¿Qué es una función de marca de verificación? ¿Cómo utilizar la función de marca de verificación para resolver problemas que no se pueden resolver mediante desigualdad media?

1. Concepto: La forma general de la función tick es f(x)=x?+?a?/x(a>0).

2. Propiedad: Es fácil concluir que la función tick es una función impar.

La monotonicidad de la función tick se puede determinar mediante el método de derivación o directamente utilizando la definición. Tiene cuatro intervalos monótonos.

Es una función creciente sobre (-∞, -a] y [a, +∞] es una función decreciente sobre [-a, 0) y (0, a].

3. Imagen: ① Dado que es una función impar, la imagen es simétrica con respecto al origen y, según la monotonicidad, se puede obtener la imagen de la función

②La imagen de la función de verificación. tiene dos vértices, que son aproximadamente simétricos, respectivamente A (a, 2a) y B (-a, -2a)

③La imagen de la función tick tiene dos asíntotas, es decir, el eje y. y la línea recta y=x. La imagen de la función de marca de verificación está intercalada entre asíntotas, en forma de dos "verificaciones" simétricas

4 Ejemplos de resolución de problemas que no se pueden resolver directamente mediante desigualdad media. :

Ejemplo: Encuentra el valor mínimo de la función f(x)=(x?+5)/√(x?+4) Nota: ?√(x?+4) significa ?(x ?+4) bajo el signo de la raíz.

①Solución incorrecta: (x?+5)/√(x?+4)=(x?+4+1)/√(x?+4)

=√(x? +4)+1/√(x?+4)

≥2√(x?+4)?1/√(x?+4) )]=2

Entonces, el valor mínimo de f(x) es 2.

②Análisis de la causa del error: dado que el valor mínimo de √(x?+4) es 2, no puede ser igual a 1/√(x?+4), la desigualdad anterior no se puede tomar como "=" Definitivamente no es posible usar la fórmula directamente

③Aplicación de la función de verificación

Sea t=√(x?+4), t ≥2, entonces t?=x?+4,

g(t)=f(x)=(x?+. 5)/√(x?+4)=(t?+1) /t=?t+1/t?, t≥2

Ya que f(x)=g(t)=t +1/t? es una función creciente en [2, +∞) Nota: De hecho, un intervalo creciente es [1, +∞)

Por lo tanto, cuando t=2, hay un valor mínimo , que es 5/2.