Examen de ingreso a la universidad de Shanghai 2006 Preguntas de matemáticas Respuestas Ciencias

Respuestas de referencia de Matemáticas de Shanghai (ciencia, ingeniería, agricultura y medicina)

1. (Preguntas 1 a 12)

1. 5. -1 i 6. 7.

8. 5 9. 10. 36 11. k=0, -1lt; , (Preguntas 13 a 16)

13. C 14. A 15. A 16. D

3 (Preguntas 17 a 22)

17. Solución: y=cos(x) cos(x-) sin2x

=cos2x sin2x=2sin(2x)

∴ Función y=cos(x) El rango de valores de cos( x-) sen2x es, y el período positivo mínimo es π.

18: Conecta BC y del teorema del coseno obtenemos BC2=202 102-2×20×10COS120°=700.

Por lo tanto, BC=10 .

∵ , ∴sin∠ACB= ,

∵∠ACBlt 90° ∴∠ACB=41°

∴El barco B debe ir a B para su rescate en línea recta en la dirección de 71° norte por este.

Solución: (1) En la pirámide cuadrada P-ABCD, desde del plano PO⊥ ABCD, obtenemos

∠PBO es el ángulo formado por PB y el plano ABCD, ∠PBO=60°.

En Rt△AOB, BO=ABsin30°= 1, de PO⊥BO,

Entonces, PO=BOtg60°= , y el área del rombo en la base es 2.

∴El volumen de la pirámide cuadrangular P-ABCD es V= ×2 × =2.

(2) Solución 1: Tome O como origen de las coordenadas y los rayos OB, OC y OP son los semiejes positivos de el eje x, el eje y y el eje z respectivamente para establecer un sistema de coordenadas espacial rectangular.

En Rt△ OA= en AOB, entonces las coordenadas de los puntos A, B, D y P son A(0,-,0),

B(1,0,0), D(-1,0 ,0)P(0,0, ).

E es el punto medio de PB, entonces E( ,0, ) entonces =( ,0, ), =(0, , ).

Supongamos que el ángulo es θ, tenemos cosθ= , θ=arccos ,

El ángulo entre la recta DE y PA en diferentes planos es arccos.

Solución 2: Toma el punto medio F de AB y conecta EF y DF.

Dado que E es el punto medio de PB, obtenemos EF‖PA,

∴∠FED es la recta fuera del plano DE y PA El ángulo formado (o su ángulo suplementario).

En Rt△AOB, AO=ABcos30°= =OP,

Entonces, en isósceles Rt△POA, PA= , entonces EF= .

En positivo △ ABD y positivo △PBD, DE=DF= .

cos∠FED= =

∴Recta diferente DE El tamaño del ángulo formado por PA es arccos.

20. Prueba: (1) Supongamos que la recta l que pasa por el punto T (3, 0) corta la parábola y2=2x en el punto A (x1, y1), B(x12, y2).

Cuando existe la relación de la línea recta l, la ecuación de la línea recta l es x = 3. En este momento, la línea recta l cruza la parábola en los puntos A (3,) y B (3,-). ∴ =3

Cuando existe la razón de la línea recta l, sea la ecuación de la línea recta l y=k(x-3), donde

En k≠0.

Cuando y2=2x

Obtenemos ky2-2y-6k=0, entonces y1y2=-6.

y=k( x -3)

Y ∵x1= y , x2= y ,

∴ =x1x2 y1y2= =3.

En resumen, la proposición "Si La recta l pasa por el punto T (3, 0), entonces =3" es una proposición verdadera.

(2) La proposición inversa es: Supongamos que la recta l corta la parábola y2=2x en dos puntos A y B, si = 3, entonces la recta pasa por el punto T (3, 0). Esta proposición es falsa.

Por ejemplo: toma los puntos A (2, 2). ), B (, 1) en la parábola, entonces = 3.

La ecuación de la recta AB es Y= (X 1), y T(3, 0) no está en la recta AB.

Explicación: Desde el punto de la parábola y2=2x A(x1, y1) y B(x12, y2) satisfacen =3, y podemos obtener y1y2=-6.

O y1y2=2, si y1y2=-6., podemos demostrar que la recta AB pasa por el punto (3, 0); si y1y2=2, se puede demostrar que la recta AB pasa por el punto (-); 1, 0) pero no el punto (3, 0).

21 Demuestre (1) cuando n= Cuando 1, a2=2a, entonces =a;

Cuando 2. ≤n≤2k-1, an 1=(a-1) Sn 2, an=(a-1) Sn-1 2,

an 1－an=(a－1) an, ∴ =a, ∴La secuencia {an} es una secuencia geométrica.

Resuelve (2) para obtener an de (1) =2a, ∴a1a2…an=2 a =2 a =a,

bn= (n=1, 2,…, 2k).

(3) Supongamos que bn≤, la solución es n≤k y n es un entero positivo, entonces cuando n ≤k, bnlt; ;

Cuando n≥k 1, bngt .

Fórmula original = ( -b1) ( -b2) … ( -bk) (bk 1- ) … (b2k- )

=(bk 1 … b2k)-(b1 … bk)

= = .

Cuando ≤4, obtenemos k2- 8k 4≤0, 4-2 ≤k≤4 2, y k≥2,

∴Cuando k=2, 3, 4, 5, 6, 7, se cumple la desigualdad original.

22. Solución (1) El valor mínimo de la función y=x (xgt; 0) es 2, entonces 2 =6, ∴b=log29 .

(2) Supongamos 0lt; x1lt; x2, y2-y1= .

Cuando lt; , arriba es una función creciente.

Por lo tanto, cuando x= o x=2, F(x) obtiene el máximo. valor ( )n ( )n;

Cuando x=1 Cuando F(x) obtiene el valor mínimo 2n 1.

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