Ventana de análisis tiempo-frecuencia
Encontremos primero la transformada de Fourier de ψa, b(t)
Conceptos básicos del procesamiento de información geofísica
Si la transformada de Fourier de la wavelet madre ψ(t ) La transformación Ψ(ω) es una función de paso de banda con una frecuencia central de ω0 y un ancho de Dω, entonces Ψa, b(ω) es una función de paso de banda con un centro de ω0/a y un ancho de Dω/a, como se muestra en la Figura 6-4. Según la identidad de Parseval, obtenemos de la ecuación (6-21)
Conceptos básicos del procesamiento de información geofísica
Por lo tanto, la transformada wavelet continua proporciona el espectro de la señal en la ventana del dominio de frecuencia Ψa, b (ω ) o información local dentro de Ψ(aω).
Figura 6-4 Wavelet madre y características de frecuencia de la wavelet
Supongamos que ω0>0, a es una variable real positiva, entonces ω0/a puede considerarse como una variable de frecuencia. La relación entre el ancho de banda de Ψa, b(ω) y la frecuencia central es el ancho de banda relativo, es decir, [(Dω/a)/(ω0/a)] = Dω/ω0. El ancho de banda relativo no tiene nada que ver con el parámetro de escala a o la posición de la frecuencia central ω0/a. Esta es la llamada "propiedad Q constante". Después de considerar ω0/a como una variable de frecuencia, el plano "escala de tiempo" es equivalente al plano "tiempo-frecuencia". Por lo tanto, la capacidad de posicionamiento tiempo-frecuencia y la resolución de la transformada wavelet continua también se pueden describir mediante una ventana de análisis rectangular (ventana tiempo-frecuencia) en el plano de escala de tiempo. El rango de la ventana es:
El ancho de la ventana es aDt (es decir, el ancho efectivo de Ψa, b(t)), la altura es Dω/a (es decir, el ancho efectivo de Ψa, b (ω)), y el área es aDt × (Dω /a) = DtDω, no tiene nada que ver con a, sólo depende de la elección de ψ (t). Por tanto, una vez seleccionada la wavelet madre, se determina el área de la ventana de análisis.
Mecanismo de localización tiempo-frecuencia de la transformada wavelet: para la situación en la que el parámetro a es fijo y el parámetro b cambia, la transformada wavelet (CWTψ) (a, b) es una función en el dominio del tiempo sobre la variable b desde Ψa; , b (ω) es una función de ventana de frecuencia, y la transformada wavelet (CWTψ) (a, b) es en realidad una función en el dominio del tiempo limitada al rango de subbanda.
Para el caso en el que el parámetro a y el parámetro b son ambos fijos, dado que ψa, b(t) son funciones de ventana de tiempo y Ψa, b(ω) son funciones de ventana de frecuencia, (CWTψ) (a, b ) en realidad tienen un alcance limitado. Dado que (CWTψ)(a,b) es una transformación integral correspondiente a f(t), la transformada wavelet (CWTψ)(a,b) en realidad convierte f(t) y F(ω) bajo el mecanismo de transformación integral. una expresión localizada limitada a la ventana de tiempo-frecuencia. En otras palabras, el desempeño de (CWTψ)(a,b) en la ventana de tiempo corresponde al desempeño de f(t) en la ventana de tiempo, y el desempeño de [(CWTψ)(a,b)] en la ventana de tiempo ventana corresponde a F (ω) Rendimiento dentro de la ventana de frecuencia.
La adaptabilidad de la ventana tiempo-frecuencia (ventana de análisis) de la transformada wavelet: observada a partir de la selección de parámetros de la función de ventana wavelet ψa, b(t). b solo afecta la posición de la ventana de análisis en el eje de tiempo del plano de fase, mientras que a no solo afecta la posición de la ventana de análisis en el eje de frecuencia, sino que también afecta la forma de la ventana de análisis. Cuando a es pequeño, el centro de la ventana de frecuencia ω0/a se ajusta a la posición de un centro de frecuencia más alto, y la forma de la ventana de tiempo-frecuencia se vuelve más estrecha porque la amplitud de las señales de alta frecuencia cambia mucho en un dominio de tiempo corto; y el contenido de frecuencia es alto, por lo que esta ventana de tiempo-frecuencia "estrecha" está exactamente en línea con las características locales de tiempo-frecuencia de las señales de alta frecuencia. Cuanto más pequeño es el parámetro de escala a, más estrecho es el ancho efectivo de la wavelet ψa. b(t) será, por lo que la resolución en el dominio del tiempo del análisis wavelet será mayor. De manera similar, cuando a es mayor, el centro de la ventana de frecuencia ω0/a se ajusta a una posición más baja, y la forma de la ventana de análisis de tiempo-frecuencia se vuelve más ancha porque las señales de baja frecuencia solo tienen un contenido de frecuencia más bajo en un rango de dominio de tiempo más amplio, por lo que; Esta "amplia" ventana de tiempo-frecuencia coincide exactamente con las características locales de tiempo-frecuencia de las señales de baja frecuencia.
De esta manera, la transformada wavelet puede ajustar los pasos de muestreo de diferentes frecuencias en el dominio del tiempo, es decir, la resolución temporal de la transformada wavelet es pobre en frecuencias bajas, pero la resolución de frecuencia es alta en frecuencias altas; de la transformada wavelet es La velocidad es alta, pero la resolución de frecuencia es baja, lo que está exactamente en línea con las características de las señales de baja frecuencia que cambian lentamente y las señales de alta frecuencia que cambian rápidamente. Aquí es donde es superior a la transformada de Fourier clásica y a la transformada de Fourier de tiempo corto.
Figura 6-5 El ancho de la ventana de análisis de la transformada wavelet se estrecha a medida que aumenta la frecuencia (la escala disminuye)
En términos generales, la transformada wavelet tiene mejor rendimiento que Fourier de tiempo corto transformar Mejores características de la ventana de análisis tiempo-frecuencia. WFT solo tiene una ventana de análisis de tiempo-frecuencia constante. No importa dónde esté el centro de la ventana de frecuencia, la forma de la ventana de tiempo no cambia. La ventana de análisis de tiempo-frecuencia parece ser muy simple. La ventana de análisis de frecuencia de la transformada wavelet es flexible y ajustable. Esta valiosa propiedad de la transformada wavelet se denomina propiedad de "zoom". La Figura 6-5 ilustra esta propiedad, que contrasta marcadamente con la Figura 6-2.