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Descripción general de las matemáticas
Las matemáticas son la ciencia que estudia las relaciones cuantitativas y las formas espaciales en el mundo real. En pocas palabras, es la ciencia de los números y las formas. Debido a las necesidades de la vida y el trabajo, incluso los pueblos más primitivos saben contar de forma sencilla y han evolucionado desde contar con los dedos u objetos físicos hasta contar con números. En China, todavía en la dinastía Shang, ya había aparecido el método de utilizar dígitos decimales para representar números grandes; durante las dinastías Qin y Han, había aparecido un sistema decimal completo. En "Nueve capítulos sobre aritmética", escritos a más tardar en el siglo I d.C., se registran las reglas de cálculo de raíces cuadradas y cúbicas, que sólo son posibles con el sistema de valor posicional. También contiene varias operaciones con fracciones y la solución. de ecuaciones lineales simultáneas. El método de grupo también introduce el concepto de números negativos.
En su anotación de "Nueve capítulos de aritmética", Liu Hui también propuso usar decimales decimales para expresar la parte cero impar de la raíz cuadrada de números irracionales, pero no fue hasta las dinastías Tang y Song ( en Europa después de Steven en el siglo XVI) El sistema decimal es universal. En este trabajo, Liu Hui también utilizó la circunferencia de un polígono regular inscrito en un círculo para aproximar la circunferencia de un círculo, que se convirtió en un método general para calcular pi en generaciones posteriores.
Aunque China nunca ha tenido el concepto general de números irracionales o números reales, en esencia, China había completado todas las reglas y métodos de operación del sistema de números reales en ese momento, lo que no solo era indispensable en la aplicación. , pero también contribuyó al desarrollo de las matemáticas. La educación inicial es fundamental. En cuanto a las regiones europeas que heredaron las culturas de Babilonia, Egipto y Grecia, se centraron en el estudio de las propiedades de los números y las relaciones lógicas entre estas propiedades.
Ya en los "Elementos de Geometría" de Euclides, existía el concepto de números primos y las afirmaciones de que existe un número infinito de números primos y la descomposición única de los números enteros. Los antiguos griegos descubrieron que existen números no fraccionarios, que ahora se conocen como números irracionales. Desde el siglo XVI, los números complejos han vuelto a aparecer gracias a la resolución de ecuaciones de orden superior. En los tiempos modernos, el concepto de números se ha abstraído aún más y, basándose en las diferentes leyes de funcionamiento de los números, se han llevado a cabo discusiones teóricas independientes sobre los sistemas numéricos generales, formando varias ramas diferentes de las matemáticas.
La raíz cuadrada y la raíz cúbica son operaciones necesarias para resolver las ecuaciones de orden superior más simples. En "Nueve capítulos de aritmética", apareció la solución de una forma especial de ecuación cuadrática. Durante las dinastías Song y Yuan, se introdujo el concepto claro de "Tian Yuan" (es decir, números desconocidos), y se introdujeron métodos para encontrar soluciones numéricas a ecuaciones de orden superior y para encontrar soluciones a sistemas de ecuaciones algebraicas simultáneas de orden superior con hasta Surgieron cuatro incógnitas, comúnmente conocidas como Técnica Tian Yuan y Técnica Cuaternaria. Las expresiones, reglas de operación y métodos de eliminación de polinomios que aparecieron junto con él se acercan al álgebra moderna.
Fuera de China, el trabajo del árabe al-Qaramizi del siglo IX, que expuso la solución de ecuaciones cuadráticas y a menudo es considerado el creador del álgebra, es esencialmente el mismo que la antigua geometría china que se basaba en el arte de cortar. Los métodos tienen el mismo estilo. Las matemáticas chinas antiguas se dedican a la solución específica de ecuaciones, mientras que las matemáticas europeas, que se originaron en las antiguas tradiciones griegas y egipcias, se dedican generalmente a explorar las propiedades de las soluciones de ecuaciones.
En el siglo XVI, Veda reemplazó los coeficientes de las ecuaciones por palabras e introdujo el cálculo simbólico del álgebra. La discusión de las propiedades de las soluciones de ecuaciones algebraicas es el surgimiento de conceptos y teorías como determinantes, matrices, espacios lineales y transformaciones lineales derivadas de ecuaciones lineales, la introducción de conceptos como números complejos y funciones simétricas desde ecuaciones algebraicas hasta Galois; teoría y la creación de la teoría de grupos. La geometría algebraica, extremadamente activa en los tiempos modernos, no es más que el estudio teórico de conjuntos compuestos de soluciones de ecuaciones algebraicas simultáneas de alto orden.
El estudio de las formas pertenece a la categoría de geometría. Todos los pueblos antiguos tenían un concepto simple de las formas, que a menudo se representaban mediante imágenes. La razón por la que las formas se convirtieron en objetos matemáticos se debió a los requisitos para la producción y medición de herramientas. Las reglas se utilizan para hacer círculos. En la antigua China, Xia Yu ya tenía herramientas de medición como reglas, momentos, estándares y cuerdas cuando reflexionaba sobre el agua.
El Mo Jing proporciona generalizaciones abstractas y definiciones científicas para una serie de conceptos geométricos. "Zhou Bi Suan Jing" y "Haidao Suan Jing" de Liu Hui dan el método general y fórmulas específicas para observar el cielo y la tierra utilizando momentos. En "Nueve capítulos de aritmética" y "Nueve capítulos de aritmética" anotados por Liu Hui, además del teorema de Pitágoras, también se proponen varios principios generales para resolver diversos problemas.
Por ejemplo, el principio complementario de entrada y salida para encontrar el área de cualquier polígono; el principio de dos a uno (principio de Liu Hui) para encontrar el volumen de un poliedro propuesto por Zu (Riheng); encontrar el volumen de formas curvas, especialmente esferas, el principio de "los potenciales de potencia son los mismos pero los productos son indiferentes" del volumen y el método definitivo para aproximar la circunferencia de un círculo con un polígono regular inscrito (corte de círculo). Sin embargo, desde las Cinco Dinastías (alrededor del siglo X), China no ha logrado muchos logros en geometría.
La geometría china tiene como tarea central la medición y el cálculo del área y el volumen, mientras que la antigua tradición griega concede gran importancia a las propiedades de las formas y a las interrelaciones entre diversas propiedades. Los "Elementos de geometría" de Euclides establecieron un sistema deductivo que consta de definiciones, axiomas, teoremas y pruebas, y se convirtieron en un modelo para las matemáticas axiomáticas modernas, y su influencia se extendió a lo largo del desarrollo de las matemáticas. En particular, el estudio del axioma de las paralelas condujo al surgimiento de la geometría no euclidiana en el siglo XIX.
La geometría proyectiva ha surgido en Europa desde el Renacimiento a través del estudio de las relaciones de perspectiva en las pinturas. En el siglo XVIII, Monge aplicó métodos analíticos para estudiar formas, siendo pionero en la geometría diferencial. La teoría de la superficie de Gauss y la teoría múltiple de Riemann crearon un método de investigación que separaba el espacio circundante del espacio circundante y utilizaba la forma como un objeto independiente. En el siglo XIX, Klein unificó la geometría desde la perspectiva de los grupos; Además, la teoría de conjuntos de puntos de Cantor amplió el alcance de la forma; Poincaré fundó la topología, haciendo de la continuidad de la forma el objeto de la investigación geométrica. Estos hacen que la geometría parezca nueva.
En el mundo real, los números y las formas siguen la forma como una sombra y son inseparables. Las antiguas matemáticas chinas reflejan esta realidad objetiva. Los números y las formas siempre se han complementado y desarrollado en paralelo. Por ejemplo, la medición pitagórica plantea el requisito de la raíz cuadrada, y los métodos de la raíz cuadrada y la raíz cúbica se basan en la consideración de figuras geométricas. La generación de ecuaciones cuadráticas y cúbicas proviene principalmente de geometría y problemas prácticos. Durante las dinastías Song y Yuan, debido a la introducción del concepto de Tianyuan y el concepto de polinomios equivalentes, apareció la algebraización geométrica.
En la elaboración de catálogos de estrellas y mapas en astronomía y geografía se han utilizado números para representar ubicaciones, pero esto no se ha desarrollado hasta el punto de la geometría de coordenadas. En Europa, los inicios de la representación gráfica de la latitud, la longitud y las funciones ya se produjeron en las obras de Olsme en el siglo XIV. En el siglo XVII, Descartes propuso un método sistemático para expresar objetos geométricos utilizando el álgebra y su aplicación. Bajo su inspiración, a través del trabajo de Leibniz, Newton y otros, se desarrolló hasta convertirse en una forma moderna de geometría analítica de sistemas de coordenadas, que hizo más perfecta la unidad de números y formas, no solo cambió las demostraciones geométricas que solían seguir la antigua teoría euclidiana. El método de obtención de la geometría también dio lugar a derivadas y se convirtió en la raíz del cálculo. Este es un acontecimiento importante en la historia de las matemáticas.
En el siglo XVII, las exigencias de la ciencia y la tecnología impulsaron a los matemáticos a estudiar el movimiento y el cambio, incluidos los cambios en las cantidades y las transformaciones de formas (como las proyecciones), y también produjeron el concepto de funciones y el análisis infinitesimal. Es decir, el cálculo actual ha llevado a las matemáticas a una nueva era de estudio de variables.
Desde el siglo XVIII, aprovechando la oportunidad de la creación de dos poderosas herramientas, la geometría analítica y el cálculo, las matemáticas se han desarrollado rápidamente a una escala sin precedentes, apareciendo innumerables ramas. Dado que la mayoría de las leyes objetivas de la naturaleza se expresan en forma de ecuaciones diferenciales, el estudio de las ecuaciones diferenciales ha recibido gran atención desde el principio.
La geometría diferencial nació básicamente al mismo tiempo que el cálculo, y el trabajo de Gauss y Riemann dio origen a la geometría diferencial moderna. A principios del siglo XIX y XX, Poincaré fundó la topología y abrió una manera de realizar investigaciones cualitativas y holísticas sobre fenómenos continuos. El análisis de los fenómenos aleatorios en el mundo objetivo dio origen a la teoría de la probabilidad. Las necesidades militares de la Segunda Guerra Mundial y la complejidad de la gran industria y la gestión dieron lugar a disciplinas como la investigación de operaciones, la teoría de sistemas, la cibernética y la estadística matemática. Los problemas prácticos requirieron soluciones numéricas específicas, dando lugar a la matemática computacional. El requisito de elegir el camino óptimo ha dado lugar a diversas teorías y métodos de optimización.
El desarrollo de la mecánica, la física y las matemáticas siempre se han influenciado y promovido mutuamente. En particular, la teoría de la relatividad y la mecánica cuántica han promovido el crecimiento de la geometría diferencial y el análisis funcional. Además, la química, que sólo utilizó ecuaciones lineales en el siglo XIX, y la biología, que casi no tiene nada que ver con las matemáticas, tienen que utilizar algunos de los conocimientos matemáticos más avanzados.
A finales del siglo XIX, la teoría de conjuntos surgió y entró en una era crítica, que impulsó la formación y desarrollo de la lógica matemática y dio lugar a diversos enfoques que consideran las matemáticas como un todo. Escuelas de pensamiento y fundamentos matemáticos. . Especialmente en 1900, el matemático alemán Hilbert pronunció un discurso sobre cuestiones importantes de las matemáticas contemporáneas en el Segundo Congreso Internacional de Matemáticos, y en la década de 1930, la escuela francesa Bourbaki fue pionera en el uso de conceptos estructurales para unificar las matemáticas. ha tenido un impacto enorme y de gran alcance en el desarrollo de las matemáticas en el siglo XX, y el término "matematización de la ciencia" ha comenzado a ser popular entre la gente.
La periferia de las matemáticas continúa penetrando y expandiéndose hacia las ciencias naturales, la tecnología de la ingeniería e incluso las ciencias sociales, y absorbe nutrientes de ellas, lo que resulta en el surgimiento de algunas matemáticas marginales. Las necesidades internas de las propias matemáticas también han dado lugar a muchas teorías y ramas nuevas. Al mismo tiempo, sus partes centrales se consolidan y mejoran constantemente y, en ocasiones, se ajustan adecuadamente para satisfacer las necesidades externas. En resumen, el gran árbol de las matemáticas está creciendo vigorosamente, con ramas frondosas y raíces profundas.
Durante el vigoroso desarrollo de las matemáticas, los conceptos de números y formas han seguido expandiéndose y volviéndose cada vez más abstractos, de modo que ya no queda ningún rastro de conteo primitivo y gráficos simples. Aun así, todavía existen algunos objetos y relaciones operativas en nuevas ramas de las matemáticas que se expresan con la ayuda de términos geométricos. Por ejemplo, piense en una función como un punto en algún tipo de espacio. La razón por la que este enfoque es eficaz es que los matemáticos ya están familiarizados con operaciones matemáticas simples y relaciones gráficas, y estas últimas tienen una base profunda y a largo plazo en la realidad. Además, incluso los números más primitivos, como 1, 2, 3 y 4, así como imágenes geométricas como puntos y líneas rectas, ya son conceptos muy abstractos. Por lo tanto, si los números y las formas se entienden como conceptos abstractos amplios, la definición antes mencionada de matemáticas como la ciencia del estudio de números y formas también es aplicable a las matemáticas modernas en esta etapa.
Dado que las relaciones cuantitativas y las formas espaciales de los objetos de investigación matemática provienen del mundo real, las matemáticas, aunque tienen una forma muy abstracta, siempre están arraigadas en el mundo real en esencia. La práctica de la vida y las necesidades técnicas siempre han sido la verdadera fuente de las matemáticas. A su vez, las matemáticas juegan un papel importante y crítico en la práctica de transformar el mundo. El enriquecimiento y mejora de la teoría y su aplicación extensiva y profunda siempre han ido de la mano y se han promovido mutuamente en la historia de las matemáticas.
Sin embargo, debido a las diferentes condiciones objetivas de los diversos grupos étnicos y regiones, el proceso de desarrollo específico de las matemáticas es diferente. En términos generales, la antigua nación china utilizaba el bambú como base para los cálculos, lo que naturalmente condujo al surgimiento del sistema de valores decimales. La superioridad de los métodos de cálculo ayuda a resolver problemas prácticos de forma concreta. Las matemáticas desarrolladas a partir de ello han formado un sistema único caracterizado por la construcción, el cálculo, la programación y la mecanización, con el objetivo principal de partir de problemas para luego resolverlos. En la antigua Grecia, el énfasis estaba en el pensamiento y la búsqueda de la comprensión del universo. A partir de esto, se desarrolló un sistema de deducción axiomática que toma conceptos y propiedades matemáticos abstractos y su dependencia lógica mutua como objeto de investigación.
Tras alcanzar su apogeo en las dinastías Song y Yuan, el sistema matemático de China comenzó a estancarse y casi desapareció. En Europa, una serie de cambios como el Renacimiento, la revolución religiosa y la revolución burguesa condujeron a la revolución industrial y la revolución tecnológica. El uso de máquinas tiene una larga historia tanto en el país como en el extranjero. Pero en China fue suprimida porque el emperador de principios de la dinastía Ming la denunció como una habilidad extraña.
En Europa, se desarrolló debido al desarrollo de la industria y el comercio y al estímulo de la navegación. Las máquinas liberaron a las personas del trabajo físico pesado y llevaron a la investigación científica de la mecánica teórica y del movimiento y cambio general. Los matemáticos de aquella época participaron activamente en estos cambios y en la solución de los correspondientes problemas matemáticos, lo que produjo resultados positivos. El nacimiento de la geometría analítica y el cálculo supuso un punto de inflexión en el desarrollo de las matemáticas. Los avances en matemáticas desde el siglo XVII generalmente pueden verse como la continuación y el desarrollo de estos logros.
En el siglo XX surgieron diversas nuevas tecnologías y se produjo una nueva revolución tecnológica, especialmente la aparición de los ordenadores electrónicos, que llevaron las matemáticas a una nueva era. Una de las características de esta época es la paulatina mecanización de algunos trabajos mentales.
A diferencia de las matemáticas, que han estado dominadas por ideas y métodos centrados en conceptos como continuidad y límites desde el siglo XVII, las matemáticas discretas y las matemáticas combinatorias comenzaron a recibir atención debido a las necesidades del desarrollo y las aplicaciones informáticas.
El papel de los ordenadores en matemáticas ya no se limita a los cálculos numéricos, sino que también comienza a implicar operaciones más simbólicas (incluidas investigaciones matemáticas como las pruebas mecánicas). Para cooperar mejor con las computadoras, las matemáticas también tienen requisitos importantes en materia de construcción, cálculo, programación y mecanización.
Por ejemplo, la geometría algebraica es una matemática muy abstracta, y la reciente aparición de la geometría algebraica computacional y la geometría algebraica constructiva es una de sus pistas. En definitiva, las matemáticas están en constante evolución con la nueva revolución tecnológica