¿Qué inventó Newton?
La geometría analítica de Descartes mapea las relaciones funcionales que describen el movimiento en curvas geométricas. Bajo la dirección de su maestro Barrow, Newton encontró una nueva salida basada en el estudio de la geometría analítica de Descartes. La velocidad en cualquier momento puede considerarse como la velocidad promedio dentro de un rango de tiempo pequeño, que es la relación entre una distancia pequeña y un intervalo de tiempo. Cuando este pequeño intervalo de tiempo se reduce al infinito, es el valor exacto de este punto. Este es el concepto de diferenciación.
La derivación equivale a encontrar la pendiente tangente de la relación entre el tiempo y la distancia en un punto determinado. La distancia recorrida por un objeto en movimiento de velocidad variable dentro de un cierto rango de tiempo puede considerarse como la suma de la distancia recorrida dentro de un pequeño intervalo de tiempo. Este es el concepto de integración. La integración equivale a encontrar el área bajo la curva de tiempo versus velocidad. Newton construyó el cálculo a partir de estos conceptos básicos.
El establecimiento del cálculo es el logro matemático más destacado de Newton. Newton creó esta teoría matemática que está directamente relacionada con conceptos físicos para resolver el problema del movimiento. Newton lo llamó "conteo de flujo". Algunos de los problemas específicos que maneja, como problemas de tangentes, problemas de cuadratura, problemas de velocidad instantánea y problemas de funciones máximas y mínimas, se han estudiado antes que Newton. Pero Newton superó a sus predecesores. Sintetizó las conclusiones dispersas del pasado desde una perspectiva superior, unificó varias técnicas para resolver problemas infinitesimales desde la antigua Grecia en dos algoritmos comunes: diferencial e integral, y estableció la relación recíproca entre estas dos operaciones, completando así el paso más crítico. en la invención del cálculo, proporcionó la herramienta más eficaz para el desarrollo de la ciencia moderna y abrió una nueva era de las matemáticas.
Newton no publicó a tiempo los resultados de su investigación sobre cálculo. Es posible que haya estudiado cálculo antes que Leibniz, pero la expresión utilizada por Leibniz era más razonable y sus trabajos sobre cálculo se publicaron antes que Newton.
La disputa entre Newton y Leibniz sobre quién fue el fundador de este tema realmente causó revuelo. Esta disputa duró mucho tiempo entre sus respectivos estudiantes, partidarios y matemáticos, lo que resultó en un antagonismo a largo plazo entre los matemáticos de Europa continental y los matemáticos británicos. Las matemáticas británicas estuvieron cerradas al país durante un período de tiempo, limitadas por prejuicios nacionales y se adhirieron demasiado rígidamente al "conteo de flujo" de Newton, por lo que el desarrollo de las matemáticas se quedó atrás durante cien años completos.
Cabe decir que el establecimiento de una ciencia no es de ninguna manera el logro de una sola persona. Debe ser completado por una o varias personas después del esfuerzo de muchas personas y la acumulación de muchos resultados. Lo mismo ocurre con el cálculo, que fue establecido independientemente por Newton y Leibniz sobre la base de sus predecesores.
En 1707, las notas de las clases de álgebra de Newton fueron compiladas y publicadas como "Aritmética general". Discutió principalmente los conceptos básicos del álgebra y su aplicación en la resolución de diversos problemas. Este libro establece los conceptos y operaciones básicos del álgebra, utiliza una gran cantidad de ejemplos para ilustrar cómo convertir varios problemas en ecuaciones algebraicas y analiza en profundidad las raíces y propiedades de las ecuaciones, logrando así resultados fructíferos en la teoría de ecuaciones, tales como: Se obtiene la relación entre las raíces de la ecuación y su discriminante, y se señala que la suma de potencias de las raíces de la ecuación se puede determinar utilizando los coeficientes de la ecuación, es decir, la fórmula de suma de potencias de Newton.
Newton contribuyó tanto a la geometría analítica como a la geometría sintética. En "Geometría analítica" publicada en 1736, introdujo el centro de curvatura, dio el concepto de círculo cerrado (o círculo curvo) y propuso la fórmula de curvatura y el método de cálculo de la curvatura de las curvas. Resumió muchos de los resultados de su investigación en una monografía "Conteo de curvas cúbicas", publicada en 1704. Además, su trabajo matemático involucra análisis numérico, teoría de probabilidades, teoría elemental de números y otros campos.
En 1665, Newton, con sólo 22 años, descubrió el teorema del binomio, que supuso un paso indispensable para el desarrollo integral del cálculo. El teorema del binomio establece que la energía se descubre mediante cálculo directo.
El resultado simple se generaliza a la siguiente forma.
Formulario de promoción
La expansión de series binomiales es una poderosa herramienta para estudiar teoría de series, teoría de funciones, análisis matemático y teoría de ecuaciones. Hoy encontraremos que este método sólo es aplicable cuando n es un número entero positivo. Cuando n es un número entero positivo de 1, 2, 3,..., la serie termina exactamente en n+1.
Si n no es un número entero positivo, la secuencia no terminará y este método no se aplica. Pero debes saber que Leibniz no introdujo la palabra función hasta 1694. En las primeras etapas del cálculo, lo más eficaz es tratar las funciones trascendentales a su nivel.
Creación del cálculo
El logro más destacado de Newton en matemáticas fue la creación del cálculo. Su logro más destacado fue unificar varias técnicas especiales para resolver problemas infinitesimales desde la antigua Grecia en dos algoritmos generales: diferencial e integral, y establecer la relación recíproca entre estas dos operaciones. Por ejemplo, el cálculo del área puede considerarse como el proceso inverso de encontrar líneas tangentes.
En aquel momento, Leibniz acababa de presentar un informe de investigación sobre el cálculo, lo que desencadenó una polémica sobre los derechos de patente de la invención del cálculo hasta la muerte de Leibniz. Las generaciones posteriores han determinado que el producto diferencial fue inventado por ellas al mismo tiempo.
En cuanto al método de cálculo, la aportación importantísima de Newton es que no sólo lo vio claramente, sino que también utilizó con audacia la metodología proporcionada por el álgebra, que es muy superior a la geometría. Reemplazó los métodos geométricos de Cavalieri, Gregory, Huygens y Barrow por métodos algebraicos y completó la algebraización de integrales. Desde entonces, las matemáticas han pasado gradualmente de ser un tema de sentimiento a un tema de pensamiento.
En los inicios del cálculo, debido a que no se establecía una base teórica sólida, era estudiado por algunas personas a las que les gustaba pensar. Esto condujo a lo que se conoció como la Segunda Crisis Matemática. Este problema no se resolvió hasta el establecimiento de la teoría del límite en el siglo XIX.
Teoría de ecuaciones y método de variaciones
Newton también hizo contribuciones clásicas al álgebra, y su aritmética generalizada contribuyó en gran medida a la teoría de ecuaciones. Descubrió que las raíces imaginarias de polinomios reales deben aparecer en pares y descubrió la regla del límite superior para las raíces polinomiales. Expresó la fórmula para la suma de las raíces de un polinomio utilizando los coeficientes del polinomio y dio una extensión de la regla de los signos de Descartes que limita el número de raíces imaginarias de un polinomio real.
Newton también ideó métodos para encontrar logaritmos de aproximaciones a las raíces reales de ecuaciones numéricas y ecuaciones trascendentales. Una modificación de este método se conoce ahora como método de Newton.
Newton también hizo importantes descubrimientos en el campo de la mecánica, que es la ciencia que explica el movimiento de los objetos. La primera ley del movimiento fue descubierta por Galileo Galilei. Esta ley establece que si un objeto está en reposo o se mueve en línea recta a una velocidad uniforme, permanecerá en reposo o continuará moviéndose en línea recta a una velocidad uniforme mientras no exista una fuerza externa. Esta ley también se llama ley de inercia, que describe una propiedad de la fuerza: la fuerza puede hacer que un objeto se mueva del reposo al movimiento, del movimiento al reposo, o puede hacer que un objeto cambie de una forma de movimiento a otra. Esto se llama primera ley de Newton. La cuestión más importante en mecánica es cómo se mueven los objetos en circunstancias similares. La segunda ley de Newton resuelve este problema; esta ley se considera la ley fundamental más importante de la física clásica. La segunda ley de Newton describe cuantitativamente cómo la fuerza puede cambiar el movimiento de un objeto. Representa la tasa de cambio de velocidad en el tiempo (es decir, la aceleración A es directamente proporcional a la fuerza F, pero inversamente proporcional a la masa del objeto, es decir, a=F/m o F = Ma. Cuanto mayor es la fuerza, mayor mayor es la aceleración; cuanto mayor es la masa, menor es la aceleración. La fuerza y la aceleración tienen magnitud y dirección. La aceleración es causada por una fuerza, y la dirección es la misma que la fuerza si hay varias fuerzas que actúan sobre un objeto. la fuerza resultante producirá aceleración. La segunda ley es la más importante y la base de todas las ecuaciones se puede derivar de ellas mediante el cálculo.
Además, Newton formuló su tercera ley basándose en estas dos. leyes La tercera ley de Newton establece que la interacción entre dos objetos es siempre igual en magnitud. La dirección es opuesta. Esta ley es más fácil de entender para dos objetos en contacto directo. el soporte hacia arriba de la mesa. La fuerza es igual a la fuerza de reacción. Lo mismo ocurre con el avión en vuelo. La fuerza que tira de la Tierra es numéricamente igual a la fuerza que tira de la Tierra hacia abajo. ampliamente utilizado en ciencia y dinámica.
Las leyes del movimiento de Newton son Ai. El término general para las tres leyes del movimiento en física propuestas por Isaac Newton, que se considera la base de la física clásica.
Primera ley de Newton (ley de inercia): Todos los objetos se mueven en la misma dirección sin ninguna fuerza externa. Mantienen un movimiento lineal uniforme o descansan hasta que una fuerza externa los obliga a cambiar este estado; aclara la relación entre fuerza y movimiento. y propone el concepto de inercia), "segunda ley de Newton (la aceleración de un objeto y la acción sobre el objeto). La fuerza resultante F es directamente proporcional a la masa del objeto, y la dirección de la aceleración es la misma que la dirección de la fuerza resultante.
Fórmula: F=kma (cuando la unidad de m es kg y la unidad de a es m/s2, k=1) Tercera ley de Newton (la fuerza de acción y la fuerza de reacción entre dos objetos en la misma línea recta son iguales en magnitud y dirección opuesta) ). )"
Método de Newton
El método de Newton, también conocido como método de Newton-Raphson, es un método propuesto por Newton en el siglo XVII para resolver aproximadamente sistemas de ecuaciones en el mundo real y campos complejos. Grande Algunas ecuaciones no tienen fórmulas de raíz, por lo que es difícil o incluso imposible encontrar raíces precisas. Por lo tanto, es particularmente importante encontrar las raíces aproximadas de la ecuación. de la función f(x) para encontrar la ecuación f(. La raíz de x) = 0. El método de iteración de Newton es uno de los métodos importantes para encontrar las raíces de ecuaciones. Su mayor ventaja es que tiene una convergencia cuadrada cercana al único. raíz de la ecuación f(x) = 0, y también se puede usar para encontrar la suma de múltiples raíces de la ecuación. Además, este método se usa ampliamente en programación de computadoras. (x) = 0, seleccione x0 como aproximación inicial de r y haga que la tangente L de la curva y = f(x) pase por el punto (x0, f(x0)). = f(x0)+f'(x0)(x-x0). Encuentre la abscisa de la intersección de L y el eje X como la recta tangente de y = f(x), la abscisa del punto de intersección. de la recta tangente y el eje x es x2 = x 1-f(x 1)/f '(x 1), que se llama x2. Repita el proceso anterior para obtener la secuencia aproximada de R, donde x(n+). 1) = x(n)-f(x(n))/f'(x(n)), que se denomina aproximación n+1 de R. La fórmula anterior se denomina fórmula de iteración de Newton para resolver ecuaciones no lineales. El método para f(x)=0 es un método de aproximación para linealizar ecuaciones no lineales. Expanda f(x) en la serie de Taylor f(x)= f(x0)+(x-x0)f '( x0)+(x-. x0)2 * f ' '(x0)/2! +... Tome la parte lineal como la ecuación aproximada de la ecuación no lineal f(x) = 0, es decir, los dos primeros términos de la expansión de Taylor, entonces F ( x0)+F' (x0) (x-x0) = F (x) = 0 Supongamos f'(x0)≠0, la solución es X1 = x0
Contribución óptica
El telescopio de Newton
Antes de que Newton, Mozi, Bacon, Leonardo da Vinci y otros estudiaran los fenómenos ópticos, la ley de la reflexión era una de las leyes ópticas que la gente conocía desde hacía mucho tiempo cuando comenzó el descubrimiento de la ciencia moderna. el "nuevo universo" a través del telescopio conmocionó al mundo El matemático holandés Sneer descubrió por primera vez la ley de refracción de la luz...
Newton y sus contemporáneos, como Hooke y Huygens, como Galileo y Descartes. Estudió óptica con gran interés y entusiasmo En 1666, Newton consiguió un prisma cuando estaba de vacaciones en su casa y lo utilizó para realizar el famoso experimento de dispersión. Después de que un rayo de luz solar pasa a través de un prisma, se descompone en varios. Newton utilizó un deflector de hendiduras para bloquear los otros colores de luz y solo permitió que un color de luz pasara a través del segundo prisma. Como resultado, descubrió que solo había luz del mismo color. que la luz blanca está compuesta de diferentes colores de luz, que fue la primera gran contribución.
Para verificar este descubrimiento, Newton intentó combinar varias luces monocromáticas diferentes en luz blanca y calculó el índice de refracción de la luz. de diferentes colores, explicando con precisión el fenómeno de dispersión. El misterio del color de la materia está resuelto. Resulta que el color de una sustancia es causado por la diferente reflectividad e índice de refracción de la luz de diferentes colores en el objeto. En 1672 d.C., Newton publicó los resultados de su investigación en el Philosophical Journal of the Royal Society. Este fue su primer artículo publicado.
Mucha gente estudia óptica para mejorar los telescopios refractores. Newton descubrió la composición de la luz blanca y creyó que el fenómeno de dispersión de las lentes refractivas de los telescopios no se podía eliminar (más tarde, algunas personas usaban lentes de vidrio con diferentes índices de refracción para eliminar el fenómeno de dispersión), por lo que diseñó y fabricó un telescopio reflector. .
Newton no sólo era bueno en cálculos matemáticos, sino que también era capaz de fabricar diversos equipos experimentales y realizar experimentos precisos. Para fabricar telescopios, diseñó una máquina esmeriladora y pulidora y experimentó con diversos materiales abrasivos. En 1668 realizó el primer prototipo de telescopio reflector, que fue su segunda mayor contribución. En 1671, Newton presentó el telescopio reflector mejorado a la Royal Society, lo que lo hizo famoso y fue elegido miembro de la Royal Society. La invención del telescopio reflector sentó las bases de los modernos telescopios astronómicos ópticos de gran escala.
Al mismo tiempo, Newton también realizó una gran cantidad de experimentos de observación y cálculos matemáticos, como el estudio del fenómeno de refracción anormal de las rocas glaciares descubierto por Huygens, el fenómeno del color de las pompas de jabón descubierto por Hooke y los fenómenos ópticos de los anillos de Newton, etc.
Newton también propuso la "teoría de las partículas" de la luz, creyendo que la luz está formada por partículas y toma el camino rectilíneo más rápido. Su "teoría de las partículas" y la "teoría de las ondas" de Huygens formaron más tarde dos teorías básicas sobre la luz. Además, creó la rueda cromática de Newton y otros instrumentos ópticos.
Construcción de un edificio mecánico
Newton fue el maestro de la teoría mecánica clásica. Resumió sistemáticamente los trabajos de Galileo, Kepler y Huygens y obtuvo la famosa ley de la gravitación universal y las tres leyes del movimiento de Newton.
Antes de Newton, la astronomía era la materia más destacada. Pero ¿por qué los planetas tienen que orbitar alrededor del Sol según ciertas reglas? Los astrónomos no pueden explicar completamente el problema. El descubrimiento de la gravitación universal demostró que los movimientos de las estrellas en el cielo y de los objetos en la Tierra se rigen por las mismas leyes: las leyes de la mecánica.
Mucho antes de que Newton descubriera la ley de la gravitación universal, muchos científicos habían considerado seriamente esta cuestión. Por ejemplo, Kepler se dio cuenta de que debe haber una fuerza en acción que hace que los planetas se muevan en órbitas elípticas. Pensó que esta fuerza era similar al magnetismo, como un imán que atrae el hierro. En 1659, Huygens descubrió, al estudiar el movimiento de un péndulo, que se necesita una fuerza centrípeta para mantener un objeto en movimiento en una órbita circular. Hooke y otros pensaron que era gravedad y trataron de deducir la relación entre gravedad y distancia.
En 1664, Hooke descubrió que cuando los cometas se acercan al sol, sus órbitas se curvan debido a la gravedad del sol. En 1673, Huygens derivó la ley de la fuerza centrípeta; en 1679, Hooke y Halley derivaron de la ley de la fuerza centrípeta y la tercera ley de Kepler que la fuerza gravitacional que mantiene el movimiento planetario es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
El propio Newton recordaba que hacia 1666, ya se había planteado la cuestión de la gravedad cuando vivía en su ciudad natal. Lo más famoso es que Newton solía pasar sus vacaciones sentado en su jardín durante un tiempo. Una vez, como había sucedido muchas veces antes, una manzana cayó del árbol...
La caída inesperada de una manzana supuso un punto de inflexión en la historia del pensamiento humano, abriendo el mundo del pensamiento. Sentado en el jardín, el pensamiento humano le hizo reflexionar: ¿Cuál es la razón por la que casi todos los objetos son atraídos hacia el centro de la tierra? reflexionó Newton. Finalmente, descubrió la gravedad, que tuvo una importancia trascendental para la humanidad.
La brillantez de Newton es que resolvió el problema de argumento matemático que Hooke y otros no pudieron resolver. En 1679, Hooke le escribió a Newton y le preguntó si podía demostrar que los planetas se mueven en órbitas elípticas basándose en la ley de la fuerza centrípeta y la ley de que la gravedad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Newton no respondió a esta pregunta. En 1685, cuando Halley visitó a Newton, éste ya había descubierto la ley de la gravitación universal: existe una fuerza gravitacional entre dos objetos, que es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia y directamente proporcional al producto de las masas de los dos objetos. .
En aquella época se disponía de datos precisos para su cálculo, como el radio de la Tierra y la distancia entre el Sol y la Tierra. Newton le demostró a Halley que la gravedad de la Tierra es la fuerza centrípeta que hace que la Luna se mueva alrededor de la Tierra, y también demostró que el movimiento planetario bajo la influencia de la gravedad del Sol cumple con las tres leyes del movimiento de Kepler.
A instancias de Halley, Newton escribió su obra maestra que hizo época, "Principios matemáticos de la filosofía natural", a finales de 1686. La Royal Society se quedó corta de fondos y no pudo publicar el libro. Posteriormente, en 1687 se publicó una de las obras más importantes de la historia de la ciencia con el apoyo de Halley.
En este libro, Newton no sólo demuestra matemáticamente la ley de la gravitación universal basándose en los conceptos básicos de la mecánica (masa, momento, inercia, fuerza) y las leyes básicas (las tres leyes del movimiento), sino también Combina la Mecánica clásica y se estableció como un sistema completo y riguroso, unificando la mecánica de los cuerpos celestes y la mecánica de los objetos terrestres, logrando la primera gran síntesis en la historia de la física.