Introducción al método de suavizado exponencial

El suavizado exponencial es otro método de pronóstico de series de tiempo ampliamente utilizado además de ARIMA (para ARIMA, consulte Introducción a los modelos de series de tiempo). El suavizado exponencial es una media móvil exponencial, que es una media móvil ponderada exponencialmente decreciente. El peso de cada valor disminuye exponencialmente con el tiempo y cuanto más recientes sean los datos, mayor será el peso. Los métodos de suavizado exponencial comúnmente utilizados incluyen el suavizado exponencial primario, el suavizado exponencial cuadrático y el suavizado exponencial cúbico.

El suavizado exponencial de primer orden, también llamado suavizado exponencial simple (SES), es adecuado para predecir series temporales sin tendencias ni estacionalidad obvias. El resultado previsto es una línea recta horizontal. El modelo tiene la forma:

donde es el valor real, es el valor predicho, es el valor suavizado, .

Defina el residuo, donde y se puede obtener mediante métodos de optimización.

Este modelo se puede aplicar fácilmente utilizando los modelos estadísticos de Python:

El efecto es como se muestra en la figura:

Holt extiende el suavizado exponencial simple para que pueda ser Se utiliza para predecir series de tiempo de tendencia de banda. Intuitivamente, significa que la diferencia de primer orden del valor suavizado (que puede entenderse como la pendiente) también se suaviza. El resultado de la predicción del modelo es una línea recta con una pendiente distinta de 0. El modelo se ve así:

Entre ellos, .

El efecto es como se muestra en la figura:

El resultado de la predicción obtenido por el método de tendencia lineal de Holt es una línea recta, lo que significa que la tendencia futura se considera fija. Para secuencias que tienen una tendencia en el corto plazo y tienden a ser estables en el largo plazo, se puede introducir un coeficiente de amortiguamiento y el modelo se puede reescribir como

Para describir la estacionalidad de la serie temporal. Holt y Winters ampliaron aún más el método de tendencia lineal de Holt y obtuvieron El modelo de suavizado exponencial cúbico se conoce comúnmente como modelo de Holt-Winters. Usamos . para representar el ciclo de "estaciones". Según las diferentes combinaciones de partes estacionales y no estacionales, el modelo de Holt-Winters se puede dividir en modelos aditivos y multiplicativos.

El modelo aditivo tiene la forma:

Entre ellos, , . es la parte entera de .

El efecto es como se muestra en la figura:

El modelo multiplicativo tiene la forma:

El efecto es como se muestra en la figura:

La parte de tendencia del modelo de Holt-Winters es la misma. Se puede introducir un coeficiente de amortiguación, que no se describirá aquí.

El método de optimización de parámetros consiste en minimizar la suma de errores al cuadrado o maximizar la función de verosimilitud. La selección del modelo puede basarse en criterios de contenido de información; los más utilizados incluyen AIC y BIC.

AIC es el criterio de información de Akaike, definido como

donde es la función de verosimilitud y es el número de parámetros. Cuando se utiliza AIC para seleccionar un modelo, se requiere que la función de probabilidad sea grande y se penaliza el número de parámetros. Cuando la función de probabilidad es similar, se selecciona un modelo con baja complejidad.

BIC es el criterio de información bayesiano, definido como

donde es el número de muestras. Cuando , por lo tanto, BIC penaliza la complejidad del modelo más severamente que AIC cuando el tamaño de la muestra es grande.

El método de suavizado exponencial lineal puede considerarse como un caso especial de ARIMA.

Por ejemplo, el suavizado exponencial simple es equivalente a ARIMA(0, 1, 1), el método de tendencia lineal de Holt es equivalente a ARIMA(0, 2, 2) y los métodos de tendencia amortiguada son equivalentes a ARIMA(1, 1, 2). etc.

También podríamos verificarlo.

se puede reescribir como

es decir,

Agregue ambos lados al mismo tiempo para obtener

y ARIMA(p, d, q ) puede representar es

donde está el operador de retraso (operador de retraso),.

Considere ARIMA(0, 1, 1)

Es decir,

Es decir,

Vamos, entonces los dos son equivalentes .

El método de suavizado exponencial no lineal no tiene representación ARIMA correspondiente.

[1] Hyndman, Rob J. y George Athanasopoulos. Previsión: principios y práctica, 2014.

[2] Suavizado exponencial - Wikipedia https://en. wikipedia.org/wiki/Exponential_smoothing

[3] Introducción a los modelos ARIMA - Duke https://people.duke.edu/~rnau/411arim.htm