Derivación de la ley magnética de Gauss, ¿cómo niega la existencia del monopolo magnético?

Las ecuaciones de Maxwell describen la interacción de la electricidad y el magnetismo de una forma bastante elegante y matemáticamente compacta. Entre estas ecuaciones, la ley magnética de Gauss es extremadamente importante para comprender la interacción entre las ondas electromagnéticas y los medios conductores. Sin embargo, esta ley suele escribirse de forma sencilla:

Niega la existencia de monopolos magnéticos en la naturaleza. Cuando se trata de cargas, generalmente podemos pensar en ellas como positivas o negativas. En este sentido, cuando sumamos todas las cargas de un espacio siempre obtenemos una carga neta o cero (carga neutra). Este no es el caso del magnetismo. Un imán siempre tiene dos polos, un polo norte y un polo sur. Incluso si cortas una barra magnética por la mitad: no obtendrás dos "monopolos". En su lugar, obtienes dos barras magnéticas más pequeñas, cada una con sus propios polos norte y sur. Por lo tanto, cuando intentas medir el flujo magnético neto a través de cualquier superficie, siempre obtienes cero: esto significa que no puede haber un monopolo magnético, de lo contrario el flujo magnético sería distinto de cero.

A pesar de la importancia de esta pequeña ecuación, los estudiantes de física e ingeniería a menudo no saben cómo se forma esta ecuación, ni cómo se implementa matemáticamente. En este artículo, te guiaré por los pasos que condujeron a este increíble resultado.

Para comenzar a discutir cómo derivar la ecuación (1), primero debemos comprender cómo se forman los campos magnéticos. Comience con una pequeña observación empírica de hace siglos: todos los campos magnéticos son el resultado de cargas eléctricas en movimiento. En este sentido, cada átomo de un objeto tiene su propio campo magnético, provocado por el movimiento de los electrones alrededor de su núcleo, pero cuya dirección cambia muy rápidamente con el tiempo.

Para explicar completamente los fenómenos magnéticos en los materiales, necesitamos estudiar la mecánica estadística (que está más allá del alcance de este artículo). Ahora nos centraremos en los campos magnéticos a escala macroscópica. Comencemos con una observación básica: cualquier corriente I = dq/dt se produce por el movimiento de electrones a lo largo de un material conductor. Si tomamos un cable de ancho insignificante y formamos un bucle en el espacio de manera arbitraria alrededor de un punto de referencia central (por ejemplo, el origen), entonces la corriente I siempre fluirá en una dirección: la dirección tangencial del propio cable. Luego, definamos un elemento de alambre infinitesimal dl con una dirección tangente en cada punto. Según la evidencia experimental, una corriente eléctrica en movimiento produce un campo magnético perpendicular a su dirección de movimiento (de ahí lo que se llama la regla de la mano derecha). Teniendo en cuenta este hecho, y la fórmula empírica para la intensidad del campo magnético causado por una corriente eléctrica, I:

donde r es la distancia desde la fuente de la corriente eléctrica (un cable). Ahora establecemos un campo magnético total considerando la contribución de cada elemento del alambre dl. Para ello, consideramos la dirección del campo magnético en cada punto, que viene dada por el producto cruzado entre la componente tangencial del alambre y el vector de posición.

donde

es el vector unitario que apunta a lo largo de r-r'. Aquí, r es el vector de desplazamiento relativo al sistema de coordenadas, y r' es la posición del elemento infinitesimal d l en cada punto del cable. Finalmente, juntando todas estas expresiones, obtenemos:

Ahora, integrar ambos lados de esta ecuación en toda la longitud del cable nos da una expresión para el campo magnético:

Esto es A menudo se le llama ley de Biot-Savart. Este será nuestro punto de partida para derivar la ley magnética de Gauss.

Ahora que hemos introducido una de las principales expresiones para el campo magnético como función de la posición en el espacio, podemos considerar qué sucede con la divergencia del campo en cada punto del espacio.

Primero, definiremos varias propiedades muy importantes del cálculo vectorial, a saber:

Esto nos permite escribir:

Además, derivamos la siguiente expresión:

p>

Además, aprovechando la identidad escalar del triple producto:

Obtenemos el resultado:

Llegados a este punto, podemos considerar los siguientes hechos:

y =0, debido a que estamos tomando el producto cruzado de un vector por sí mismo, concluimos:

Por otro lado, encontramos que se cumple la siguiente relación

Mediante algunos cálculos básicos, podemos encontrar fácilmente que los dos resultados siguientes son verdaderos

Finalmente, simplificando todos estos términos, podemos obtener el resultado de la divergencia del campo magnético:

Conocido como Gauss Ley de campos magnéticos. No es obvio lo que esto significa, pero aplicando el teorema de la divergencia

podemos ver que el flujo magnético total a través de una superficie arbitraria debe ser exactamente cero. De esto inferimos que no debe haber monopolo magnético, ya que, en primer lugar, no hay flujo magnético que medir. En cambio, sólo podemos medir el flujo magnético alrededor de un único dipolo magnético, que siempre es cero debido a los polos opuestos.