Solución de la ecuación de desigualdad en valor absoluto

(1) Método de segmentación de punto cero, transformado en múltiples desigualdades (grupos)

El método de segmentación de punto cero es el método más básico y debe dominarse en comparación con otros métodos. , es más Es fácil de entender, categorizar y discutir, y el proceso es claro y no es fácil cometer errores. ¡Este método también se recomienda para los exámenes! Por ejemplo

Resuelve la desigualdad |2x-1|-|x-3|>5

El primer paso es encontrar los ceros de todas las expresiones

De 2x -1=0 y x-3=0 obtenemos cero puntos: x=0,5 y x=3.

El segundo paso es marcar todos los puntos cero obtenidos en el eje numérico y dividir el eje numérico en segmentos

Después de encontrar el punto cero, dividirlo en x<0.5, 0.5 ≤x≤3, x>3 Estos tres intervalos

El tercer paso es eliminar el signo del valor absoluto en cada intervalo

Convertir en los siguientes tres grupos de desigualdad

①x<0.5 Cuando, 1-2x-(3-x)>5, la solución es x<-7

② Cuando 0.5≤x≤3, 2x-1-(3-x) >5, sin solución

③Cuando x>3, 2x-1-(x-3)>5, la solución es x>3

En resumen, la respuesta es x >3 o x<-7.

A continuación se muestran algunos otros métodos que se pueden aplicar de manera flexible según el tipo de pregunta.

(2) Basado en el concepto y propiedades del valor absoluto

Resolver la desigualdad |2x-1|>2x-1

Basado en el concepto y propiedades de valor absoluto, Se puede ver que

|a|≥a, cuando a≥0 |a|=a, cuando a<0, |a|>a, y lo contrario también es cierto .

Entonces 2x-1<0, x<1/2.

Resolver la desigualdad |x-1|>2x+7

Según el concepto y propiedades del valor absoluto, se puede observar que

|x |≤a se puede convertir en -a ≤x≤a

|x|≥a se convierte en x≥a o x≤-a (tenga en cuenta que es o)

Generalmente a> 0, pero de hecho a es un número real. Cuando las dos propiedades anteriores aún están establecidas, no es necesario discutir el positivo o negativo de a. Usando estas dos propiedades, puede eliminar rápidamente el signo de valor absoluto y evitarlo. discusiones complicadas.

x-1>2x+7, x<-8

o x-1<-2x-7, x<-2

Una combinación de ambos En este caso, el conjunto solución es x<-2.

Resolver la desigualdad |x+1|<2x-4

Según la no negatividad de los valores absolutos, se puede observar que |a|≥0

Entonces 2x-4 >0, es decir, x>2. Bajo esta condición, x+1>0, puedes eliminar directamente el signo de valor absoluto, x+1<2x-4, y la solución es x>. 5. Tomando el más grande, el conjunto solución es x>5.

(3) Significado geométrico del valor absoluto, valor absoluto máximo

Referencia (el punto con la distancia mínima a todos los puntos en la línea recta, la suma mínima de valores absolutos)

|x-1|+|x-2|<5

Según el significado geométrico del valor absoluto, se puede ver que |x-1| a 1, y |x-2| representa x distancia a 2. Según la recta numérica, es fácil saber -1

(4) Eleva ambos lados

|x+1|<|x-2|

Si ambos lados no son negativos, puedes elevar el cuadrado directamente ambos lados para eliminarlos Valor absoluto, pero x veces puede convertirse en 2 veces. Simplemente entiéndalo en esta etapa.

Al elevar al cuadrado ambos lados se obtiene |x+1|?<|x-2|?

x?+2x+1

La solución es x<1/2.