¿Cómo demostrar que la fórmula de la norma 1 de una matriz es: ║ a ║ 1 = max {∑| AI1|, ∑| AI2|,..., ∑| ain|}?

1. Primero, necesitamos definir la norma 1 de la matriz. Para una matriz A con n filas y m columnas, su norma 1 se define como el valor máximo de la suma de los valores absolutos de cada elemento de todos los vectores columna, es decir:

║A║ 1 = max{ ∑|aij | }, j=1, 2,..., m

2 A continuación debemos demostrar que la fórmula anterior es igual a Max {∑| | AI2 |,..., ∑| ain |}. Para cada vector de columna Ai, podemos expandirlo a un vector de columna de n dimensiones a = [a1, a2,..., an] T, donde ai representa el I-ésimo elemento del vector Ai.

3. Debido a que los vectores columna de una matriz son linealmente independientes de las columnas, podemos representar cada vector columna como la suma de otros vectores columna mediante combinación lineal. Por ejemplo, para el primer vector de columna A1, tenemos:

a 1 = a 1e 1+a2e 2+...+ aning,

donde e1, e2, .. ., en representa el vector unitario de la enésima dimensión.

4. Según la desigualdad absoluta, podemos obtener:

|ai1| + |ai2| ..+ |an|

5. De esto, podemos obtener:

∑| = max {∑| | ai2 |+...+ ∑|ain|,

j=1, 2,..., m

6 Por otro lado, para cada vector columna Ai. , también tenemos:

∑|aij| ≤ ║A║1,

j=1, 2,..., m

Es decir , la norma 1 de la matriz El número es el límite superior de la suma de los valores absolutos de todos los vectores de columna.

7. Por tanto, sacamos la siguiente conclusión:

max{ ∑|ai1|, ∑|ai2|,…, ∑| ain | | ai 1 |+∑| ai2 |+...+ ∑|ain|,

j=1, 2,..., m

8. Conclusión, podemos demostrar que la fórmula de la norma 1 de la matriz es ║ a ║ 1 = max {∑| AI1 |, ∑| AI2 |, ..., ∑|