¿Cuál es la completitud de los números reales?
Teorema básico sobre la completitud del conjunto de números reales
Teorema de conjunto de intervalos y criterio de convergencia de Cauchy
Definición 1 Conjunto de intervalos: Supongamos que es un conjunto cerrado secuencia de intervalo. Si se cumple la condición
ⅰ) Sí, es decir,
El último intervalo cerrado se incluye en el intervalo cerrado anterior
;ⅱ) . Es decir, en ese momento, la longitud del intervalo tiende a cero
Entonces la secuencia de intervalo cerrado se denomina conjunto de intervalo cerrado, denominado conjunto de intervalo. p>El conjunto de intervalos también se puede expresar como:
.
Lo que queremos llamar su atención es que se trata de dos sumas secuenciales, en las que es creciente y decreciente
Por ejemplo, la suma es un conjunto de intervalos. Pero,
Ni
Teorema del conjunto de intervalos
Th7.1 (Conjunto de intervalos). Teorema) Supongamos que es un conjunto de intervalos cerrados. Entonces hay un punto único en el sistema de números reales, por lo que Sí. En resumen, el conjunto de intervalos debe tener un punto común único.
Teorema del punto de divergencia. y teorema de cobertura finita
Definición Supongamos que es un conjunto de puntos infinitos. Si en el punto (hay infinitos puntos en cualquier vecindad a los que puede no pertenecer), entonces el punto se llama punto de grupo <. /p>
Conjunto de números = tiene un punto de agrupación único, pero;
Intervalo abierto El conjunto de todos los puntos de reunión es un intervalo cerrado
Supongamos que el conjunto de todos; Los números racionales en Una secuencia acotada deben tener una subsecuencia convergente.
2. Principio del punto de reunión: Weierstrass Principio del punto de reunión
Todo conjunto de puntos infinitos acotados debe tener un punto de reunión.
p>
Equivalencia de los tres teoremas básicos de completitud de los números reales
Un método general para demostrar la equivalencia de varias proposiciones
Esta sección demuestra la. Ruta de equivalencia de los siete teoremas fundamentales de los números reales: La demostración se realiza según las siguientes tres rutas:
Ⅰ: Principio determinista, principio monótono acotado, teorema del conjunto de intervalos, criterio de convergencia de Cauchy
Principio definido;
Ⅱ: Teorema de anidamiento de intervalos, teorema de compacidad, criterio de convergencia de Cauchy;
Ⅲ: Teorema de anidamiento de intervalos, teorema de cobertura finita de Heine-Borel, teorema de anidamiento de intervalos.
1. Prueba de “Ⅰ”: (El "cierto principio ligado y el principio monótono acotado" han sido demostrados).
Utilice el "cierto principio ligado" para demostrar el " principio acotado monótono":
La secuencia acotada monótona de 2 debe converger.
2. Utilice el "principio acotado monótono" para demostrar el "teorema del conjunto de intervalos":
Supongamos que Th 3 es un conjunto de intervalos cerrados. Entonces hay un punto único, de modo que el par tiene
Corolario 1 Si es un punto *** común determinado por el conjunto de intervalos, entonces,
En ese momento, siempre existe
Corolario 2 Si está determinado por el intervalo establecido Si usamos el punto *** común, tenemos
>↗ , ↘ , .
3. Utilice el "Teorema del conjunto de intervalos" para demostrar el "Criterio de convergencia de Cauchy":
Th 4 La convergencia de la secuencia es una secuencia de Cauchy.
La secuencia del Lema Cauchy es una secuencia acotada (Prueba)
Prueba de Th 4: (Única prueba de suficiencia) Libro de texto P217-218 La prueba queda para lectura. se prueba con el método de tres partes iguales, que es relativamente intuitivo.
Utilice el "criterio de convergencia de Cauchy" para demostrar "cierto principio ligado":
Th 1 no es un conjunto. de números con un límite superior que no está vacío debe tener un límite superior; un conjunto de números que no está vacío y tiene un límite inferior debe tener un límite inferior
Prueba (solo prueba que "el conjunto. de números con un límite superior que no está vacío debe tener un supremo") establecido en no
Vacío tiene un conjunto de números acotado superior. Cuando es un conjunto finito, es obvio que hay un supremo. Suponiendo que el límite inferior es un conjunto infinito, tome el límite superior que no lo es y sea el límite superior de. el intervalo de partición, de modo que el límite superior que no lo sea, sea el límite superior. De acuerdo con esto, se obtiene una secuencia de intervalo cerrado. La verificación es una secuencia de Cauchy, converge. Es fácil de ver ↘. Supongamos que ↘ existe ↗
La siguiente prueba se verifica mediante el método de contradicción Límite superior y mínimo
Prueba de “Ⅱ”. >
Utilice el “Teorema del conjunto de intervalos” para demostrar el “Teorema de la compacidad”:
Th 5 ( Weierstrass ) Cualquier secuencia acotada debe tener una subsecuencia convergente
Demostración (destacando la extracción de subsecuencias). técnicas)
Th 6 Todo conjunto de puntos infinito acotado debe tener un punto de convergencia
2．. Utilice el "Teorema de compacidad" para demostrar el "Criterio de convergencia de Cauchy":
La convergencia de la secuencia Th 4 es una secuencia de Cauchy
Prueba (sólo suficiencia) Idea de prueba: La. La secuencia de Cauchy está acotada. Verificación de subsecuencia convergente El límite de la subsecuencia convergente es el límite de
Demostración de "Ⅲ":
Utilice el "Teorema del conjunto de intervalos" para demostrar "Heine–. Teorema de cobertura finita de Borel":
Utilice el "teorema de cobertura finita de Heine-Borel" para demostrar el "teorema del conjunto de intervalos":