Ejercicios de cuadrilátero
Espero que te resulte útil y espero adoptarlo.
1. Problemas con triángulos isósceles (laterales):
Ejemplos típicos: los derechos de autor pertenecen a Jinyuan. Mathematics Studio, sin reimpresión
Ejemplo 1: (2012 Guangxi Chongzuo 10 minutos) Como se muestra en la figura, la coordenada del vértice de la parábola (a≠0) es el punto (-2, 3), y la la parábola se cruza con el eje y en el punto B (0, 2). (1) Encuentre la fórmula analítica de la parábola (2) Si hay un punto P en el eje x que hace que △PAB sea un triángulo isósceles; existe, encuentre las coordenadas del punto P; si no existe, explique el motivo;
(3) Si el punto P es cualquier punto en el eje x, entonces cuando PA-PB es el más grande, encuentre las coordenadas del punto P.
Ejemplo 2: (2012 Liaoning Chaoyang 14 minutos) Se sabe que, como se muestra en la figura, en el sistema de coordenadas plano rectangular, la hipotenusa BC de Rt△ ABC está en el eje x, el vértice rectangular A está en el semieje positivo del eje y, A (0, 2), B (-1,0).
(1) Encuentre las coordenadas del punto C; (2) Encuentre la fórmula analítica y el eje de simetría de la parábola que pasa por tres puntos A, B y C; 3) Establezca el punto P (m, n) como el punto en el primer cuadrante de la parábola. El área de △PAC es S. Encuentre la expresión de la relación funcional de S con respecto a m y encuentre las coordenadas del punto P. cuando S se maximiza;
(4) En el eje de simetría de la parábola, ¿hay algún punto M que forme △MPC (P es el punto donde S se maximiza en la pregunta (3) anterior)? ¿un triangulo isósceles? Si existe, escriba las coordenadas del punto M directamente; si no existe, explique el motivo.
Ejemplo 3: (2012 Shandong Linyi 13 puntos) Como se muestra en la figura, el punto A está en el eje x, OA=4, gire el segmento de línea OA 120° en el sentido de las agujas del reloj alrededor del punto O hasta el posición del OB. (1) Encuentre las coordenadas del punto B; (2) Encuentre el punto que pasa por el punto A. La fórmula analítica de la parábola O y B;
(3) En el eje de simetría de esta parábola, ¿hay un punto P tal que el triángulo con los puntos P, O y B como vértices sea isósceles? ¿triángulo? Si existe, encuentre las coordenadas del punto P; si no existe, explique el motivo.
Ejemplo 4: (2012 Baotou, Mongolia Interior 12 puntos) Se sabe que la recta y = 2x 4 corta el eje x y el eje y en dos puntos A y D respectivamente. La parábola pasa. por los puntos A y D. El punto B es una parábola Otro punto de intersección con el eje x.
(1) Encuentre la fórmula analítica de esta parábola y las coordenadas del punto B
(2) Suponga que el punto M es un punto en la recta AD y encuentre las coordenadas de; punto M;
(3) Si el punto C (2, y) está en esta parábola, ¿hay un punto P en el semieje positivo del eje y, lo que hace que △BCP sea un triángulo isósceles? Si existe solicitar las coordenadas del punto P; si no existe explicar el motivo.
Ejemplo 5: (2012 Fujian Longyan 14 puntos) En el sistema de coordenadas rectangular plano xoy, se coloca una placa triangular con un ángulo de 60° como se muestra en la figura, la hipotenusa AB está en el eje x , y el vértice rectangular C está en En el semieje positivo del eje y, hay un punto conocido A (-1, 0).
(1) Escriba directamente las coordenadas de los puntos B y C: B ( , ), C ( , ) y encuentre la fórmula analítica de la parábola que pasa por tres puntos A, B y C;
(2) Hay una placa triangular DEF que es exactamente igual a la placa triangular anterior (donde ∠EDF=90°, ∠DEF=60° Coloque el vértice E en el segmento de línea AB). (el punto E no es lo mismo que A y B. Puntos en movimiento coincidentes), y trazar la línea recta donde ED pasa por el punto C. En este momento, la recta donde se ubica EF corta a la parábola en (1) en el punto M del primer cuadrante.
①Supongamos AE=x, cuando el valor de △PEM es un triángulo isósceles. Si existe, solicite las coordenadas del punto P. Si no existe, explique el motivo.
Preguntas del ejercicio: los derechos de autor pertenecen a Jinyuan Mathematics Studio y no pueden reproducirse
1 (2012 Guangxi Baise 10 puntos) Como se muestra en la figura, en el sistema de coordenadas plano rectangular, la parábola y=ax2＋bx+6 Pasa por el punto A(-3,0) y el punto B(2,0). La línea recta y=h (h es una constante y 0 (2) Conecte BE y encuentre el valor de h, cuando el área de △BDE es mayor ( 3) Se conoce un cierto punto M (-2,0). Pregunta: ¿Existe una línea recta y = h que haga de △OMF un triángulo isósceles? Si existe, encuentre el valor de h y las coordenadas del punto G, si no existe, explique el motivo. y=h 2. (2012 Provincia de Jiangxi 10 puntos) Como se muestra en la figura, se sabe que la función cuadrática L1: y=x2-4x 3 se cruza con la eje x en A. Dos puntos B (el punto A está a la izquierda del punto B) intersecan el eje y en el punto C. (1) Escribe la dirección de apertura, el eje de simetría y las coordenadas del vértice de la función cuadrática L1; (2) Estudia la función cuadrática L2: y=kx2﹣4kx 3k (k≠0). ①Escribe dos propiedades idénticas de las gráficas relacionadas con la función cuadrática L2 y la función cuadrática L1; ②¿Existe un número real k que haga de △ABP un triángulo equilátero? Si existe, solicite el valor de k; si no existe, explique el motivo ③ Si la recta y=8k y la parábola L2 se cruzan en dos puntos E y F, pregunte si la longitud del segmento de recta EF; ¿cambios? En caso contrario, solicite la duración de EF; de ser así, explique el motivo; 3. (2012 Hunan Hengyang 10 puntos) Como se muestra en la figura, se sabe que el vértice de la parábola es el origen de coordenadas O, los vértices A y D del rectángulo ABCD están en la parábola. , y AD es paralelo al eje x e intersecta y El eje está en el punto F, el punto medio E de AB está en el eje x, las coordenadas del punto B son (2, 1) y el punto P (a, b) se mueve sobre la parábola. (El punto P es diferente del punto O) (1) Encuentra la fórmula analítica de esta parábola. (2) Trazar la perpendicular a la recta CB que pasa por el punto P, y el pie vertical es el punto R. ① Verificar: PF = PR ② ¿Existe un punto P tal que △PFR sea un triángulo equilátero? Si existe, encuentre las coordenadas del punto P; si no existe, explique el motivo ③ Extienda PF para cruzar la parábola en otro punto Q, pase Q y dibuje la perpendicular a la línea donde se encuentra BC; el pie vertical es S. Intenta determinar la forma de △RSF. 4. (2012 Hunan Yongzhou 10 puntos) Como se muestra en la figura, se sabe que la imagen de la función cuadrática y=ax2 bx-1 (a≠0) pasa por los puntos A (2). , 0) y B (4, 3), l es una línea recta que pasa por el punto (0, -2) y paralela al eje x, P (m, n) es cualquier punto de la gráfica de la función cuadrática , pasando por P es PH⊥l, H Para pies colgantes. (1) Encuentre la fórmula analítica de la función cuadrática y=ax2 bx﹣1 (a≠0) (2) Escriba directamente el rango de valores correspondiente de x que hace y＜0; ; (3) En consecuencia, cuando m=0, m=2 y m=4, calcule los valores de |PO|2 y |PH|2 respectivamente. Observe las reglas y adivine una conclusión que demuestre que para cualquier número real m, esta conclusión es verdadera; (4) ¿Existe un número real m que pueda hacer de △POH un triángulo equilátero? Si existe, encuentre el valor de m; si no existe, explique el motivo. 5. (2012 Guangdong Meizhou 11 puntos) Como se muestra en la figura, en el rectángulo OABC, A (6, 0), C (0, 2), D (0, 3), rayo l. pasa por el punto D y Paralelo al eje x, los puntos P y Q son puntos móviles en los semiejes positivos de los ejes ly x respectivamente, que satisfacen ∠PQO=60°. (1) ①Las coordenadas del punto B son; ②∠CAO= grados; ③Cuando el punto Q coincide con el punto A, las coordenadas del punto P son (escribe la respuesta directamente) (2) Suponga que el centro de OA es N y PQ intersecta el segmento de recta AC en el punto M. ¿Existe un punto P que haga de △AMN un triángulo isósceles? Si existe, escriba directamente la abscisa del punto P como m; si no existe, explique el motivo. (3) Suponga que la abscisa del punto P es x, y el área de la parte superpuesta de △OPQ y el rectángulo OABC es S. Intente encontrar la relación funcional entre S y x y el valor del alcance de la variable independiente correspondiente x. Preguntas de ejemplo típicas: los derechos de autor pertenecen a Jinyuan Mathematics Studio y no pueden reproducirse Ejemplo 1: (2012 Zaozhuang, provincia de Shandong 10 puntos) En el sistema de coordenadas plano rectangular, un La pieza rectángulo isósceles ahora es la placa triangular ABC, se coloca en el segundo cuadrante, apoyada en los dos ejes de coordenadas, y el punto C es (-1, 0). Como se muestra en la figura, el punto B está en la gráfica de la parábola y = x2 + x-2. El eje BD⊥x pasa por el punto B, el pie vertical es D y la abscisa del punto B es -3. (1) Verificar: △BDC≌△COA; (2) Encontrar la expresión de relación funcional de la línea recta donde se encuentra BC ( 3) Simetría de la parábola ¿Existe un punto P en el eje tal que ΔACP sea un triángulo rectángulo con AC como lado derecho? Si existe, encuentre las coordenadas del punto P; si no existe, explique el motivo. Ejemplo 2: (2012 Ciudad de Chongqing 12 puntos) Conocido: como se muestra en la figura, en el trapecio rectángulo ABCD, AD∥BC, ∠B=90°, AD=2, BC=6 , AB=3． E es un punto en el lado de BC. Construye un cuadrado BEFG con BE como lado, de modo que el cuadrado BEFG y el trapezoide ABCD estén en el mismo lado de BC. (1) Cuando el vértice F del cuadrado cae exactamente en la diagonal AC, encuentre la longitud de BE (2) Dibuje el cuadrado BEFG en (1) a lo largo de la línea; BC se traslada hacia la derecha y el cuadrado BEFC durante la traducción se llama cuadrado B′EFG. La traducción se detiene cuando el punto E y el punto C coinciden. Supongamos que la distancia de traslación es t, y que los lados EF y AC del cuadrado B′EFG se cruzan en el punto M, conectando B′D, B′M y DM. ¿Existe una t que haga de △B′DM un triángulo rectángulo? ? Si existe, encuentre el valor de t; si no existe, explique el motivo; (3) Durante el proceso de traducción solicitado en (2), deje que el área de la parte superpuesta del cuadrado B′EFG y △ADC sean S, escriba directamente la relación funcional entre S y t y el rango de valores de la variable independiente t. Ejemplo 3: (2012 Chifeng, Mongolia Interior, 12 minutos) Como se muestra en la figura, la parábola se cruza con el eje x en A. Dos puntos B (el punto A está a la izquierda del punto B) cruzan el eje y en el punto C, el punto C y el punto F son simétricos con respecto al eje de simetría de la parábola, la línea recta AF cruza el eje y en el punto E, |OC|: |OA| =5：1． (1) Encuentra la fórmula analítica de la parábola; (2) Encuentra la fórmula analítica de la recta AF (3) Si existe; ¿Cuál es un punto en la línea recta AF P, hace que △CFP sea un triángulo rectángulo? Si existe, encuentre las coordenadas del punto P; si no existe, explique el motivo. Ejemplo 4: (2012 Provincia de Hainan 13 puntos) Como se muestra en la figura, la imagen de la función cuadrática con vértice P (4, -4) pasa por el origen (0, 0) y el punto A es en la imagen, OA intersecta su eje de simetría en el punto M, los puntos M y N son simétricos con respecto al punto P, y conecta AN y ON (1) Encuentre la relación de función cuadrática Fórmula. (2) Si las coordenadas del punto A son (6, -3), encuentre el área de △ANO. (3) Cuando el punto A está en el lado derecho del eje de simetría Para el movimiento en la gráfica de una función cuadrática, responda las siguientes preguntas: ①Demuestre: ∠ANM=∠ONM ②¿Puede △ANO ser un derecho? ¿triángulo? Si es posible, solicite las coordenadas de todos los puntos calificados A. Si no, explique el motivo. Preguntas del ejercicio: los derechos de autor pertenecen a Jinyuan Mathematics Studio y no pueden reproducirse 1 (2012 Guangxi Hechi 12 puntos) Como se muestra en la figura, en el triángulo isósceles ABC, AB = AC, se establece un sistema de coordenadas rectangular plano basado en la bisectriz vertical de la base BC y la línea recta donde se encuentra BC. la parábola pasa por dos puntos A y B. (1) Escribe las coordenadas del punto A y del punto B; (2) Si una recta l coincide con el eje y se mueve 2 veces por segundo La velocidad de una unidad de longitud se traslada hacia la derecha, intersectando los segmentos de recta OA, CA y la parábola respectivamente Las rectas están en los puntos E, M y P, conectando PA y PB Suponga que el tiempo para el movimiento de la línea recta l es t (0 (3) Bajo las condiciones de (2) A continuación, ¿hay un punto P en la parábola tal que △PAM sea un triángulo rectángulo? Si existe, solicite las coordenadas del punto P ; si no existe, explique el motivo. 2: (2012 Shaoyang, Hunan, 12 puntos) Como se muestra en la figura, la línea recta y el eje x se cruzan en el punto A (4, 0), se cruzan con el eje y en el punto B, doblan △AOB a lo largo del eje y, de modo que el punto A cae en el eje x , y el punto correspondiente del punto A es el punto C. ⑴ Encuentra las coordenadas del punto C; ⑵ Sea el punto P un punto en movimiento en el segmento de línea CA. no coincide con los puntos A y C. Conecte PB y dibuje el rayo PM con el punto P como punto final. Intersecta AB en el punto M, de modo que ∠BPM=∠BAC① Demuestre: △PBC∽△MPA; ②. ¿Existe un punto P tal que △PBM sea un triángulo rectángulo? Si existe solicitar las coordenadas del punto P; si no existe explicar el motivo. 3. (2012 Provincia de Yunnan 9 puntos) Como se muestra en la figura, en el sistema de coordenadas plano rectangular, la línea recta cruza el eje x en el punto P y el eje y en el punto A. La imagen de la parábola pasa por el punto E (-1, 0) y corta a la recta en dos puntos A y B. (1) Encuentre la fórmula analítica (fórmula relacional) de la parábola; (2) Dibuje AC⊥AB a través del punto A e interseque el eje x en el punto C, y encuentre las coordenadas del punto C; (3) Además del punto C, ¿existe un punto M en el eje de coordenadas tal que △MAB sea un triángulo rectángulo? Si existe solicitar las coordenadas del punto M; si no existe explicar el motivo. Preguntas de ejemplo típicas: los derechos de autor pertenecen a Jinyuan Mathematics Studio y no pueden reproducirse Ejemplo 1: (2012 Provincia de Shanxi 14 puntos) Síntesis y práctica: como se muestra en la figura, en En el sistema de coordenadas plano rectangular, la parábola y=-x2 2x 3 corta el eje x en A. Dos puntos B se cruzan con el eje y en el punto C, y el punto D es el vértice de la parábola. (1) Encuentra la fórmula analítica de la recta AC y B. Las coordenadas de dos puntos D; (2) El punto P es un punto en movimiento en el eje x. Traza una línea recta l∥AC que pasa por P y corta la parábola en el punto Q. Intenta explorar: Con el movimiento del punto P, ¿existe un punto Q en la parábola tal que el punto A. ¿Es el cuadrilátero con vértices P, Q y C un paralelogramo? Si existe, escriba directamente las coordenadas del punto Q que cumple con las condiciones; si no existe, explique el motivo. (3) Encuentre un punto M en la línea recta AC para minimizar el perímetro de △BDM y encuentre las coordenadas del punto M. Ejemplo 2: (2012 Shandong Rizhao 10 minutos) Como se muestra en la figura, la imagen de la función cuadrática y=x2+bx+c interseca el eje x en dos puntos A y B, y el las coordenadas del punto A son (-3,0), la recta que pasa por el punto B corta a la parábola en el punto D (-2,-3). (1) Encuentre la fórmula analítica de la parábola y la fórmula analítica de la recta BD; p> (2) Dibuje una recta EF∥BD que pase por el punto E (a, 0) en la x -eje (el punto E está en el lado derecho del punto B) y corta la parábola en el punto F. ¿Existe un número real a que haga que el cuadrilátero BDFE sea paralelo? Si existe, busque uno que cumpla las condiciones; si no existe, explique el motivo. Ejemplo 3: (2012 Beihai, Guangxi, 12 minutos) Como se muestra en la figura, en el plano. sistema de coordenadas rectangular, hay Rt△ABC, ∠ A=90°, AB=AC, A(-2,0), B(0,1), C(d,2). (1) Encuentre el valor de d; (2) Traslade △ABC a lo largo de la dirección positiva del eje x y encuentre el punto B correspondiente de los dos puntos B. y C en el primer cuadrante. ′ y C′ caen exactamente en la imagen de una determinada función proporcional inversa. Encuentre la fórmula analítica de esta función proporcional inversa y la línea recta B′C′ en este momento; (3) Bajo la condición de (2), la línea recta B′C′ cruza la y- eje en el punto G. Pregunte si hay un punto M en el eje x y un punto P en la gráfica de la función proporcional inversa tal que el cuadrilátero PGMC′ sea un paralelogramo. Si existe solicitar las coordenadas del punto M y del punto P; si no existe explicar el motivo. Ejemplo 4: (2012 Dandong, Liaoning, 14 minutos) Se sabe que la parábola corta al eje y en el punto C, y corta al eje x en dos puntos A y B. Las coordenadas de El punto A es (-1, 0), O es el origen de coordenadas y. (1) Encuentre la expresión de la función de la parábola; (2) Escriba directamente la expresión de la función de la línea recta BC (3) Como se muestra en la Figura 1, D es; el negativo del eje y Un punto en el semieje, y OD=2, forma un cuadrado ODEF con OD como lado Mueve el cuadrado ODEF en la dirección positiva del eje x a una velocidad de 1 unidad por cada. segundo Durante el movimiento, deje que el cuadrado ODEF se superponga con △OBC. El área de la pieza es s y el tiempo de movimiento es t segundos (0＜t≤2). Encontrar: ①El. relación funcional entre s y t; ②Durante el proceso de movimiento, ¿s tiene un valor máximo? Si existe, escriba el valor máximo directamente; si no existe, explique el motivo. (4) Como se muestra en la Figura 2, el punto P (1, k) está en la línea recta BC, el punto M está en el eje x y el punto N está en la parábola. existencia donde A, M, N, P son paralelogramos con vértices? Si existe, escriba directamente las coordenadas del punto M; si no existe, explique el motivo. Ejemplo 5: (2012 Heilongjiang Heihe, Qiqihar, Daxinganling, Jixi 10 minutos) Como se muestra en En la figura, en el sistema de coordenadas plano rectangular, se sabe que los dos lados rectángulos 0A y 08 de Rt△AOB están en el eje y y el eje x respectivamente, y las longitudes de OA y OB son respectivamente las dos raíces de la ecuación x2—7x 12=0 (OAlt; 0B), el punto en movimiento P comienza desde el punto A y se mueve hacia el punto O en el segmento de línea AO a una velocidad de l unidad de longitud por segundo, al mismo tiempo, punto en movimiento; Q comienza desde el punto B y se mueve hacia el punto A en el segmento de línea BA a una velocidad de 2 unidades de longitud por segundo. Sea el tiempo de movimiento de los puntos P y Q t segundos. (1) Encuentra las coordenadas de dos puntos A y B. (2) Encuentre el valor de t cuando △APQ es similar a △AOB y escriba directamente las coordenadas del punto Q en este momento. (3) Cuando t=2, ¿hay un punto M en el plano coordenado de modo que el cuadrilátero con A, P, Q y M como vértices sea un paralelogramo? Si existe, escríbalo. directamente Las coordenadas del punto M, si no existe, explique el motivo. Preguntas del ejercicio: los derechos de autor pertenecen a Jinyuan Mathematics Studio y no pueden reproducirse 1 (2012 Anshun, Guizhou, 14 puntos) Como se muestra en la figura, en el plano de coordenadas rectangulares. sistema xOy, el rectángulo Las longitudes de los lados OA y OC de OABC son 12 cm y 6 cm respectivamente. Los puntos A y C están en el semieje negativo del eje y y el semieje positivo del eje x respectivamente. y=ax2 bx c pasa por los puntos A y B, y 18ac= 0. (1) Encuentra la fórmula analítica de la parábola. (2) Si el punto P comienza desde el punto A y se mueve a lo largo del lado AB hasta el punto final B a una velocidad de 1 cm/s, y al mismo tiempo, el punto Q comienza desde el punto B y se mueve a lo largo del lado BC a una velocidad de 2 cm/s hasta el punto final C. Muévete. ① En el t-ésimo segundo después de que comienza el movimiento, sea S el área de △PBQ, intente escribir la relación funcional entre S y t, y escriba el rango de valores de t. ② Cuando S alcanza su valor máximo, ¿hay un punto R en la parábola tal que el cuadrilátero con P, B, Q y R como vértices sea un paralelogramo? Si existe, encuentre las coordenadas del punto R; si no existe, explique el motivo. 2. (2012 Hubei Enshi 8 puntos) Como se muestra en la figura, se sabe que la parábola y=-x2 bx c corta una línea recta en dos puntos A (-1, 0) y C. (2, 3). Interseca el eje y en el punto N. Su vértice es D. (1) Expresiones funcionales de la parábola y la recta AC; (2) Establezca el punto M (3, m) y encuentre el valor de m que minimice el valor de MN MD; (3) Si el eje de simetría de la parábola corta a la recta AC en el punto B, E es cualquier punto de la recta AC, que pasa por el punto E, traza EF∥BD y corta a la parábola en el punto F, un cuadrilátero con B, D, E y F como vértices. ¿Puede ser un paralelogramo? En caso afirmativo, encuentre las coordenadas del punto E; en caso contrario, explique el motivo (4) Si P es un punto en movimiento en la parábola sobre la línea recta AC, encuentre el área máxima de △APC. 3. (2012 Sichuan Yibin 10 puntos) Como se muestra en la figura, el vértice A de la parábola y=x2-2x c está en la recta l: y=x-5. (1) Encuentre las coordenadas del vértice de la parábola A; (2) Suponga que la parábola interseca el eje y en el punto B y el eje x en el punto C. D (el punto C está a la izquierda del punto D), intente determinar la forma de △ABD; (3) Si hay un punto P en la línea recta l, de modo que los puntos P y A . B. ¿El cuadrilátero con vértice D es un paralelogramo? Si existe, encuentre las coordenadas del punto P; si no existe, explique el motivo. 4. (2012 Hunan Loudi 10 puntos) Se sabe que la imagen de la función cuadrática y=x2﹣(m2﹣2)x﹣2m se cruza con el eje x en el punto A (x1, 0) y el punto B(x2,0), x1 (1) Encuentra la fórmula analítica de esta función cuadrática; (2) Explora: ¿Existe un punto P en la recta y=x 3, que haga que el cuadrilátero PACB sea un ¿paralelogramo? En caso afirmativo, encuentre las coordenadas del punto P; en caso contrario, explique el motivo. 4. Hay problemas con rectángulos, rombos y cuadrados; Ejemplos típicos: los derechos de autor pertenecen a Jinyuan Mathematics Studio y no pueden reproducirse Ejemplo 1: (2012 Heilongjiang Longdong área 10 puntos) Como se muestra en la figura, en el sistema de coordenadas plano rectangular, los lados OC y OA del trapecio rectángulo OABC coinciden con los ejes x e y respectivamente, AB∥OC , ∠AOC=90°, ∠BCO=45°, BC =12, las coordenadas del punto C son (-18, 0) (1) Encuentra las coordenadas del punto B; (2) Si la línea recta DE corta la diagonal trapezoidal BO en el punto D, el eje y se cruza en el punto E, y OE=4, OD=2BD, encuentre la fórmula analítica de la línea recta DE (3) Si el punto P es un punto en movimiento; punto en la recta DE en (2), ¿existe un punto Q en el plano coordenado, de modo que O, E, P y Q sean vértices? ¿El cuadrilátero es un rombo? Si existe, escriba directamente las coordenadas del punto Q; si no existe, explique el motivo. Ejemplo 2: (Guizhou Liupanshui 16 puntos en 2012) Como se muestra en la Figura 1, se sabe que en △ABC, AB=10cm, AC=8cm, BC=6cm. Si el punto P parte de B y se mueve en dirección de BA hasta el punto A con velocidad constante, y al mismo tiempo el punto Q parte de A y se mueve en dirección de AC hasta el punto C con velocidad constante, ambas velocidades son 2 cm/s. Conecte PQ y deje que el tiempo de movimiento sea t (unidad: s) (0≤t≤4). Responde las siguientes preguntas: (1) Cuando t tiene un valor, PQ∥BC. (2) Sea el área de △AQP S (unidad: cm2). Cuando t es el valor, S obtiene el valor máximo y encuentre el valor máximo. (3) ¿Existe un cierto tiempo t tal que el segmento de recta PQ biseca exactamente el área de △ABC? Si existe, encuentre el valor de t en este momento; si no existe, explique el motivo. (4) Como se muestra en la Figura 2, doble △AQP a lo largo de AP para obtener el cuadrilátero AQPQ′. Entonces, ¿existe un cierto tiempo t que hace que el cuadrilátero AQPQ′ se convierta en un rombo? Si existe, encuentre el área del rombo en este momento; si no existe, explique el motivo. Ejemplo 3: (2012 Liaoning Tieling 14 puntos) Como se muestra en la figura, se sabe que la parábola pasa por el origen O y un punto A (4, 0) en el eje x, y el vértice de la parábola es E, Su eje de simetría se cruza con el eje x en el punto D. La línea recta pasa por el punto B (-2, m) de la parábola y se cruza con la y -eje en el punto C, y se cruza con el eje de simetría de la parábola en el punto F. (1) Encuentre el valor de my la fórmula analítica correspondiente a la parábola; (2) P es un punto en la parábola. Si S△ADP=S△ADC, encuentre las coordenadas de todos los puntos calificados P; (3) El punto Q es cualquier punto en el plano. comienza desde el punto F y se mueve hacia arriba a lo largo del eje de simetría a una velocidad uniforme de 1 unidad de longitud por segundo, suponiendo que el tiempo de movimiento del punto M es t segundos, ¿es posible hacer el cuadrilátero con Q, A, E, M como? ¿Los vértices son un rombo? Si es así, escriba directamente el valor del tiempo de movimiento t del punto M; si no, explique el motivo. Diagrama de respaldo Ejemplo 4: (12 puntos en Zhangzhou, Fujian, 2012) Se sabe que la parábola y= x2 1 (como se muestra en la figura). (1) Completa los espacios en blanco: Las coordenadas del vértice de la parábola son (______, ______), y el eje de simetría es _____ (2) Se sabe que; un punto A (0, 2) en el eje y), el punto P está en la parábola, pasando por el punto P es el eje PB⊥x y el pie vertical es B. Si △PAB es un triángulo equilátero, encuentre las coordenadas del punto P; (3) Bajo la condición de (2), el punto M está en la línea recta AP. ¿Existe un punto N en el plano que hace que el cuadrilátero OAMN sea un rombo? Si existe, escriba directamente las coordenadas de todos los puntos N que cumplan las condiciones, si no existe, explique el motivo; Ejemplo 5: (2012 Tongliao, Mongolia Interior 12 puntos) Como se muestra en la figura, en el sistema de coordenadas plano rectangular, se coloca un cuadrado ABCD en el primer cuadrante y se apoya en los dos ejes de coordenadas, y punto A (0, 2), punto B (1, 0), la parábola y=ax2﹣ax﹣2 pasa por el punto C. (1) Encuentre las coordenadas del punto C; (2) Encuentre la fórmula analítica de la parábola; los derechos de autor pertenecen a Jinyuan Mathematics Studio y no pueden reproducirse (3) Si existe en la parábola El punto P y el punto Q (excepto los puntos C y D) ¿hacen que el cuadrilátero ABPQ sea un cuadrado? Si existe, encuentre las coordenadas de los puntos P y Q. Si no existe, explique el motivo. Preguntas del ejercicio: los derechos de autor pertenecen a Jinyuan Mathematics Studio y no pueden reproducirse 1 (2012 Yantai, Shandong 12 puntos) Como se muestra en la figura, en el plano Sistema de coordenadas cartesianas. , el rectángulo conocido ABCD Los tres vértices B(1,0), C(3,0), D(3,4). La parábola y=ax2 bx c con A como vértice pasa por el punto C. El punto en movimiento P comienza en el punto A y se mueve hacia el punto B a lo largo del segmento AB. Al mismo tiempo, el punto en movimiento Q comienza desde el punto C y se mueve hacia el punto D a lo largo del segmento CD. Las velocidades de movimiento de los puntos P y Q son ambas de 1 unidad por segundo. El tiempo de movimiento es t segundos. Sea PE⊥AB que interseque a AC en el punto E pasando por el punto P. (1) Escriba directamente las coordenadas del punto A y encuentre la fórmula analítica de la parábola. (2) Dibuje EF⊥AD a través del punto E en F y cruce el parábola en el punto G, cuando t es ¿qué valor, el área de △ACG es la más grande? ¿Cuál es el valor máximo? (3) Durante el movimiento de los puntos en movimiento P y Q, cuando t tiene el valor, hay un punto H dentro del rectángulo ABCD (incluido el límite), de modo que el cuadrilátero con C, Q, E, H como vértices se convierte en un ¿rombo? Por favor escriba el valor de t directamente. 2. (2012 Fujian Fuzhou 13 puntos) Como se muestra en la Figura ①, en Rt△ABC, ∠C=90?, AC=6, BC=8, el punto en movimiento P comienza desde el punto A a lo largo. el lado AC hacia el punto C se mueve a una velocidad de 1 unidad de longitud por segundo. El punto móvil Q comienza desde el punto C y se mueve a lo largo del borde CB hasta el punto B a una velocidad de 2 unidades de longitud por segundo. Dibuje PD∥BC a través del punto P y. intersecta AB en el punto D. Conecta PQ. Los puntos P y Q comienzan desde los puntos A y C respectivamente al mismo tiempo. Cuando un punto llega al punto final, el otro punto también deja de moverse. Sea el tiempo de movimiento t segundos (t≥0). (1) Utilice directamente expresiones algebraicas que contengan t para expresar respectivamente: QB=______, PD=______. (2) ¿Existe un valor de t que convierta al cuadrilátero PDBQ en un rombo? Si existe, encuentre el valor de t; si no existe, explique el motivo. Y explore cómo cambiar la velocidad del punto Q (movimiento uniforme), de modo que el cuadrilátero PDBQ se convierta en un rombo en un momento determinado, y encuentre la velocidad del punto Q (3) como se muestra en la Figura ②, durante todo el movimiento; encuentre la posición del punto medio M del segmento de recta PQ. El camino recorrido es largo. 3. (2012 Liaoning Jinzhou 14 puntos) Como se muestra en la figura, la parábola se cruza en el punto C, la línea recta l es el eje de simetría de la parábola y el punto P está en el tercer cuadrante. y es el vértice de la parábola. P al eje La distancia es, y la distancia al eje es 1. El punto de simetría del punto C con respecto a la recta l es A, y la línea de intersección l que conecta AC está en. B. (1) Encuentre la expresión de la parábola; los derechos de autor pertenecen a Jinyuan Mathematics Studio, no se permite la reproducción. (2) La línea recta y la parábola se cruzan en el punto D en el primer cuadrante, se cruza con el eje en el punto F, conecta el eje de intersección BD en el punto E, y DE: BE=4: 1. Encuentra la expresión de la recta; (3) Si N es un punto en el sistema de coordenadas plano rectangular, ¿existe un punto M en la recta tal que los puntos O y F sean el cuadrilátero con M y N los vértices a ¿rombo? Si existe, escriba directamente las coordenadas del punto M; si no existe, explique el motivo. 4 (2012 Provincia de Qinghai 12 puntos) Como se muestra en la figura, en el plano coordenada rectangular. sistema, la función cuadrática y= La imagen de x2 bx c se cruza con el eje x en dos puntos A y B. El punto A está a la izquierda del origen. Las coordenadas del punto B son (3, 0). con el eje y en el punto C (0, -3). El punto P es un punto en movimiento en la parábola debajo de la línea BC. (1) Encuentre la expresión de esta función cuadrática. (2) Conecte PO y PC, y doble △POC a lo largo de CO para obtener el cuadrilátero POP′C. ¿Existe un punto P que haga que el cuadrilátero POP′C sea un rombo? Si existe, busque las coordenadas del punto P en este momento; si no existe, explique el motivo; (3) Cuando el punto P se mueve a qué posición, el área del cuadrilátero ABPC es la más grande y encuentre las coordenadas del punto P y el área máxima del cuadrilátero ABPC en este momento.