Fórmulas de funciones trigonométricas
Fórmula de la función trigonométrica del ángulo agudo
sen α=lado opuesto/hipotenusa de ∠α
cos α=lado adyacente/hipotenusa de ∠α
tan α=el lado opuesto de ∠α/el lado adyacente de ∠α
cot α=el lado adyacente de ∠α/el lado opuesto de ∠α
Suma de la fórmula de dos ángulos
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B ) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cuna(A+B) = (cotAcotB-1)/(cunaB+cotA)
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Fórmula del doble ángulo Sin2A=2SinA?6?1CosA
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA ^2-1
tan2A=2tanA/1-tanA^2 Fórmula de doble ángulo tan3a = tan a · tan(π/3+a) · tan(π/3-a) tan(A/2 )=(1-cosA )/sinA=sinA/(1+cosA);
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.
sin ^2(a/2)=(1-cos(a))/2
cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2
tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))
Diferencia suma producto sen(a) +sin(b) = 2sen[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]
sen(a)-sin(b) = 2cos[(a +b)/2 ]sen[(a-b)/2]
cos(a)+cos(b) = 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]
cos(a)-cos(b) = -2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]
tanA+tanB=sin(A+ B)/cosAcosB producto Suma y diferencia sin(a)sin(b) = -1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)]
cos(a)cos(b) = 1/2* [cos(a+b)+cos(a-b)]
sin(a)cos(b) = 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b) ]
cos(a)sin(b) = 1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)] Fórmula de inducción Las fórmulas de inducción comúnmente utilizadas incluyen los siguientes grupos:
Fórmula 1:
Supongamos que α es cualquier ángulo, y los valores de la misma función trigonométrica de ángulos con los mismos lados terminales son iguales:
sen (2kπ+α ) = sinα
cos (2kπ+α) =cosα
tan (2kπ+α) = tanα
cot (2kπ+α) = cotα
Fórmula 2:
Supongamos que α es cualquier ángulo, la relación entre el valor de la función trigonométrica de π+α y el valor de la función trigonométrica de α:
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（ π+α) = cotα
Fórmula 3:
La relación entre los valores de la función trigonométrica de cualquier ángulo α y -α:
sin (- α) = - sinα
cos (-α) = cosα
tan (-α) = -tanα
cot (-α) = -cotα
Fórmula 4:
Usando la Fórmula 2 y la Fórmula 3, podemos obtener la relación entre los valores de la función trigonométrica de π-α y α:
sin (π-α) = sinα
cos (π-α) = -cosα
tan (π-α) = -tanα
cot ( π-α) = -cotα
Fórmula 5:
Usando la fórmula 1 y la fórmula 3, podemos obtener la relación entre los valores de la función trigonométrica de 2π-α y α:
sen (2π-α) = -sinα
cos (2π-α) = cosα
tan (2π-α) = -tanα
cot (2π-α) = -cotα
Fórmula 6:
La relación entre los valores de la función trigonométrica de π/2±α y α:
sin (π/2+α) = cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－ cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝ sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot (π/2-α) = tanα
Consejos para memorizar fórmulas de inducción
※Resumen de reglas※
Las fórmulas de inducción anteriores se pueden resumir como:
Para una función trigonométrica valor de k·π/2±α (k∈Z) ,
①Cuando k es un número par, se obtiene el valor de la función α con el mismo nombre, es decir, el nombre de la función No cambia
②Cuando k es un número impar; , se obtiene el valor de cofunción correspondiente de α, es decir, sin→cos; cos→sin; tan→cot, cot→tan
（ Los cambios de impar a par permanecen sin cambios)
Luego agregue delante el signo del valor de la función original cuando α se considera un ángulo agudo.
(Ver el cuadrante para símbolos)
Por ejemplo:
sin(2π-α)=sin(4·π/2-α), k =4 es un número par, así que toma senα.
Cuando α es un ángulo agudo, 2π-α∈(270°, 360°), sin(2π-α)<0, el símbolo es "-".
Entonces sin(2π-α)=-sinα
La fórmula de memoria anterior es:
Los cambios pares a impares permanecen sin cambios y el símbolo depende de cuadrante.
Los símbolos en el lado derecho de la fórmula son cuando α se considera un ángulo agudo, el ángulo k·360°+α (k∈Z), -α, 180°±α, 360° -α
Se puede recordar el signo del valor de la función trigonométrica original en el cuadrante
El nombre inducido horizontal permanece sin cambios; el signo depende del cuadrante.
¿Cómo juzgar los signos de varias funciones trigonométricas en los cuatro cuadrantes? También puedes recordar la fórmula "uno es todo positivo; dos es seno; tres es tangente; cuatro es coseno".
El significado de esta fórmula de doce caracteres es:
Los valores de las cuatro funciones trigonométricas de cualquier ángulo del primer cuadrante son "+"
<; p>En el segundo cuadrante, solo el seno es "+", y el resto son "-"En el tercer cuadrante, solo la tangente es "+", y el resto son "-"; ;
En el cuarto cuadrante, solo el coseno es "+", y el resto son todos "-".
La fórmula de memoria anterior, un seno perfecto, dos senos, tres tangentes, cuatro cosenos fórmula universal (1) (sinα)^2+(cosα)^2=1
( 2)1+(tanα)^2=(secα)^2
(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2
Demuestre las siguientes dos fórmulas , Simplemente divide la primera ecuación por (sinα)^2 a la izquierda y a la derecha, y divide la segunda ecuación por (cosα)^2 a la izquierda y a la derecha.
(4) Para cualquier no derecha triángulo, siempre hay
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
Demostración:
A+B=π-C
tan (A+B)=tan(π-C)
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)
Puede se obtendrá después de ordenar
tanA+tanB +tanC=tanAtanBtanC
Prueba
También se puede demostrar que cuando x+y+z=nπ(n∈ Z), la relación también es cierta
Se pueden extraer las siguientes conclusiones de tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1
(6)cuna(A/2)+cuna (B/2)+cuna(C/2)=cuna(A/2)cuna(B/2)cuna(C/2)
(7)(cosA)^2+(cosB) ^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC
(8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC )^2=2+2cosAcosBcosC Otras fórmulas csc(a) = 1/sin(a)
sec(a) = 1/cos(a)
Otras fórmulas trigonométricas sin clave funciones csc(a) = 1/sin(a)
sec(a) = 1/cos(a)
Función hiperbólica sinh(a) = [e^a-e^( -a)]/2
cosh (a) = [e^a+e^(-a)]/2
tg h(a) = sin h(a) /cos h(a)
Fórmula 1:
Supongamos que α es cualquier ángulo, y los valores de la misma función trigonométrica de ángulos con los mismos lados terminales son iguales:
sin (2kπ+α) = sinα
cos ( 2kπ+α) = cosα
tan (2kπ+α) = tanα
cot (2kπ+α) = cotα
Fórmula 2:
Establezca α como En cualquier ángulo, la relación entre el valor de la función trigonométrica de π+α y el valor de la función trigonométrica de α:
sen (π+α) = -sinα
cos (π+α) = -cosα
tan (π+α) = tanα
cot (π+α) = cotα
Fórmula 3:
El triángulo de cualquier ángulo α y -α La relación entre los valores de la función:
sin (-α) = -sinα
cos (-α) = cosα
tan (-α) = - tanα
cot (- α) = -cotα
Fórmula 4:
Usando la fórmula 2 y la fórmula 3, podemos obtener la relación entre los valores de la función trigonométrica de π-α y α:
sin (π-α) = sinα
cos (π-α) = -cosα
tan (π-α) = -tanα
cot (π-α) = -cotα
Fórmula 5 :
Usando la fórmula - y la fórmula 3, podemos obtener la relación entre los valores de la función trigonométrica de 2π-α y α:
sen (2π-α) = -sinα
cos (2π -α) = cosα
tan (2π-α) = -tanα
cot (2π-α) = -cotα
Fórmula 6:
La relación entre π/2±α y 3π/2±α y el valor de la función trigonométrica de α:
sen (π/2 +α) = cosα
cos (π/2+α) = -sinα
tan (π/2+α) = -cotα
cot ( π/2+α) = -tanα
sin（π/2-α）= cosα
cos（π/2-α）= sinα
tan（π/2-α）= cotα
p>cuna（π/2-α）= tanα
sin（3π/2+α） = -cosα
cos（3π/2+α）= sinα
tan（3π/2+α）= -cotα
cot（3π/2 +α）= -tanα
sin（3π/2-α ) = -cosα
cos (3π/2-α) = -sinα
tan (3π/2-α) = cotα
cot (3π/ 2-α) = tanα
(k∈Z arriba)
Me tomó un Mucho tiempo para introducir esta fórmula de uso común en física, espero que sea útil para todos
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) =
√ representa el signo raíz, incluido Contenido en {...}
Las funciones trigonométricas parecen ser muchas y complicadas, pero Siempre que domines la esencia y las leyes internas de las funciones trigonométricas, descubrirás que existen poderosas conexiones entre las diversas fórmulas de las funciones trigonométricas. Las leyes internas y la esencia de las funciones trigonométricas también son la clave para aprender bien las funciones trigonométricas. p>
1. La esencia de las funciones trigonométricas:
La esencia de las funciones trigonométricas proviene de la definición, como se muestra a la derecha:
Según la figura de la derecha. , hay sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x;
Después de comprender profundamente este punto, todas las siguientes fórmulas trigonométricas se pueden derivar de aquí, por ejemplo, tomando la derivación
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB como ejemplo :
Derivación:
Primero dibuja el círculo unitario que intersecta el eje X en C y D. Hay puntos arbitrarios A y B en el círculo unitario. El ángulo AOD es α y BOD es β. Gire AOB para que OB y OD coincidan entre sí para formar un nuevo A'OD.
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β))
OA'=OA= OB=OD=1,D(1,0)
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^ 2+(sinα-sinβ)^2
El producto suma-diferencia y el producto suma-diferencia se pueden derivar combinando el método de reducción con la fórmula anterior (reemplace (a+b)/2 y ( a-b)/2)
Definición del círculo unitario
Círculo unitario
Las seis funciones trigonométricas también se pueden definir basándose en el círculo unitario con radio uno y centro como el origen. La definición de círculo unitario tiene poco valor computacional práctico; de hecho, se basa en triángulos rectángulos para la mayoría de los ángulos; Pero la definición del círculo unitario permite definir funciones trigonométricas para todos los argumentos positivos y negativos, no solo para ángulos entre 0 y π/2 radianes. También proporciona un gráfico que incluye todas las funciones trigonométricas importantes. Según el teorema de Pitágoras, la ecuación del círculo unitario es:
En la imagen se dan algunos ángulos comunes medidos en radianes. Las medidas en el sentido contrario a las agujas del reloj son ángulos positivos, mientras que las medidas en el sentido de las agujas del reloj son ángulos negativos. Deje que una línea que pasa por el origen obtenga un ángulo θ con la mitad positiva del eje x y corte el círculo unitario. Las coordenadas xey de esta intersección son iguales a cos θ y sen θ respectivamente. El triángulo de la imagen garantiza esta fórmula; el radio es igual a la hipotenusa y la longitud es 1, por lo que sen θ = y/1 y cos θ = x/1. Se puede considerar el círculo unitario como una forma de observar un número infinito de triángulos cambiando las longitudes de los lados adyacentes y opuestos, pero manteniendo la hipotenusa igual a 1.
Fórmula de la suma de dos ángulos
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1- tanAtanB )
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cuna(A+B) = (cunaAcotB-1)/(cunaB+cotA)
cuna(A-B) = (cunaAcotB+1)/(cunaB-cuna)