Proceso de solución detallado del problema de modelado matemático de un estudiante universitario para lograr puntuaciones altas. Urgente~~.
Análisis de Problemas
Debido al uso continuo de máquinas herramienta, varios componentes se dañarán debido al desgaste, provocando obstáculos en el proceso. Si la producción continúa en este momento, aparecerán una gran cantidad de productos de calidad inferior en las piezas, provocando pérdidas. Para reducir las pérdidas, las piezas deben inspeccionarse en ciertos intervalos de inspección. Si se encuentran productos no calificados, la máquina herramienta debe revisarse. Y dado que las fallas causadas por daños en las herramientas representan el 95% de las fallas del proceso, se puede considerar el reemplazo de herramientas de acuerdo con una estrategia determinada. Todas las operaciones anteriores cuestan una cierta cantidad de mantenimiento, pero pueden reducir efectivamente la pérdida de desechos. Bajo la influencia de este par de contradicciones, debe existir un intervalo de inspección y una estrategia de reemplazo de herramientas óptimos.
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, para minimizar la suma de los costes de mantenimiento y la pérdida de productos defectuosos.
Basado en los 100 registros de fallos de herramientas conocidos y mediante inspección, se puede ver que el número de piezas completadas antes de dos fallos de herramientas satisface la distribución normal
. Dado que otras fallas solo representan el 5 % de los obstáculos del proceso, tienen poco impacto en la brecha de inspección óptima y la estrategia de cambio de herramientas.
Para simplificar el cálculo, se puede suponer que cuando ocurren otras fallas, el número de piezas completadas satisface una distribución uniforme y la ocurrencia de otras fallas es independiente de la ocurrencia de fallas de herramientas.
Defina el proceso aleatorio de dos actualizaciones de herramientas adyacentes como un ciclo de actualización, y el valor de es el número de piezas producidas por la máquina herramienta durante los dos procesos de actualización
. es el costo total del ciclo de actualización. Entonces nuestro objetivo es encontrar lo mejor y minimizar. Esto puede
se pueden obtener mejores soluciones mediante búsquedas informáticas. A través de la simulación Monte Carlo del proceso real, se probó este plan
y se realizaron ciertos ajustes.
Análisis de tres datos
La pregunta proporciona 100 registros de fallas de herramientas (número de piezas completadas). La idea más sencilla es analizar estos 100 datos.
Realización matemática. estadística. El resultado estadístico es que el valor medio es 600 y la desviación estándar es 196,63. Al mismo tiempo, dado el nivel de significancia
, la prueba muestra que la falla de la herramienta puede obedecer a la distribución normal, registrada como:
Pero normal La densidad de probabilidad de la distribución tiene un valor arriba, pero el número de piezas completadas cuando ocurre una falla en la herramienta es un valor positivo.
La explicación es la siguiente:
Basado en el principio de distribución normal, se puede ver que la probabilidad de falla de la herramienta, incluido el número de piezas completadas, es del 99,7%, y la probabilidad de caer dentro de otros rangos es muy pequeña, 0,3%. Puede considerarse un evento de pequeña probabilidad y no ocurre en la práctica, de esta manera se puede explicar la contradicción anterior.
Del valor promedio de 600, podemos ver que en promedio ocurrirá un accidente de herramienta cada 600 piezas producidas; la pregunta también nos dice que entre las fallas de proceso, el 95% de ellas son daños a la herramienta. Las fallas representan el 5%. Combinado con la ley de los grandes números, se puede inferir que la expectativa matemática del número de piezas producidas cuando ocurren otras fallas es 600.
Recuerde la densidad de probabilidad del número de piezas producidas cuando ocurren otras fallas:
Descripción de cuatro parámetros
T: Intervalo de inspección d: Ajuste para recuperación cuando; se produce una falla El costo promedio normal (incluida la tarifa de reemplazo de la herramienta) es de 3000 yuanes;
k: el costo de reemplazar un cuchillo nuevo cuando no se encuentra ninguna falla, 1000 yuanes h: error de cálculo del error del proceso y apagado El pérdida resultante de 1.500 yuanes
K0: un intervalo de reemplazo de herramienta específico, que es una constante; f: la pérdida de 200 yuanes por producir un desperdicio;
N: el número de inspecciones incluido en K0, en la solución informática creemos que K0 contiene un número entero de controles.
(T, K0 utiliza el número de piezas producidas como medida del tiempo)
Cinco supuestos básicos
1. El fallo de la herramienta es independiente de otros fallos;
2. Si el personal detecta productos de calidad inferior, la máquina debe apagarse para su inspección.
Establecimiento de seis modelos
A través del análisis anterior, sabemos que este problema es un problema de optimización y es necesario determinar la brecha de inspección óptima y el reemplazo de herramientas.
intervalo. Minimizar las expectativas de costos.
Es decir, la función objetivo:
Solución de siete modelos
Pregunta 1: Se supone que las piezas producidas cuando falla un proceso son todas productos defectuosos y las piezas producidas durante condiciones normales. Los tiempos son todos productos calificados
, diseñe la estrategia de reemplazo de herramientas y espacios de inspección más rentable para este proceso.
Disponer personal para realizar la inspección y sustitución de herramientas según los siguientes pasos:
1. Inspeccione cada pieza como un hueco. Si la pieza encontrada en la primera inspección no está calificada, vaya a 3; de lo contrario, continúe
hasta completar la primera inspección, vaya a 2;
2. Para reemplazar la herramienta, pasa al 1;
3. Haga ajustes para que vuelvan a la normalidad. Si la falla se debe a una falla de la herramienta, vaya a 1. Si la falla se debe a otras fallas, complete las inspecciones restantes y vaya a 2. (Si se detectan productos no calificados, manéjelos de acuerdo con el método en 3. Ahora es necesario encontrar los mejores
y para minimizarlos).
Evidentemente, cuando un fallo de herramienta provoca que el número de piezas producidas por la máquina herramienta sea mayor que el obtenido:
Explicación: es la función de densidad de probabilidad del número de piezas producidas antes. la falla ocurre
es la brecha de reemplazo de la herramienta, es decir,
es la brecha de inspección.
es la probabilidad de que ocurra una falla de la herramienta dentro del i-ésimo intervalo de inspección.
En segundo lugar, se determina de manera aproximada, es decir, el costo promedio dentro de un ciclo de cambio de herramienta. Las fallas de la herramienta y otras fallas causarán costos de mantenimiento,
por lo que deben considerarse de manera integral.
1. Considere el costo causado por una falla de la herramienta:
De manera similar a la idea de encontrar , podemos escribir una expresión para el valor esperado del costo causado por una falla de la herramienta: .
Explicación: Indica el costo promedio de falla de herramienta cuando los tiempos de reemplazo de herramienta son. Indica la probabilidad de que ocurra una falla en la herramienta dentro del
ésimo espacio de inspección y representa aproximadamente la pérdida causada por productos no calificados.
2. Considere los costos causados por otras fallas
Dado que otras fallas representan solo el 5 % de las fallas del proceso, puede considerar simplificar el proceso y asumir que en cualquier ciclo de actualización
ocurrirán otras fallas. como máximo una vez.
Supongamos que ocurren otras fallas dentro del espacio de inspección y su probabilidad es . Es la función de densidad de probabilidad del número de piezas
producidas por la máquina herramienta antes de que ocurran otras fallas.
Dado que la aparición de otras fallas no afectará el ciclo de actualización, sin importar en qué intervalo de inspección ocurran otras fallas, el costo de inspección
es y el costo de mantenimiento es. Por lo tanto, la expectativa matemática del costo causado por otras fallas es:
;
Después de una consideración exhaustiva, se puede dar una expresión aproximada de.
El objetivo es la función de la suma de dos variables, que se puede encontrar buscando con una computadora
Cuando el valor es el más pequeño, K0=450, T=18
Pregunta 2
Si las piezas producidas cuando el proceso es normal no son todas productos calificados, el 2% son productos defectuosos, mientras que cuando el proceso falla, el 40% de las piezas producidas son defectuosas; .
Productos calificados, el 60% son productos no calificados. El costo de la pérdida causada por un cierre debido a la creencia errónea de que el proceso es normal es de 15
00 yuanes/pieza. Diseñe los intervalos de inspección y los intervalos de reemplazo de herramientas más rentables para este proceso.
Para solucionar este problema también es necesario determinar la función objetivo.
Primera expresión:
1. Considere la pérdida causada por falla de la herramienta:
Similar a la solución al problema 1, cuando el ciclo de cambio de herramienta x>k0, la probabilidad es, ahora encuentre la pérdida en esta situación
Dado que la probabilidad de que ocurran otras fallas en (0,k0) es muy pequeña, al considerar las fallas de la herramienta, se puede considerar que no ocurrirán otras fallas en (0~k0). Por lo tanto, bajo la condición de que la falla de la herramienta anterior no ocurra en (0,k0), se puede considerar que no ocurre ninguna falla del proceso en (0,k0)
. El costo incluye: tarifa de inspección, tarifa de reemplazo de herramientas, 2% de pérdida de productos defectuosos producidos cuando la máquina herramienta no tiene fallas y 1.500 yuanes de pérdida causada por un error de cálculo de la falla de la máquina herramienta.
Ciclo de cambio de herramienta x ,k0 ) en segmentos, es la probabilidad de falla de la herramienta en la i-ésima sección. Las pérdidas causadas por una falla de la herramienta en la i-ésima sección se analizan a continuación: (1) Después de que ocurre una falla El mantenimiento. tarifa d = 3000 yuanes, (2) En el párrafo anterior (se cree aproximadamente que la falla ocurrió en el medio del i-ésimo párrafo), aunque la máquina funciona normalmente, hay un Tarifa de inspección, 2 % de la pérdida de productos no calificados y la pérdida de 1.500 yuanes causada por un error de juicio de que la máquina está defectuosa, es decir, Diagrama de flujo del proceso (3) Después de que la máquina herramienta falla, producirá con una probabilidad de 0,6. Para productos no conformes, la probabilidad de producir productos calificados es 0,4. Por lo tanto, al final de la i-ésima sección, es decir, en el i-ésimo punto de inspección, la probabilidad de detectar una máquina herramienta rota es 0,6. En este momento, la pérdida proviene de los productos no calificados en la mitad de la pérdida de producto y la tarifa de inspección: Sin embargo, puede haber una falla de la máquina que no se puede detectar en el i-ésimo punto de control y no se puede verificar hasta el i+1.° punto de control En caso de falla, la probabilidad es 0,4*0,6; , y la pérdida es; de manera similar, también existe el caso en el que la falla no se detecta hasta el i+2º punto de control , la probabilidad es la pérdida. Aunque todavía pueden existir puntos de control i+3, i+4... para detectar el fallo, debido a la probabilidad de estas situaciones ya no se consideran. En resumen, la expectativa de pérdida en el párrafo i se puede escribir: Entonces, con base en las consideraciones anteriores, se puede obtener la expectativa de pérdida por falla de la herramienta: 2. Considere las pérdidas causadas por otras fallas: En 1, omitimos la consideración de las pérdidas causadas por otras fallas, porque otras fallas ocurren durante el ciclo de cambio de herramienta La probabilidad de que ocurra es muy pequeña, lo cual es razonable. Sin embargo, para que el modelo sea más completo, también introducimos aproximadamente las expectativas de pérdida de otras fallas . Similar al análisis de la pregunta 1, tome el valor máximo K0 del ciclo de cambio de herramienta y calcule aproximadamente la expectativa de costo en este momento: Es necesario señalar las ganancias y pérdidas El valor de S2. es relativamente pequeño en comparación con S1. El efecto sobre los resultados no fue significativo. 1. Determinación de la expectativa matemática del ciclo de cambio de herramienta: La expectativa matemática del ciclo de cambio de herramienta también está determinada por la falla de la herramienta (la herramienta no se reemplaza al reparar otras fallas), por lo que la forma es la Igual que la forma para resolver el problema 1. Se puede utilizar una computadora para calcular k0 y T cuando la función objetivo alcanza el mínimo. k0=324, T=39. Pregunta 3: Bajo la premisa de la pregunta 2, ajustar correctamente el intervalo de inspección y el intervalo de cambio de herramienta puede reducir las pérdidas y también puede mejorar la inspección. forma de lograr una mayor eficiencia. La parte controlable de la pérdida es la pérdida por tiempo de inactividad causada por un error de juicio. Al analizar las causas de los errores de juicio, se calculó que el 95% de los desechos se produjeron bajo procesos normales y el 5% se produjeron bajo procesos defectuosos. Sin embargo, en procesos normales, la probabilidad de producir dos desechos consecutivos es 0,0004, mientras que en condiciones de proceso anormales, la probabilidad de producir dos desechos consecutivos es 0,36. Cuando aparecen dos rechazos consecutivos, el proceso puede considerarse anormal. Por ello, existen planes de mejora. 1. La inspección finaliza cuando las piezas son originales. 2. Si la pieza está defectuosa durante la inspección, verifique la siguiente. Si está defectuosa, detenga la máquina para su inspección; si es genuina, no pare la máquina. El proceso se considera normal. Aunque esta solución aumenta el coste de inspección, reduce en gran medida el coste del tiempo de inactividad causado por errores de cálculo. Análisis de ocho modelos Para probar el impacto de diferentes cambios en h, t, k y f en la pérdida sf, les asignamos diferentes valores respectivamente. y calcule El valor sf correspondiente se muestra en la siguiente tabla: (sf es la suma de las pérdidas en la producción de 60.000 piezas) 1. H (yuanes) 1300 1400 1500 1600 1700 Sf (10.000 yuanes) 59.870 60.216 60.550 60.706 61.013 K0 (unidades) 330 324 324 312 312 T (unidades) 33 36 36 39 39 N (veces) 10 9 9 8 8 m (10.000 yuanes) 1,31 2. El impacto de los cambios en t en sf T (yuanes) 8 9 10 11 12 Sf (diez mil yuanes) 60.200 60.375 60.550 60.553 60.706 K0 (unidad) 324 324 324 312 312 T (unidades) 36 36 36 39 39 N (veces) 9 9 9 8 8 m (10.000 yuanes) 4,10 3. El impacto de los cambios en k en sf K (yuanes) 800 900 1000 1100 1200 Sf (diez mil yuanes) 56.633 58.743 60.550 62.152 63.841 K0 (unidades) 287 304 324 324 340 T (unidades) 41 38 36 36 34 N (veces) 7 8 9 9 10 M (diez mil yuanes) 16,94 4. El impacto de los cambios en f en sf f (yuanes) 100 125 150 175 200 225 250 275 300 sf (diez mil yuanes) 44.116 48.570 52.656 56.468 60.550 64.257 68.057 71.941 75.543 K0 (número) 343 344 8 320 324 315 306 310 297 T (número) 4 9 43 41 40 36 35 34 31 33 N (veces) 7 8 8 8 9 9 9 10 9 m (10.000 yuanes) 23,86 Para determinar el impacto de los parámetros en la función de costo de pérdida Introduciendo el índice de evaluación del monto de cambio relativo Supongamos es decir, el impacto de cambiar un monto relativo (como 1%) en los gastos de pérdida. Al cambiar la cantidad relativa de la unidad del parámetro, cuanto mayor es el costo de pérdida, mayor es la sensibilidad del parámetro. La clasificación es: Es decir, en la sensibilidad a la pérdida. costo. Tarifa por pérdida de piezas>Tarifa por reemplazo de herramientas>Tarifa por pérdida por tiempo de inactividad>Tarifa de inspección. Sugerencias: Con el fin de buscar el máximo beneficio económico y reducir las pérdidas de producción. 1. Adoptar el ciclo de inspección y el ciclo de cambio de herramienta óptimos. 2. Reducir el costo de la pérdida de piezas y el reemplazo de herramientas tanto como sea posible para reducir significativamente el costo de la pérdida. Pruebas de nueve modelos Utilizamos simulación por computadora para probar los resultados del modelo. La idea del programa de simulación se describe brevemente a continuación: Primero, se genera una serie de puntos de muestra de acuerdo con la distribución de probabilidad de fallas de la herramienta y otras fallas, y luego se continúa con la simulación continuamente dentro de un cierto rango Tome el ciclo de inspección y el intervalo de cambio de herramienta, simule el proceso de producción real para obtener una serie de costos de pérdida y encuentre el valor mínimo y su correspondiente ciclo de inspección y el intervalo de cambio de herramienta como óptimo. solución. Consulte los Apéndices 4 y 5 para conocer procedimientos específicos. Realizamos múltiples simulaciones en el Problema 2 y obtuvimos una serie de resultados de la siguiente manera: Pérdida sf (10.000 yuanes) 59,516 59,696 60,129 58,146 60,058 55,478 61,048 59,981 58,80 8 59.720 Ciclo de cambio de herramienta K0 336 368 360 294 234 336 312 294 240 400 Ciclo de inspección T 48 46 40 42 39 48 39 42 42 40 Análisis: Los resultados de la simulación fluctúan en el rango [234-400] porque: cada vez que se ejecuta, se selecciona aleatoriamente un grupo de números cero de daño de herramienta. Dado que la varianza es 196,62, la fluctuación. El rango es amplio, pero aún cercano, la función de costos es estable entre 580,000 y 610,000, y la solución obtenida por el modelo cae con precisión en el área anterior. El modelo tiene buena estabilidad. Referencias Zhu Wenyu "Diseño de confiabilidad mecánica" Prensa de la Universidad Jiao Tong de Shanghai 1992 Xu Renzhong, Zhong Guanguo y otros " Teoría de la probabilidad y estadística matemática" Sichuan Science and Technology Press 1 988 Programa fuente matlab (omitido)