Como se muestra en la imagen, es la marca de diamantes diseñada por Xiaohong. El triángulo ABC es un triángulo equilátero con una longitud de lado 2, el cuadrilátero ABDE es un trapezoide isósceles, AC es paralelo a ED, ángulo EAC.

∴ab=bc∠BAC =∠BCA = 60. (1)

∫ El cuadrilátero ACDE es un trapezoide isósceles, ∠ EAC = 60,

∴AE=CD, ∠ACD=∠CAE=60,

∴∠BAC+∠CAE=120 =∠BCA+∠ACD,

Es decir, ∠ BAE = ∠ BCD. (2 puntos)

En △ABE y △BCD, AB=BC, ∠BAE=∠BCD, AE=CD,

∴△ABE≔△CBD. (3 puntos)

(2) Existe. La respuesta no es única. Por ejemplo, △ ABN ∽△ CDN.

Prueba: ∫∠Ban = 60 =∠DCN, ∠ANB=∠DNC,

∴△ ANB ∽△ CND. (5 puntos)

La relación de similitud es: abdc = 21 = 2; (6 puntos)

(3) ANCN= ABCD=2 de (2),

∴CN= 12AN= 13AC, (8 puntos)

De manera similar, AM= 13AC,

∴ am = Mn = NC. (9 puntos)

(4) Sea la línea de extensión de DF⊥BC a BC en f,

∫∠BCD = 120,

∴∠ FCD = 60. (1o)

En Rt△CDF, ∴∠ CDF = 30,

∴CF= 12CD= 12,

∴df= Cd2-cf2 = 12 -(12)2 = 32; (11)

En Rt△BDF, ∫BF = BC+CF = 2+12 = 52, DF= 32

∴ BD = BF2 +DF2 = (52) 2+(32) 2 = 7. (12 puntos)