan" en el teorema no se puede ignorar.
b) El teorema encarna la relación entre "una línea recta y un plano perpendicular; " y "una línea recta y una línea recta" Ideas matemáticas de transformación vertical y horizontal.
2.3.2 Juicio del plano y perpendicularidad del plano 1. El concepto de ángulo diédrico: representa la figura Una lanzadera l βB compuesta por dos semiplanos que parten de una recta en el espacio α2. Método del ángulo: ángulo diédrico α-l-β o α-AB-β3. Teorema de determinación de que dos planos son perpendiculares entre sí: si un plano pasa por la perpendicular del otro plano, entonces los dos planos son perpendiculares.
2.3.3 — 2.3.4 Propiedades de las rectas perpendiculares a planos y planos 1. Propiedades de las rectas perpendiculares a planos Teorema: Dos rectas perpendiculares a un mismo plano son paralelas.
2. Teorema de la propiedad de que dos planos sean perpendiculares: Si dos planos son perpendiculares, entonces la recta perpendicular a la intersección en un plano es perpendicular al otro plano. Capítulo 3 Líneas rectas y ecuaciones (1) Definición del ángulo de inclinación de una línea recta: El ángulo formado entre la dirección positiva del eje x y la dirección hacia arriba de la línea recta se llama ángulo de inclinación de la línea recta. En particular, cuando una línea recta es paralela o coincidente con el eje x, especificamos que su ángulo de inclinación es 0 grados. Por lo tanto, el rango de valores del ángulo de inclinación es 0°≤α<180°
(2) Pendiente de la línea recta ①Definición: El ángulo de inclinación no es una línea recta de 90°, y la tangente de su ángulo de inclinación se llama pendiente de esta línea recta. La pendiente de una línea recta suele expresarse como k. Ahora mismo. La pendiente refleja el grado de inclinación de la línea desde el eje. Cuando la recta l es paralela o coincidente con el eje x, α=0°, k = tan0°=0 cuando la recta l es perpendicular al eje x, α=90°, k no existe; En ese momento, en ese momento, no existe. ②La fórmula de la pendiente de una línea recta que pasa por dos puntos: (P1(x1, y1), P2(x2, y2), x1≠x2)
Tenga en cuenta los siguientes cuatro puntos: (1) En ese momento , el lado derecho de la fórmula no tiene sentido, la pendiente de la línea recta no existe y el ángulo de inclinación es de 90 ° (2) k no tiene nada que ver con el orden de P1 y P2; >(3) En el futuro, la pendiente se puede calcular a partir de las coordenadas de los dos puntos en la línea recta en lugar del ángulo de inclinación. Obtenerla directamente;
(4) El ángulo de inclinación de una recta. La línea se puede obtener calculando primero la pendiente de las coordenadas de dos puntos en la línea recta.
(3) Ecuación de la recta
①Fórmula de la pendiente del punto: la pendiente de la recta es k, y pasa por el punto Nota: cuando la pendiente de la recta es 0. °, k=0, la ecuación de la recta es y=y1. Cuando la pendiente de la línea recta es 90°, la pendiente de la línea recta no existe y su ecuación no se puede expresar en forma punto-pendiente. Pero como la abscisa de cada punto de l es igual a x1, su ecuación es x=x1.
②Fórmula pendiente-intersección: la pendiente de la línea recta es k, y la intersección de la línea recta en el eje y es b
③Fórmula de dos puntos: () Dos puntos de la línea recta,
④Fórmula de intersección: donde la línea recta cruza el eje en un punto y cruza el eje en un punto, es decir, las intersecciones con el eje y el eje son respectivamente.
⑤Fórmula general: (A y B no son todos 0)
Nota: 1. Alcance aplicable de cada fórmula
2. Ecuaciones especiales como: paralela a x Línea recta a lo largo del eje: (b es una línea recta paralela al eje y: (a es una constante (6) Cuando dos líneas rectas son paralelas y perpendiculares,
Nota: Utilice la pendiente para juzgar la línea recta. Cuando sea paralela y perpendicular, preste atención a la presencia o ausencia de pendiente.
(7) El punto de intersección de dos rectas Las coordenadas del punto de intersección son un conjunto de soluciones del sistema de ecuaciones. El sistema de ecuaciones no tiene solución; el sistema de ecuaciones tiene innumerables soluciones y coincidencias
(8) Fórmula de distancia entre dos puntos: Supongamos que son dos puntos en el sistema de coordenadas plano rectangular, entonces
(9 ) Fórmula de distancia de un punto a una recta: Distancia de un punto a una recta (10) Fórmula de distancia entre dos rectas paralelas Se sabe que la ecuación general de la suma de dos rectas paralelas y líneas rectas es:,
:, entonces la distancia entre y es 1. La definición de círculo: el conjunto de puntos en un plano cuya distancia desde un cierto punto es igual a una longitud fija se llama círculo, el punto fijo es el centro del círculo y la longitud fija es el radio del círculo.
2. Ecuación de un círculo (1) Ecuación estándar, el centro del círculo, el radio es r;
La relación posicional entre el punto y el círculo: cuando gt; , el punto está fuera del círculo
Cuando =, el punto está en el círculo
Cuando lt;, el punto está dentro del círculo
(2) Ecuación general Cuando, la ecuación representa un círculo, y el centro del círculo es y el radio es
En ese momento representaba un punto, en ese momento la ecuación no representaba ninguna gráfica; 3) Método para encontrar la ecuación de un círculo: Generalmente se utiliza el método del coeficiente indeterminado: primero establecer y luego encontrar. Determinar un círculo requiere tres condiciones independientes. Si usa la ecuación estándar de un círculo, necesita encontrar a, b, r. Si usa la ecuación general, necesita encontrar D, E, F. Además, debe encontrar. Preste atención a hacer más uso de las propiedades geométricas del círculo: como las cuerdas, la línea perpendicular debe pasar por el origen para determinar la posición del centro del círculo. 3. La relación posicional entre una línea recta y un círculo: La relación posicional entre una línea recta y un círculo tiene tres situaciones: separación, tangencia e intersección:
(1) Suponga que la distancia desde el línea recta, el círculo y el centro del círculo a l es, entonces Sí; (2) Línea tangente que pasa por un punto fuera del círculo: ①k no existe, verifique si es cierto ②k existe, establezca una pendiente del punto ecuación, use la distancia desde el centro del círculo a la línea recta = radio, resuelva para k y obtenga dos soluciones a la ecuación
(3) La ecuación de la recta tangente que pasa por un punto en el círculo: círculo (x-a)2 (y-b)2=r2, y el punto en el círculo es (x0, y0), entonces la ecuación de la recta tangente que pasa por este punto es (x0-a)( x-a) (y0 -b)(y-b)= r2 4. La relación posicional entre círculos: se determina comparando la suma (diferencia) de los radios de los dos círculos y la distancia entre los centros de los círculos (d). Suponiendo un círculo, la relación posicional entre los dos círculos a menudo se determina comparando la suma (diferencia) de los radios de los dos círculos y la distancia entre los centros de los círculos (d). Cuando los dos círculos están separados externamente, hay cuatro tangentes comunes; cuando los dos círculos son tangentes externamente y la línea central de conexión pasa por el punto tangente, hay dos tangentes comunes externas y una tangente común interna cuando los dos círculos se cruzan; , la línea central de conexión biseca perpendicularmente la tangente común. * Cuerda, hay dos tangentes comunes en ese momento, los dos círculos están inscritos y la línea central de conexión pasa por el punto tangente, y solo hay una tangente común en; en ese momento, los dos círculos están inscritos; en ese momento, son círculos concéntricos. Nota: Dados dos puntos en un círculo, el centro del círculo debe estar en la perpendicular media; se sabe que los dos círculos son tangentes, los dos puntos centrales y el punto tangente son las líneas auxiliares del círculo. La línea del círculo conecta el centro del círculo y la línea tangente o conecta el centro del círculo y el punto medio de la cuerda.