Plan de lección optativa 1-2 de Matemáticas de secundaria "Expansión del sistema numérico y el concepto de números complejos"
Electiva 1-2 de Matemáticas de secundaria "Expansión del sistema numérico y concepto de números complejos" Plan de lección 1
Preparación para la enseñanza
Objetivos de enseñanza
Conocimientos y habilidades
1. Comprender el proceso de ampliación del sistema numérico y la necesidad de introducir números complejos
2. Dominar los conceptos relevantes y las formas simbólicas algebraicas de los números complejos. , los métodos de clasificación de números complejos y la igualdad de números complejos Condiciones necesarias y suficientes
Proceso y método
1. Mediante la introducción de la expansión del sistema numérico, permita a los estudiantes comprender las reglas generales de expansión del sistema numérico
2. A través de El proceso de abstracción específico permite a los estudiantes formar la forma general de números plurales
Actitudes y valores emocionales
1. Comprender el espíritu innovador y el espíritu práctico contenidos en el proceso de expansión de los sistemas numéricos, y sentir el pensamiento racional de los seres humanos. El papel de
2. Comprender los métodos de pensamiento matemático de analogía, discusión de clasificación y transformación equivalente
Puntos importantes y difíciles en la enseñanza
Puntos clave: la necesidad e importancia de introducir números complejos Conceptos relevantes, clasificación de números complejos, condiciones necesarias y suficientes para la igualdad de números complejos
Dificultades: la introducción de la unidad imaginaria i y el concepto de números complejos
Proceso de enseñanza
(1) Introducción al problema
De hecho , xey no existen en el rango de números reales? ¿Por qué sucede esto? Suponiendo que xey existan, entonces deben ser algunos números que no son números reales. Entonces, ¿qué es esto? ¿Problema? Esto es lo que vamos a aprender hoy "La expansión del sistema numérico y la introducción de los números complejos"
(2) Repaso del proceso de expansión del sistema numérico
Maestro: De hecho, no somos ajenos a esta situación de "números insuficientes". ¿Te acuerdas? Desde la escuela primaria hasta ahora, hemos estado experimentando una expansión continua de números. Ahora echemos un vistazo atrás y veamos cómo resolvimos el problema de "no hay suficientes números" en el pasado.
(3) Analogía, introduce nuevos números y amplía el conjunto de números reales
1 Analogía con las reglas de expansión de los sistemas numéricos, guía a los estudiantes a encontrar soluciones al problema de "no hay suficientes números reales"
Estudiante: Introduce un nuevo número para que el cuadrado sea negativo
Profesor: Esperamos que el cuadrado del número introducido sea negativo, pero hay infinitas Muchos números negativos y no estamos dispuestos a introducirlos todos a la vez. Tantos, ¿cuántos cuadrados son suficientes para introducir?
2. Recurrencia histórica:
3. Explora la forma general. de números complejos:
(4) Nuevo ¿El conjunto de los números? El conjunto de los números complejos
1 Definición de números complejos (omitido)
2. Aplicaciones de los números complejos: Los números complejos se utilizan ampliamente en matemáticas, mecánica, electricidad y otras disciplinas, los números complejos están estrechamente relacionados con los vectores, la geometría analítica plana, las funciones trigonométricas, etc., y son la base para un mayor aprendizaje de las matemáticas.
(5) Clasificación de los números plurales
(6) Condiciones necesarias y suficientes para la igualdad de los números plurales
Las condiciones necesarias y suficientes para la igualdad de los números plurales puede transformar el problema de la igualdad de números plurales en El problema de encontrar soluciones a un sistema de ecuaciones es una idea transformacional.
Resumen después de clase
1. Debido a necesidades prácticas, resumimos las reglas de los tres procesos de expansión de números utilizando el método de analogía, introducimos un nuevo número i,. y convertir el número real Se amplió el conjunto al conjunto de números complejos, se reconoció la forma algebraica de los números complejos, y se discutió la clasificación de los números complejos y las condiciones necesarias y suficientes para la igualdad de los números complejos, y las condiciones de se utilizó la igualdad para transformar el problema de números complejos en la solución del sistema de ecuaciones
2. Entonces, ¿qué son exactamente los números complejos? ¿Se puede encontrar su sombra en la realidad como los números reales? Nuestra exploración no se detendrá. Esto es lo que exploraremos la próxima vez.
Ejercicios después de clase
1. Ejercicios 3.1 Grupo A, Preguntas 1 y 2
2. Después de clase, explora si los números complejos se pueden comparar y por qué. (Puede consultar la información) Matemáticas de secundaria optativa 1-2 "Expansión del sistema numérico y el concepto de números complejos" Plan de lección 2
Objetivos de aprendizaje:
1. Comprender la necesidad de introducir números complejos; comprender y dominar la unidad de los números imaginarios i
2. Comprender y dominar las reglas de las cuatro operaciones aritméticas entre unidades numéricas imaginarias y números reales
3 Comprender y dominar los conceptos relevantes de los números complejos (conjuntos de números complejos, formas algebraicas, números imaginarios, Números imaginarios puros, parte real, parte imaginaria) Comprender y dominar los conceptos relacionados con la igualdad de los números complejos
El concepto de números complejos, la unidad imaginaria i, la clasificación de números complejos (números reales, números imaginarios, conceptos como números imaginarios puros) y la igualdad de números complejos son el enfoque de esta lección
Dificultades de aprendizaje:
Aprendizaje independiente
1. Repaso de conocimientos:
Se genera y desarrolla el concepto de números. De la práctica, debido a la necesidad de contar, se producen 1, 2 y el número 0 que representa "no". El número natural completo constituye el conjunto de números naturales N. Para resolver los problemas de medición y distribución. Al dividir ciertas cantidades en partes iguales, la gente introdujo fracciones; para expresar varias cantidades con significados opuestos y satisfacer las necesidades de contar, la gente introdujo números negativos. De esta manera, el conjunto de números se expandió al conjunto de números racionales Q. Obviamente N. P. Si el conjunto de números naturales (incluidos los enteros positivos y el 0) y el conjunto de números enteros negativos se combinan para formar el conjunto de números enteros Z, entonces existen Z Q, N Z. Si los números enteros se consideran fracciones con un denominador de 1, entonces el conjunto de números racionales. En realidad es un conjunto de fracciones.
Algunas relaciones entre cantidades, como el resultado obtenido al usar la longitud del lado de un cuadrado para medir su diagonal, no se pueden expresar mediante números racionales. Para resolver esta contradicción, se han introducido números irracionales. Los llamados números irracionales son infinitos decimales no periódicos. El conjunto de números racionales y el conjunto de números irracionales se combinan para formar el conjunto de números reales R. Porque los números racionales pueden considerarse decimales recurrentes (incluidos los enteros y los decimales finitos). ), y los números irracionales son infinitos decimales no periódicos, el conjunto de números reales es en realidad El anterior es el conjunto decimal
Se expande gradualmente debido a las necesidades de producción y desarrollo científico. El conjunto de números, para la propia disciplina matemática, también resuelve el problema de que ciertas operaciones en el conjunto de números original no siempre se pueden implementar. Las contradicciones, las fracciones resuelven la contradicción de indivisibilidad en el conjunto de números enteros, los números negativos resuelven la contradicción de resta insuficiente. El conjunto de números racionales positivos y los números irracionales resuelven la contradicción de las raíces cuadradas inagotables. Sin embargo, después de que el conjunto de números se expande al conjunto de números reales R, como x2= Ecuaciones como -1 todavía no tienen solución, porque no hay cuadrado de un real. El número es igual a -1 Debido a la necesidad de resolver ecuaciones, la gente introdujo un nuevo número llamado unidad imaginaria y el número complejo resultante
2. Nueva lección de investigación:
. 1. Unidad numérica imaginaria:
(1) Su cuadrado es igual a -1, es decir
(2) Los números reales pueden Al realizar cuatro operaciones aritméticas con él, el original; las leyes de la suma y la multiplicación aún se mantienen.
2. La relación con -1: Es una raíz cuadrada de -1, es decir, la ecuación x2=-1 Una raíz, la otra raíz de la ecuación x2. =-1 es - !
2. Periodicidad de: 4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n= 1
3. Definición de números complejos: Un número de la forma se llama número complejo, su parte real se llama número complejo y su parte imaginaria se llama número complejo. El conjunto de todos los números complejos se llama conjunto de números complejos representados. con la letra C*
4. Forma algebraica de números complejos: Los números complejos generalmente se representan con la letra z, es decir, expresar números complejos en la forma a+bi se llama forma algebraica de complejo. números
5. Números complejos, números reales, números imaginarios, La relación entre números imaginarios puros y 0: Para números complejos, si y solo si b=0, el número complejo a+bi (a, b ?R) es un número real a; cuando b?0, el número complejo z=a+bi se llama número imaginario cuando a=0 y b?0, z=bi se llama número imaginario puro; sólo cuando a=b=0, z es un número real 0.
6. La diferencia entre el conjunto de números complejos y otros conjuntos de números Relación: N Z Q R C.
7. definición de igualdad entre dos números complejos: Si la parte real y la parte imaginaria de dos números complejos son iguales respectivamente, entonces decimos que los dos números complejos son iguales
Es decir, si a, b, c, d?R, entonces a+bi=c+di a=c, b=d
La definición de igualdad de números complejos es encontrar el valor complejo y resolverlo en el conjunto de números complejos La base importante de las ecuaciones En términos generales, solo se puede decir que dos números complejos son iguales o desiguales, pero no se pueden comparar en tamaño. Por ejemplo, 3+5i y 4+3i no se pueden comparar en tamaño. p> Hay una proposición: No se pueden comparar dos números complejos, ¿verdad? No. Si dos números complejos son números reales, se pueden comparar solo cuando los dos números complejos no son todos números reales, no se pueden comparar. .
Explicación del ejemplo
Ejemplo 1 Por favor dinos las partes reales e imaginarias de los números complejos. ¿Existen números imaginarios puros?
Respuesta: ¿Existen? son todos números imaginarios y sus partes reales son 2, -3, 0, -; imaginarias Las partes son 3, , -, -; i es un número imaginario puro. ¿Partes reales e imaginarias del número complejo -2i+3.14?
Respuesta: La parte real es 3.14, y la parte imaginaria es -2
El error fácil es: la parte real. es -2, y la parte imaginaria es 3,14!
Ejemplo 3 Cuando el número real m toma qué valor, el número complejo z= m+1+(m-1)i es:
(1) ¿Número real? (2) ¿Número imaginario? (3) ¿Número imaginario puro?
[Análisis] Porque m?R, por lo tanto, m+1 y m-1 son números reales. El valor de m se puede determinar basándose en la condición de que el número complejo z=a+bi sea un número real, un número imaginario y un número imaginario puro.
Solución: (1) Cuando m-. 1 =0, es decir, cuando m=1, el número complejo
z es un número real;
(2) Cuando m-1?0, es decir, m?1, el número complejo z es un número imaginario
(3) Cuando m+1=0, y Cuando m-1?0, es decir, cuando m=-1, el número complejo z es un número imaginario puro
Ejemplo 4: Se sabe que (2x-. 1)+i=y-(3-y)i, donde x , y?R, encuentra x e y
Solución: Según la definición de igualdad de números complejos, obtenemos el sistema de. ecuaciones, entonces x= , y=4
Consolidación en el aula
1. Supongamos que el conjunto C={números complejos}, A={números reales}, B={números imaginarios puros }, si el conjunto completo S=C, entonces la siguiente conclusión es correcta ( )
A.A?B= C B. A=B C.A? B= D.B=C
A.x=- B.x=-2 o - C.x?-2 D.x?1 y x?-2
3. Números complejos z1=a+|b|i, z2=c+| d|i(a, b, c, d?R) , entonces la condición necesaria y suficiente para z1=z2 es ______.
4 Dado m?R, el número complejo z= +(m2+2m -3)i, ¿cuál es el valor de m, (1)z?R; (2)z es un número imaginario; (3)z es un número imaginario puro; (4)z= +4i. Exploración después de clase
1. Supongamos que el número complejo z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m)(m?R). valor de m.
2. Si la ecuación x2+(m+2i)x+(2+mi)=0 tiene al menos una raíz real, intenta encontrar el valor del número real m.
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