Técnicas de resolución de ángulos línea-superficie y ángulos diédricos Estrategias para resolver problemas de ángulos diédricos
Resumen: El ángulo diédrico es un contenido importante en geometría sólida, es el foco del examen de ingreso a la universidad y también es una dificultad en el aprendizaje. Por esta razón, el autor combina algunas preguntas del examen de ingreso a la universidad para analizar. y resumir los métodos para resolver tales problemas. El método para resolver problemas de ángulos diédricos en geometría sólida se puede resumir como "encontrar", "hacer" y "crear". método de definición; método del plano vertical; método de ángulo tridimensional; método de línea perpendicular; método de vector normal
El ángulo diédrico es un contenido importante en el examen de ingreso a la universidad. y también es una dificultad de aprendizaje para los estudiantes. Para ello, el autor combina algunas preguntas del examen de ingreso a la universidad para analizar y resumir los métodos para resolver este tipo de problemas.
El método para resolver problemas de ángulos diédricos es. resumido por el autor como "encontrar", "hacer" y "crear".
"Mirar" ――Ver si hay ángulos planos diédricos en las figuras geométricas sólidas dadas.
El La base para "encontrar" son las características principales de los ángulos del plano diédrico: el vértice está en el borde y el plano donde se encuentra el ángulo es perpendicular al borde.
Ejemplo 1 (Beijing, 2008) Como se muestra en. Figura 1, en la pirámide triangular P-ABC, AC=BC=2, ∠ACB=90°, AP=BP=AB, PC⊥AC
(1) Verificar: PC⊥AB <. /p>
(2) Encuentra el tamaño del ángulo diédrico B-AP-C;
(3)( Teoría) Encuentra la distancia desde el punto C al plano APB
<. p>Figura 1Análisis (1) Como se muestra en la Figura 2, tome el punto medio D de AB y conecte PD y CD
Porque AP=BP, entonces PD⊥AB.
Porque AC=BC, entonces CD⊥AB
Porque PD∩CD=D,
Entonces AB⊥Plano PCD. >¿Porque PC?Plano PCD, entonces PC⊥AB
Figura 2
(2) Porque AC=BC , AP=BP, PC=PC,
También PC⊥AC, entonces PC⊥BC
También ∠ACB =90°, es decir, AC⊥BC y AC∩PC. =C, entonces BC⊥plano PAC
Figura 3
Como se muestra en la Figura 3, tome el punto medio E de AP y conecte BE, CE,
Porque AB=BP, entonces BE⊥AP
Debido a que EC es la proyección de BE en el plano PAC, entonces CE⊥AP
Entonces ∠BEC es el ángulo plano del diédrico. ángulo B-AP-C
En △BCE, ∠BCE=90°, BC=2, BE=AB=, entonces sin∠BEC== . AP-C es arcosin.
(3) Omitido.
"Hacer" - hacer cálculos sobre ángulos diédricos en figuras geométricas sólidas Generalmente hay tres formas de "hacer" un ángulo plano. :
1. Método de definición
El método de definición significa que cualquier punto en el borde del ángulo diédrico es Si se dibujan líneas rectas perpendiculares a los bordes en los dos semiplanos, el ángulo formado por las dos rectas es el ángulo plano del ángulo diédrico. Es adecuado para preguntas con cierta simetría.
Ejemplo 2 (Texto de Hunan de 2008) Como se muestra en la Figura 4, la base ABCD de. la pirámide cuadrangular P-ABCD es un rombo con longitud de lado 1, ∠BCD=60°, E es el punto medio de CD, PA⊥La base ABCD, PA=(1) Demuestre: Plano PBE. ⊥Plano PAB;
(2) Encuentra el tamaño del ángulo diédrico A-BE-P
Análisis (1) como se muestra en la Figura 5, Conectando BD, sabemos que. ABCD es un rombo y ∠BCD=60°, △BCD es un triángulo equilátero. Debido a que E es el punto medio de CD,
Entonces BE⊥CD y AB∥CD,
. Entonces BE⊥AB
Figura 5
Y debido a que PA⊥ABCD inferior, BE?huan plano ABCD,
Entonces PA⊥BE
.Y PA∩AB=A, entonces BE⊥plano PAB
Y BE? plano PBE,
Entonces plano PBE⊥plano PAB. p>
(2)
De (1), sabemos que BE⊥ plano PAB, PB? Plano de Huan PAB, entonces PB⊥BE
Y AB⊥BE, entonces ∠PBA es el ángulo plano del ángulo diédrico A-BE. -P
En Rt△PAB, tan∠PBA==, entonces ∠PBA=60°
Entonces el tamaño del ángulo diédrico A-BE-P es 60°.
p>
2. Método del plano vertical
El método del plano vertical se refiere a utilizar un plano perpendicular al borde para cortar el ángulo diédrico. El ángulo diédrico debe tener dos líneas de intersección. El ángulo formado por estas dos líneas de intersección es el ángulo plano del ángulo diédrico, y luego un método para encontrar el ángulo plano.
Ejemplo 3 (2008 Nacional I) Como. como se muestra en la Figura 6, en la pirámide cuadrada A -En BCDE, la base BCDE es un rectángulo, el lado ABC⊥base BCDE, BC=2, CD=, AB=AC
Figura 6
(1) Prueba: AD⊥CE ;
(2) (Teoría) Suponga que el ángulo entre CE y el plano ABE es 45°, encuentre el tamaño del ángulo diédrico C-AD -E.
Análisis (1) Omitido
(2) Debido a que el lado ABC⊥ se enfrenta a BCDE y BE⊥BC, entonces BE⊥ se enfrenta a ABC. Como se muestra en la Figura 7, dibuja CM⊥AB en M y conecta EM, luego CM⊥ enfrenta ABE
Entonces ∠CEM=45°, entonces CM=CE=, sin. ∠CBA=, ∠CBA=60° Entonces △ABC es un triángulo equilátero
Figura 7
Suponga CH⊥AD en H y conecte EH,
Entonces AD⊥ se enfrenta a CHE
Entonces AD⊥EH y CD⊥AC,
Entonces AD=. ,
CH=2×=,
DH=×=,
EH=
cos∠CHE==－.
Entonces el tamaño del ángulo diédrico C-AD-E es arccos-.
Método de las tres perpendiculares
El método de las tres perpendiculares se refiere a. dibujando una perpendicular a través de un punto P en un semiplano de un ángulo diédrico al otro semiplano (el método general es usar el teorema de propiedad de la perpendicularidad de la superficie), el pie vertical es O, y luego dibuja una línea vertical. a través de O hasta el borde, el pie vertical es O1, entonces ∠OO1P es el ángulo plano del ángulo diédrico deseado (ángulo diédrico obtuso) es su ángulo suplementario).
Ejemplo 4 (Tianjin 2008) Como se muestra. en la Figura 8, en la pirámide de cuatro lados P-ABCD, la base ABCD es un rectángulo. Se sabe que AB=3, AD=2, PA=2, PD=2, ∠PAB=60°. >
(1) Demuestre: AD⊥Plano PAB;
(2) Encuentre el ángulo entre la recta PC y AD en diferentes planos
(3) Encuentre el tamaño del ángulo diédrico P-BD-A
Analice (1) (2) brevemente
Figura 9
(3) Como se muestra en la Figura. 9, pasando por el punto P, dibuja PH⊥AB en el punto H, pasando por el punto H, dibuja HE⊥BD en el punto E, conectando PE⊥ con el plano PAB,
PH?Huan plano PAB,
Entonces AD⊥PH.
Y AD∩AB=A,
Entonces PH⊥ plano ABCD
Entonces HE es el. proyección de PE en el plano ABCD.
Según el teorema de las tres perpendiculares, BD⊥PE,
Así ∠PEH es el ángulo diédrico P-BD-A Ángulo plano
p>
Se puede ver en la pregunta,
PH=PA?sin60°=,
AH=PA?cos60°=1,
BH=AB－AH=2,
BD==,
HE=?BH==
Entonces en Rt△PHE,
tan∠PEH==.
Entonces el tamaño del ángulo diédrico P-BD-A es arctan
"Hacer" - construir "proyección" O construir una. "vector" para resolver el problema
1. Método de proyección de área
El llamado método de proyección de área se basa en triángulos y sus proyecciones en un plano determinado.
La relación entre el área de sombra, usando cosθ= para calcular el ángulo diédrico (donde θ es el ángulo diédrico).
Usando este método, podemos resolver efectivamente el problema del ángulo diédrico Preguntas que no tienen aristas o tienen aristas. pero el ángulo plano del ángulo diédrico no se puede expresar fácilmente.
Las preguntas del Ejemplo 5 (Tianjin, 2008) son las mismas que las del Ejemplo 4. Aquí solo se explicará la pregunta (3). >
Análisis (3) A través del punto P, dibuje PH⊥AB en el punto H,
A través del punto H, dibuje HE⊥BD en el punto E, conectando PE. AD⊥ Plano PAB,
PH? Plano PAB,
Entonces AD⊥PH
Y AD∩AB=A,
. Por lo tanto PH⊥Plano ABCD.
Entonces HE es la proyección de PE en el plano ABCD. Según el teorema de las tres perpendiculares,
Por lo tanto ∠PEH es el ángulo diédrico P. - El ángulo plano de BD-A.
Figura 10
Se puede ver en la pregunta, PH=PA?sin60°=, AH=PA?cos60°=1, BH=AB-AH =2,
BD==,
HE=?BH==
Entonces PE==,
<. p>S△PBD =BD?PE=Y AH=1, BH=2, AD=2,
Entonces S△HBD=S△ABD-S△AHD. =（6-2 ) = 2.
Entonces cosθ====, es decir, el tamaño del ángulo diédrico P-BD-A es arccos
Aunque lo anterior. El método ha resuelto con éxito algunos problemas sin aristas. Entendemos la solución, pero también está sujeta a ciertas condiciones, es decir, un triángulo en la pregunta debe ser la proyección de otro triángulo en un determinado plano. Si esta condición no existe, tenemos. considere usar otro método, es decir, el método vectorial normal.
Este artículo es el texto completo original. Los usuarios que no tengan un navegador de PDF instalado, primero descarguen e instalen el texto completo original. 2. Método del vector normal
El método del vector normal consiste en calcular los dos ángulos perpendiculares al ángulo diédrico. Un método para encontrar el ángulo diédrico utilizando la relación entre este ángulo y el ángulo del plano diédrico para que sean iguales. o complementario Cuando se utiliza el vector normal para encontrar el ángulo diédrico, el ángulo formado por los vectores normales de los dos planos es el mismo que el ángulo diédrico. Si los ángulos de las caras son "iguales" o "complementarios" se ha convertido en la dificultad y. Aquí, el autor se basa en el método de determinación de la programación lineal para representar el área plana utilizando desigualdades lineales binarias y utiliza el "método de analogía" para obtener una solución para los ángulos diédricos utilizando vectores normales. p>
Cuando se utilizan vectores normales para encontrar ángulos diédricos, solo hay dos situaciones para el ángulo entre los vectores normales de los dos semiplanos y el tamaño del ángulo diédrico, y la clasificación según sus vectores normales debe ser Existen las siguientes cuatro situaciones:
Como se muestra en las cuatro figuras anteriores, supongamos que el tamaño del ángulo diédrico α-l-β es θ, a y b son vectores normales de α y β respectivamente. , y el ángulo incluido es 〈 a, b〉, en las Figuras 12 y 13, θ = 〈a, b〉, en las Figuras 11 y 14, θ = π - 〈a, b〉 Cómo juzgar si θ y 〈a. , b〉 ¿son tejidos de lana "iguales" o "complementarios"? El autor utilizó analogía y asociación para probar si podía encontrar un vector especial y llegó a la siguiente conclusión:
¿Alguna elección de A∈α, B∈β y A, B, respectivamente? al número de vectores Los signos de los productos ?a, ?b determinan la relación entre θ y 〈a, b〉
En la Figura 11, hay ?a>0, ?b0, ?b. >0, los dos productos tienen el mismo signo, θ= 〈a, b〉;
Hay ?a0 en la Figura 14, los dos productos tienen diferentes signos, θ=π- 〈a, b〉 ;
Se llama vector de prueba.
La conclusión anterior se puede resumir como "complemento igual y diferente" (si ?a, ?b tienen el mismo signo, entonces θ = 〈a, b〉; si tienen signos diferentes, entonces θ = π-〈a, b〉), la estrategia adoptada es "fijar el valor del vector normal y fijar el ángulo del vector especial".
Nota (1) Si se toma el vector de prueba, entonces =- muestra que la conclusión anterior es verdadera y se puede ver que no tiene nada que ver con la dirección del vector de prueba
(2)? l; de lo contrario, tiene ?a=0 o ?b=0.
El título del Ejemplo 6 (2008 Hunan) es el mismo que el del Ejemplo 2. Aquí solo se explicará la pregunta (2).
Figura 15
Análisis. de (2) como la Figura 15, estableciendo un sistema de coordenadas rectangular espacial A-xyz con A como origen.
Entonces A (0, 0, 0),
B (1, 0, 0),
C,, 0,
D,,0,
P(0,0,),
E1,,0
Entonces = (1,0,-) ,
=0,, 0.
Supongamos que n1= (x1, y1, z1) es un vector normal del plano PBE,
¿Entonces n1? =0, n1?=0,
Obtenemos x1+0×y1-×z1=0, 0×x1+×y1+0×z1=0
Entonces y1=. 0 , x1=z1
Entonces n1=(,0,1
Y un vector normal del plano ABE es n2=(0,0,1), asumiendo The. El tamaño del ángulo de la cara A-BE-P es θ,
Porque cos〈n1, n2〉==,
Entonces 〈n1, n2〉=60°. vector = ,,,donde N es el punto medio de PE, entonces n1=(,0,1)?,,=>0,?n2=,,?(0,0,1)=>0.
De las conclusiones anteriores de este artículo, sabemos que θ=〈n1, n2〉=60°
Ejemplo 7 (2007 Anhui) Como se muestra en la Figura 16, en el hexaedro ABCD-A1B1C1D1. , el cuadrilátero ABCD es un cuadrado de lado 2 , el cuadrilátero A1B1C1D1 es un cuadrado de lado 1, DD1⊥ plano A1B1C1D1, DD1⊥ plano ABCD, DD1=2 (1) Verificación: A1C1. y planos AC***, B1D1 y BD** *Plano;
(2) Verificar: El plano A1ACC1 es perpendicular al plano B1BDD1
(3) Calcular el tamaño del diédrico; ángulo A-BB1-C (expresado por el valor de la función trigonométrica inversa
Figura 16
Análisis (1) (2) omitido
(3) Con D como origen, tome la línea recta donde se encuentran DA, DC y DD1. Son el eje x, el eje y y el eje z respectivamente, y establezca el sistema de coordenadas rectangular espacial D-xyz (como se muestra en la Figura 16).
Existen A (2, 0, 0), B (2, 2, 0) ), C (0, 2, 0),
A1 (1). , 0, 2), B1 (1, 1, 2),
C1 (0, 1, 2 ), D1 (0, 0, 2). 1, 0, 2),
= (-1, -1, 2), = (0, -1, 2).
Supongamos n= (x1, y1,). z1) es el vector normal del plano A1ABB1, entonces existe
n?=-x1+2z1=0,
n?=-x1-y1+2z1=0 <. /p>
Entonces y1=0. Toma z1=1,
Entonces x1=2, n= ( 2, 0, 1
Supongamos que m= (x2). , y2, z2) es el vector normal del plano B1BCC1, entonces existe
m?=-x2-y2+2z2= 0,
m?=-y2+2z2= 0.
Entonces x2=0.
Toma z2=1,
Entonces y2=2, m=(0, 2, 1),
p>cos〈m, n〉==.
Entonces el tamaño del ángulo diédrico A-BB1-C es π-arcos o arccos.
Haz la prueba. vector = (-2, 2, 0),
¿Entonces?n = (-2, 2, 0)? (2, 0 , 1) = -40. Según la conclusión anterior de este artículo, existe θ = π - 〈n, m〉 = π - arccos
Aquí, el autor presenta otro método bidimensional simple y efectivo para determinar si. el ángulo formado por el vector normal del plano y el ángulo diédrico son "iguales" o "complementarios".
Definición: Supongamos que el vector normal n del plano α está a un lado del plano α, Si la distancia desde el punto final del vector n al plano α es menor que la distancia desde el punto inicial del vector n al plano α, entonces se dice que el vector normal del plano α apunta al plano α (Figura 17). la distancia desde el punto final del vector n al plano α es mayor que la distancia del vector n. Se dice que la distancia desde el punto inicial al plano α es que el vector normal del plano α se desvía del plano α (Figura 18)
Figura 17
Figura 18
Supongamos que los vectores normales de los dos planos están dentro del ángulo diédrico α-l-β Si el vector normal de. el plano α n1 apunta (se desvía del) plano α, y al mismo tiempo el vector normal n2 del plano β apunta (se desvía del) plano β, entonces el ángulo diédrico α-l-β es π-θ (Figura 19 ); si el vector normal n1 del plano α apunta al (partiendo de) el plano α, y al mismo tiempo el vector normal n2 del plano β se desvía del (apunta a) el plano β, entonces el ángulo diédrico α-l-β es θ (como se muestra en la Figura 20). Por lo tanto, el ángulo plano del ángulo diédrico α-l-β es el ángulo θ o π-θ formado por el vector normal n1 y el vector normal n2. La conclusión anterior se puede resumir como "mismo complemento, diferente igualdad" (si n1, n2 para α y β, la misma dirección o cuando diverge, θ=π-〈n1, n2〉; si uno de n1 y n2 apunta y el otro se desvía, θ=〈n1, n2〉).
Tomamos el Ejemplo 6 y el Ejemplo 7 como descripción del ejemplo:
En el Ejemplo 6, n1 está dentro del ángulo diédrico A-BE-. P, el vector n1 apunta al plano PBE, n2 está dentro del ángulo diédrico A-BE-P y n2 está alejado del plano ABE. Por lo tanto, el ángulo entre los dos vectores normales 〈n1, n2〉 es del tamaño de. el ángulo diédrico requerido, que es 60°.
En el ejemplo 7, n está dentro del ángulo diédrico A-BB1-C apunta al plano ABA1B1, m apunta al plano BB1CC1 dentro del ángulo diédrico A-. BB1-C,
Entonces el ángulo plano del ángulo diédrico A-BB1-C es el complemento del ángulo entre los vectores normales 〈n, m〉 El ángulo es π-arcos
<. p> Como se puede ver en el ejemplo anterior, la idea de resolver ángulos diédricos con vectores normales es bastante única y utiliza métodos algebraicos para resolver problemas geométricos. Entre ellos, el sistema de coordenadas rectangulares debería ser la base, pero. Juzgar si el ángulo formado por los vectores normales de los dos planos y el ángulo plano del ángulo diédrico es "igual" o "complementario" es la dificultad y la clave.Utiliza las estrategias anteriores para resolver el diédrico. ángulo Cuando se busca un ángulo, generalmente se puede proceder en secuencia, es decir, primero "buscar" para ver si hay un ángulo plano diédrico en la figura geométrica. Si lo hay, "señalar" → "calcular", como en. Ejemplo 1; si no se puede encontrar "hacer", si se hace, entonces "hacer" → "señalar" → "calcular" si no se puede hacer o es difícil "hacer". luego "make" se usa para construir "proyección" o "vector".
En resumen, hay muchas formas de resolver problemas de ángulos diédricos y, como principiante, son relativamente flexibles solo reconociendo las características. de cada método y a través de mucho estudio puede lograr competencia y aplicación.
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