¿Cuál es la ecuación general de una sección cónica y cómo encontrarla?
Ahora que los nuevos estándares curriculares enseñan la matriz, permítanme explicarla utilizando conocimientos relevantes. Las secciones cónicas son curvas cuadráticas y las ecuaciones de secciones cónicas del libro de texto son solo ecuaciones estándar.
La ecuación general de la curva cuadrática es: Ax^2 By^2 Cxy Dx Ey F=0
¿Qué representa esta ecuación? ——Representa todas las curvas cuadráticas, incluidos círculos, elipses, hipérbolas, parábolas, puntos, figuras bilineales y sin rastros. Estos gráficos se pueden traducir y rotar arbitrariamente.
Si se da la ecuación Ax^2 By^2 Cxy Dx Ey F=0 y es necesario determinar el tipo de curva, no es fácil verlo directamente en este momento, por lo que es necesario realizar algún procesamiento. se requiere.
(1) Consideremos primero la curva degenerada - recta doble y punto, si y sólo si el determinante Det3=
|A C/2 D/2|
< Cuando p>|C/2 B E/2 | = 0,|D/2 E/2 F |
la curva cuadrática es degenerada. En este momento, si det2=AB-C^2/4=0, la elipse degenera en un punto; si no es igual a 0, es una línea recta.
Si es una recta, primero haz A positiva,
① Rectas paralelas o coincidentes, expande y compara (ax por c) (ax por d)=0, AB es el mismo número.
Cuando D/E=√(A/B) o D√B=E√A, y C=2√(AB), las pendientes de las dos rectas son las mismas. , si 2F=D /√A o 2F=E/√B, entonces coinciden, en caso contrario son paralelos. Si se requiere una línea recta, entonces a=√A, b=√B, c d=D/√A=E/√B, cd=F
②Líneas rectas que se cruzan y que no lo hacen. cumplir ① son líneas rectas que se cruzan, si A = -B, luego descomponga el factor para verificar si es vertical.
(2) Para curvas cuadráticas no degeneradas, Det3≠0, luego consulte
Det2=
|A C/2|
|C/2 B |
Es decir, Det2=AB-C^2/4
Det2gt; 0, elipse, si A=B, es un círculo; Det1= A Bgt; 0 (hacer A positivo primero), y Det3gt 0, es un gráfico sin trayectoria (no se considera degenerado).
Det2lt; 0, hipérbola;
Det2=0, parábola.
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Hablemos de degeneración nuevamente, para la forma estándar,
Dividiendo los lados izquierdo y derecho de la elipse por infinito, obtenemos x^2/a^2 y^2/b^2=0, que degenera en un punto.
La hipérbola degenera, x^2/a^2-y^2/b^2=0, y degenera en líneas rectas dobles que se cruzan, que son sus asíntotas.
La parábola degenera, y^2=a, degenera en rectas dobles paralelas o superpuestas.
Tres curvas y sus formas degeneradas, después de la rotación y traslación, las características simbólicas de Det1, Det2 y Det3 anteriores no cambian, por lo que se puede juzgar que estos tres valores se denominan invariantes de curva cuadrática.