¿Cómo calcular el determinante de una matriz cuadrada?

Para la matriz cuadrada A de segundo orden, podemos calcular directamente A**=A. Para una matriz cuadrada de orden n A mayor que la de segundo orden, ya que cuando |A|=0, r(A*)≤1, todas las subfórmulas de orden n-1 de A* son todas 0, por lo que A**=O.

AA* = |A|E

|A*| = |A|^(n-1)

Cuando r(A) = n, r(A*) = n

Cuando r(A) = n-1, r(A*) = 1

Cuando r(A) < n-1, r( A*) = 0

Entonces hay

A*(A*)* = |A*|E

AA*(A*) * = |A*|A

|A| (A*)* = |A|^(n-1) A

Entonces, cuando A es reversible, (A* )* = |A|^(n-2) A

Cuando A es irreversible, |A|=0

r(A) <= n-1

r(A*)<= 1

r((A*)*) = 0

Teorema

(1) Unicidad del sexo de la matriz inversa.

Si la matriz A es invertible, entonces la matriz inversa de A es única y la matriz inversa de A se registra como A-1.

(2) La condición necesaria y suficiente para que la matriz cuadrada A de orden n sea invertible es r(A)=m.

Para una matriz cuadrada A de orden n, si r(A)=n, entonces A se llama matriz de rango completo o matriz no singular.

(3) Cualquier matriz de rango completo se puede transformar en una matriz identidad mediante una transformación de filas elementales de orden finito.

Corolario La matriz inversa A de la matriz A de rango completo se puede expresar como el producto de un número finito de matrices elementales.