Buscando algunas preguntas interesantes de matemáticas sobre las ecuaciones de líneas rectas y círculos en cursos de secundaria

Teorema de la Mariposa

Contenido del teorema: Del punto medio M de la cuerda PQ en el círculo O, por el punto M, pasar dos cuerdas AB, CD, las cuerdas AD y BC intersectan a PQ respectivamente en X, Y, entonces M es el punto medio de XY.

Demostración: Dibuja una línea perpendicular entre AD y BC que pase por el centro O del círculo. Los pies verticales son S y T, conectando OX, OY, OM, SM y MT.

∵△AMD∽△CMB　

∴AM/CM=AD/BC　

∵SD=1/2AD, BT=1/2BC　

∴AM/CM=AS/CT　

Y∵∠A=∠C　

∴△AMS∽△CMT　

∴∠MSX= ∠MTY　

∵∠OMX=∠OSX=90°　

∴∠OMX+∠OSX=180°　

∴O, S, X, M cuatro puntos *** Círculo

Del mismo modo, O, T, Y, M círculo *** de cuatro puntos

∴∠MTY=∠MOY, ∠MSX=∠MOX　

∴∠MOX=∠MOY ,

∵OM⊥PQ

∴XM=YM

Este teorema también es válido en elipses, como se muestra en la figura

1. Los ejes mayores A1 y A2 de la elipse son paralelos al eje x, el eje menor B1B2 está en el eje y y el centro es M (o, r) ( b>r>0). (Ⅰ) Escribe la ecuación de la elipse y encuentra las coordenadas de enfoque y la excentricidad de la elipse

(Ⅱ) La línea recta y=k1x corta la elipse en dos puntos C (x1, y1), D ( x2, y2) ( y2>0); la recta y=k2x corta la elipse en dos puntos G (x3, y3), H (x4, y4) (y4>0). Verifique: k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)

(III) Para C, D, G, H en (II), sea CH la intersección del eje X en el punto P , GD interseca el eje X en el punto Q. Verificar: | OP | = | OQ |.

(El proceso de prueba no considera la situación en la que CH o GD es perpendicular a Las respuestas de referencia son las siguientes:

(18) Esta pregunta prueba principalmente los conocimientos básicos de recta líneas y elipses, y pone a prueba la capacidad de analizar y resolver problemas. Puntuación total 15 puntos. (Ⅰ) Solución: La ecuación elíptica es x2/a2+(y-r)2/b2=1 y la coordenada de enfoque es

(Ⅱ) Prueba: Sustituyendo la ecuación de la recta CD y=k?x en la ecuación elíptica, obtenemos b2x2 +a2(k1x-r)2=a2b2,

Después de ordenar, obtenemos (b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0　

Según el teorema védico, obtenemos

x1+x2=2k1a2r/(b2+a2k12), x1·x2=(a2r2-a2b2)/( b2+a2k12),

Entonces x1x2/(x1+x2)= ( r2-b2)/2k1r ①

Sustituimos la ecuación y=k2x de la recta GH en la ecuación elíptica, y de la misma manera podemos obtener

x3x4/(x3+x4)=( r2-b2 )/2k2r ②　

De ①, ② obtenemos k1x1x2/(x1+x2)=(r2-b2/2r= k2x3x4/(x3+x4)　

Entonces la conclusión está establecida.

(Ⅲ) Prueba: Sean el punto P(p, o) y el punto Q(q, o).

De las líneas C, P, H***, obtenemos (x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4　

Resuelve para obtener P=(k1 -k2) x1x4/(k1x1-k2x4)

Por las líneas D, Q, G***, podemos obtener el mismo método

q=(k1-k2)x2x3 /(k1x2-k2x3)

De k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4), obtenemos: x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4)　

Es decir (k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)　

Entonces |p|=|q|, es decir , |OP|=|OQ |.