¿Cómo aprender funciones logarítmicas, funciones exponenciales y funciones de potencia?
No hay problema, solo recuerda las imágenes, definiciones, fórmulas y luego haz algunas preguntas. Función logarítmica.
Generalmente, si a (a es mayor que 0 y a no es igual. a 1 ) es igual a N, entonces el número b se llama logaritmo de N con a como base, registrado como log aN=b, donde a se llama base del logaritmo y N se llama número real.
Definición axiomática de función logarítmica
Supongamos que satisface
1) es una función continua;
2), tenemos
3) Para, y, hay. se dice que es un logaritmo con base , registrado como .
Si la expresión del número real no tiene signo radical, entonces solo requiere que la expresión del número real sea mayor que cero. Si hay signo radical, requiere que el número real sea mayor que cero. y también asegura que la expresión en el signo radical sea mayor que cero.
La base debe ser mayor que 0 y no 1
¿Por qué la base de una función logarítmica debería ser mayor que 0 y no 1
En una expresión logarítmica ordinaria alt; 0, o = 1 Cuando, habrá un valor correspondiente de b. Sin embargo, según la definición de logaritmo: logaa=1; si a=1 o =0, entonces logaa puede ser igual a todos los números reales (por ejemplo, log1 1 también puede ser igual a 2, 3, 4, 5, etc.). .) En segundo lugar, de acuerdo con la fórmula de operación de definición: loga M^n = nloga M Si alt 0, entonces ambos lados de esta ecuación no se cumplirán (por ejemplo, log(-2) 4^(-2) no es igual. a (-2)*log(-2) 4; uno es igual a 4 y el otro es igual a -4)
La forma general de la función logarítmica es y=log(a)x, que en realidad es la función inversa de la función exponencial y se puede expresar como x=a ^y. Por lo tanto, las disposiciones para a en funciones exponenciales también se aplican a funciones logarítmicas.
La imagen de la derecha muestra la gráfica de la función representada por diferentes tamaños de a:
Puedes ver que la gráfica de la función logarítmica es solo la gráfica de la función exponencial. con respecto a la recta y=x Gráficas simétricas porque son funciones inversas entre sí.
(1) El dominio de la función logarítmica es el conjunto de los números reales mayores que 0.
(2) El rango de valores de la función logarítmica es el conjunto de todos los números reales.
(3) La imagen de la función siempre pasa por el punto (1, 0).
(4) Cuando a es mayor que 1, es una función monótonamente creciente y es convexa hacia arriba; cuando a es menor que 1 y mayor que 0, la función es una función monótonamente decreciente y es cóncava.
(5) Obviamente la función logarítmica es ilimitada.
Expresión abreviada común de función logarítmica:
(1) log(a)(b)=log(a)(b)
(2 )lg (b)=log(10)(b)
(3) ln(b)=log(e)(b)
Propiedades de operación de la función logarítmica:
Si a>0, y a no es igual a 1, Mgt; 0, Ngt; 0, entonces:
(1) log(a)(MN)=log(a)( M ) log(a)(N);
(2) log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); p>(3)log(a)(M^n)=nlog(a)(M) (n pertenece a R)
(4)log(a^k)(M^n)= (n/k)log(a)(M) (n pertenece a R)
La relación entre logaritmos y exponentes
Cuando a es mayor que 0 y a no es igual a 1, a elevado a )
La fórmula de cambio de base (muy importante)
log(a)(N)=log(b)(N)/log(b) (a)= lnN/lna= lgN/lga
ln El logaritmo natural tiene base e
lg El logaritmo común tiene base 10 [Editar este párrafo] La definición y propiedades operativas de logaritmos Generalmente, si a (a es mayor que 0 y a no es igual a 1) La potencia b es igual a N, entonces el número b se llama logaritmo de N con a como base, registrado como log(a) (N)=b, donde a se llama base del logaritmo, N se llama número real.
La base debe ser mayor que 0 y no 1
Las propiedades operativas de los logaritmos:
Cuando agt; Ngt; 0, entonces:
(1)log(a)(MN)=log(a)(M) log(a)(N
(2)log; (a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);
(3)log(a)(M^n)=nlog(a)( M) (n∈R)
(4) Fórmula de cambio de base: log(A)M=log(b)M/log(b)A (bgt; 0 y b≠1)
La relación entre logaritmos y exponentes
Cuando agt; 0 y a≠1, a^x=N x=㏒(a)N (identidad logarítmica)
Comúnmente expresiones abreviadas utilizadas de funciones logarítmicas:
(1) log(a)(b)=log(a)(b)
(2) Logaritmos de uso común: lg(b) =log(10)(b)
(3) Logaritmo natural: ln(b)=log(e)(b)
e=2.718281828 .. Generalmente solo e=. 2.71828 se toma la definición de función logarítmica
La forma general de función logarítmica es y=㏒(a)x, que en realidad es la función inversa de la función exponencial (la imagen trata sobre las dos funciones simétricas de. la recta y=x son funciones inversas entre sí) y se pueden expresar como x=a^y. Por lo tanto, las disposiciones para a en la función exponencial (agt; 0 y a≠1) también se aplican a la función logarítmica.
La imagen de la derecha muestra la gráfica de la función representada por diferentes tamaños de a:
Puedes ver que la gráfica de la función logarítmica es solo la gráfica de la función exponencial. con respecto a la recta y=x Gráficas simétricas porque son funciones inversas entre sí. [Editar este párrafo] Propiedades Dominio: (0, ∞) Rango de valores: Conjunto de números reales R
Punto fijo: La imagen de la función siempre pasa por el punto fijo (1, 0).
Monotonicidad: agt; cuando 1, es una función monótonamente creciente en el dominio y convexa;
0lt; cuando 1, es una función monótonamente decreciente en el dominio, y cóncavo.
Paridad: funciones no pares ni impares, o sin paridad.
Periodicidad: no es una función periódica
Punto cero: x=1
Nota: Los números negativos y el 0 no tienen logaritmos.
Dos palabras clásicas: el logaritmo verdadero idéntico en base es positivo
La forma general de la función exponencial negativa del logaritmo verdadero diferente en base es y=a^x(agt; 0 y ≠1 ) (x∈R), de nuestra discusión anterior sobre la función de potencia, podemos saber que si queremos hacer que x tome todo el conjunto de números reales como dominio de definición, solo podemos hacer
Como se muestra en la figura, los diferentes tamaños de Condiciones que afectan la gráfica de una función.
Puedes ver en la función y=a^x:
(1) El dominio de la función exponencial es el conjunto de todos los números reales. La premisa aquí es que a es. mayor que 0 y no igual a 1. Para el caso en que a no sea mayor que 0, inevitablemente no habrá un intervalo continuo en el dominio de la función, por lo que no lo consideraremos.
En el Al mismo tiempo, si a es igual a 0 y la función no tiene sentido, generalmente no se considera.
(2) El rango de valores de la función exponencial es el conjunto de números reales mayores que 0.
(3) Las gráficas de funciones son todas cóncavas.
(4) Si a es mayor que 1, la función exponencial aumenta monótonamente; si a es menor que 1 y mayor que 0, la función exponencial disminuye monótonamente.
(5) Podemos ver una regla obvia, es decir, cuando a va de 0 a infinito (por supuesto no puede ser igual a 0), las curvas de la función se acercan a los puntos positivos de el eje Y y el eje X respectivamente. Las posiciones de las funciones monótonamente decrecientes del semieje tienden a estar cercanas a las posiciones de las funciones monótonas crecientes del semieje positivo del eje Y y la mitad negativa. -eje del eje X respectivamente. La recta horizontal y=1 es una posición de transición de decreciente a creciente.
(6) La función siempre tiende infinitamente al eje X en una dirección determinada y nunca se cruza.
(7) La función siempre pasa por el punto (0, 1), (si y=a^x b, entonces la función pasa por el punto (0, 1 b)
(8 ) Obviamente la función exponencial es ilimitada
(9) La función exponencial no es ni impar ni par
(10) Cuando a está en las dos exponenciales. Las funciones son recíprocas. Las dos funciones son simétricas con respecto al eje y, pero ninguna función tiene paridad.
Traducción de la base:
Para cualquier función exponencial significativa:
Agregue un número al exponente y la imagen se desplazará hacia la izquierda; reste un número y la imagen se desplazará hacia la derecha.
Agregue un número después de f(X) y la imagen se desplazará. hacia arriba. ;Reste un número y la imagen se trasladará hacia abajo.
Es decir, "suma y resta hacia abajo, suma hacia la izquierda y resta hacia la derecha"
Imágenes de funciones base y exponencial:
(1) De la intersección de la función exponencial y=a^x y la recta x=1 en el punto (1, a), se puede ver que en el lado derecho de la y- eje, la base correspondiente de la imagen cambia de pequeña a grande
(2) Desde la intersección de la función exponencial y=a^x y la línea recta x=-1 en el punto (-1, 1/a), se puede ver que en el lado izquierdo del eje y, la base correspondiente de la imagen cambia de abajo hacia arriba
(3) La relación entre la base de. la función exponencial y la imagen se pueden resumir como: en el lado derecho del eje y, "la parte inferior es grande y la imagen es alta" en el lado izquierdo del eje y, "la parte inferior es grande y la imagen es alta"; la imagen es baja" (como se muestra a la derecha)
Comparación del tamaño de potencias:
Métodos comunes para comparar tamaños: (1) Método de diferencia (cociente): (2) método de monotonicidad de función (3) método de valor intermedio: para comparar los tamaños de A y B, primero encuentre un valor intermedio C, luego compare los tamaños de A y C, B y C, y obtenga el tamaño entre A y B según la transitividad de la desigualdad.
Al comparar el tamaño de dos potencias, además de los métodos generales anteriores, también debes prestar atención a:
(1) Para la comparación de el tamaño de dos potencias con la misma base y diferentes exponentes, se puede utilizar la monotonicidad de la función exponencial Juicio basado en el sexo.
Por ejemplo: y1=3^4, y2=3^5, debido a que 3 es mayor que 1, la función aumenta monótonamente (es decir, cuanto mayor es el valor de x, mayor es el valor de y correspondiente ), porque 5 es mayor que 4, por lo tanto, y2 es mayor que y1.
(2) Para la comparación de dos potencias con diferentes bases y el mismo exponente, podemos usar las reglas cambiantes de la exponencial. Imagen de función para juzgar.
Por ejemplo: y1=1/2^4, y2=3^4, debido a que 1/2 es menor que 1, la imagen de la función disminuye monótonamente en el dominio 3 es mayor que 1; la imagen de la función está en el dominio Aumenta monótonamente, cuando x=0, las gráficas de ambas funciones pasan (0, 1). Luego, a medida que x aumenta, la imagen de y1 disminuye, mientras que y2 aumenta. Cuando x es igual a 4, y2 es mayor que. y1.
(3) Para la comparación de potencias con diferentes bases y diferentes exponentes, se puede utilizar el valor intermedio para la comparación. Por ejemplo:
lt; 1gt; Para comparar el tamaño de tres (o más de tres) números, primero debe agruparlos según el tamaño de los valores (especialmente el tamaño de 0 y 1). ), y luego comparar El tamaño de cada grupo es suficiente.
lt; 2gt; Al comparar los tamaños de dos potencias, si puedes aprovechar al máximo "1" para construir un "puente" (es decir, comparar sus tamaños con "1"), puedes hacerlo. Obtenga rápidamente la respuesta. ¿Cómo juzgar el tamaño de una potencia y "1"? De la imagen y propiedades de la función exponencial se puede ver que "lo mismo es grande pero pequeño". Es decir, cuando la base a y 1 y el signo de desigualdad entre el exponente x y 0 están en la misma dirección (por ejemplo: a 〉1 y x 〉0, o 0 〈 a 〈 1 y x 〈 0), a^ x es mayor que 1, y cuando está en direcciones opuestas a^x es menor que 1.
<3>Ejemplo: ¿Las siguientes funciones son funciones crecientes o decrecientes en R? Explica la razón.
⑴y=4^x
Porque 4gt;1, entonces y=4^x es una función creciente en R;
⑵y= ( 1/4)^x
Porque 0lt; 1/4lt; 1, y=(1/4)^x es una función decreciente en R en la forma y=x^a (a es una constante) La función de [es decir, la función con la base como variable independiente y el exponente como constante se llama función potencia. ]
Cuando a toma un número racional distinto de cero, es relativamente fácil de entender, pero cuando a toma un número irracional, no es fácil de entender para los principiantes. Por lo tanto, en funciones elementales, no necesitamos dominar el problema de que el exponente es un número irracional, solo necesitamos aceptarlo como un hecho conocido, porque esto implica un conocimiento extremadamente profundo del continuo de los números reales.
Para que el valor de a sea un número racional distinto de cero, es necesario dividirlo en varios casos para discutir sus respectivas características:
En primer lugar, sabemos que si a=p/q, y p/q es una fracción reducida (es decir, p y q son primos relativos), y q y p son ambos números enteros, entonces x^(p/q)=qésima raíz (pésima potencia de x). Si q es un número impar, la definición de la función El dominio es R. Si q es un número par, el dominio de la función es [0, +∞). Cuando el exponente a es un entero negativo, suponiendo a=-k, entonces x=1/(x^k), obviamente x≠0, el dominio de la función es (-∞, 0)∪(0, +∞) . Por lo tanto, podemos ver que las restricciones sobre x provienen de dos puntos: uno es que puede usarse como denominador y no puede ser 0. El otro es que no puede ser un número negativo bajo un número par de raíces. puede saber:
Excluye la posibilidad de ser 0 y un número negativo, es decir, para xgt 0, entonces a puede ser cualquier [número real;
Excluye la posibilidad; de ser 0, es decir, para xlt; 0 o xgt ;Para todos los números reales que son 0, q no puede [ser un número par;
Se elimina la posibilidad de ser un número negativo, es decir, para todos los números reales donde x es mayor o igual a 0, a no puede ser un número negativo.
Resumiendo, podemos obtener que cuando a tiene diferentes valores, los diferentes dominios de la función de potencia son los siguientes:
Si a es cualquier número real, el dominio de la la función es Todos los números reales mayores que 0;
Si a es un número negativo, x no debe ser 0, pero en este momento también se debe determinar el dominio de la función en función de la paridad de q, es decir es decir, si q es un número par al mismo tiempo, entonces x no puede ser menor que 0. En este caso, el dominio de la función son todos los números reales mayores que 0, si q es un número impar al mismo tiempo, el El dominio de la función son todos los números reales distintos de 0.
Cuando x es mayor que 0, el rango de la función es siempre un número real mayor que 0.
Cuando x es menor que 0, solo si q es un número impar al mismo tiempo, el rango de valores de la función es un número real distinto de cero.
Sólo cuando a es un número positivo, 0 entra en el rango de valores de la función.
Dado que x es mayor que 0, es significativo para cualquier valor de a.
Por lo tanto, a continuación se dan las situaciones respectivas de la función de potencia en el primer cuadrante.
Puedes ver:
(1) Todos los gráficos pasan por el punto (1, 1) (a≠0) Cuando a>0, la imagen pasa por los puntos (0, 0). y (1, 1)
(2) Cuando a es mayor que 0, la función de potencia es una función monótonamente creciente, y cuando a es menor que 0, la función de potencia es una función monótonamente decreciente.
(3) Cuando a es mayor que 1, la gráfica de la función de potencia es convexa hacia abajo; cuando a es menor que 1 y mayor que 0, la gráfica de la función de potencia es convexa hacia arriba.
(4) Cuando a es menor que 0, cuanto más pequeño es a, mayor es la inclinación del gráfico.
(5) Obviamente la función de potencia no tiene límites.
(6) a=0, esta función es una función par {x|x≠0}.