¿Qué incluye la teoría de números?
La teoría de números incluye los siguientes contenidos:
Incluyendo: teoría elemental de números, teoría analítica de números, teoría algebraica de números, teoría geométrica de números, teoría computacional de números, teoría trascendental de números, teoría combinatoria de números , geometría algebraica aritmética.
1. Teoría elemental de números
La teoría elemental de números estudia principalmente la teoría de la divisibilidad y la teoría de la congruencia de anillos enteros. Además también cubre la teoría de fracciones continuas y algunos problemas con ecuaciones indefinidas. En esencia, los métodos de investigación de la teoría elemental de números se limitan a las propiedades de divisibilidad.
Las conclusiones clásicas de la teoría elemental de números incluyen el teorema fundamental de la aritmética, la prueba de Euclides de los números primos infinitos, el teorema chino del resto, el teorema de Euler (un caso especial del cual es el pequeño teorema de Fermat) y la reciprocidad cuadrática de Gauss. Ley, el teorema de altura del cociente de la ecuación de Pitágoras, el método de solución de fracción continua de la ecuación de Pell, etc.
2. Teoría analítica de números
Usar cálculo y análisis complejos (es decir, funciones complejas) para estudiar problemas sobre números enteros, que se pueden dividir en teoría de números multiplicativa y teoría de números aditiva. La teoría de números multiplicativos explora el problema de la distribución de números primos estudiando las propiedades de las funciones generadoras de productos. Entre ellos, el teorema de los números primos y el teorema de Dirichlet son los resultados clásicos más famosos en este campo. La teoría aditiva de números estudia la posibilidad y representación de la descomposición aditiva de números enteros. El problema de Waring es el tema más famoso en este campo.
La creación de la teoría analítica de números debe atribuirse a Riemann. Descubrió que existe una conexión profunda entre las propiedades analíticas de la función zeta de Riemann y la distribución de números primos en la teoría de números. Para ser precisos, la distribución de puntos cero no triviales de la función zeta de Riemann determina muchas propiedades de los números primos. Riemann supuso que todos esos puntos cero caen en la línea recta con la parte real 1/2 en el plano complejo. Ésta es la famosa Hipótesis de Riemann, uno de los problemas del Premio del Milenio. Vale la pena señalar que Euler en realidad utilizó métodos analíticos al abordar el problema de los números primos infinitos.
Además del método del círculo, el método del tamiz, etc., los métodos analíticos de la teoría de números también incluyen la teoría de formas modulares relacionada con curvas elípticas, etc. Posteriormente se desarrolló la teoría de las formas automórficas, que se relacionó con la teoría de la representación.
3. Teoría algebraica de números
La teoría algebraica de números extiende el estudio de las propiedades teóricas numéricas de los anillos enteros a anillos enteros más generales, especialmente el campo de los números algebraicos. Un tema importante es el estudio de los números enteros algebraicos, con el objetivo de resolver el problema de resolver ecuaciones indefinidas de manera más general. Una de las principales motivaciones históricas provino de la búsqueda de una demostración del último teorema de Fermat.
La teoría algebraica de números se inclina más a estudiar las propiedades de varios tipos de anillos integrales desde la perspectiva de la estructura algebraica, como si existe un teorema fundamental de la aritmética en un anillo integral dado, etc.
Este campo está especialmente relacionado con la geometría algebraica, y de hecho forma parte de la teoría del álgebra conmutativa. También incluye otros contenidos profundos, como teoría de la representación, teoría p-ádica, etc.
4. Teoría geométrica de números
Se centra principalmente en estudiar la distribución de los números enteros (aquí, puntos de la cuadrícula, también llamados números enteros) desde un punto de vista geométrico. El teorema más famoso es el teorema de Minkowski. Esta teoría también fue creada por Minkowski. Desempeña un papel importante en el estudio de la teoría cuadrática.
5. Teoría computacional de números
Utilice algoritmos informáticos para ayudar a estudiar cuestiones de teoría de números, como las pruebas y factorización de números primos y otros temas estrechamente relacionados con la criptografía.