Prefacio a la segunda edición de Práctica de álgebra lineal e introducción a MATLAB

En 2005, el autor compiló la primera edición de este libro basándose en su experiencia en el uso de matrices en la compilación de libros durante los últimos diez años y en la práctica de la reforma de los libros de texto de álgebra lineal en los Estados Unidos. El prefacio escrito en ese momento reflejaba principalmente la experiencia extranjera y esperaba que China hiciera lo mismo. Después de enviar el manuscrito, el autor solicitó el proyecto del fondo de reforma educativa "Uso de herramientas de software para mejorar el nivel de enseñanza del álgebra lineal" en la Universidad de Ciencia y Tecnología Electrónica de Xi'an, realizó una clase de capacitación a la que asistieron más de 40 profesores y organizó a varios docentes para realizar tres sesiones consecutivas* **Un piloto de reforma docente que involucró a más de 800 estudiantes. Este proyecto recibió posteriormente el apoyo de la División de Ciencias e Ingeniería del Ministerio de Educación y del Comité Directivo de Enseñanza de la Rama del Curso Básico de Matemáticas de la Enseñanza de Matemáticas. Comité Directivo, y fue evaluado en mayo de 2008. El prefacio de esta segunda edición se centra en presentar nuestras experiencias y experiencias en reforma educativa en los últimos tres años.

Los principios rectores básicos de la reforma educativa son dos: primero, "impulsado por la demanda, orientado a la aplicación". Basado en el análisis de un gran número de aplicaciones de cursos de seguimiento en carreras de mecánica y electrónica. , se propone que el objetivo de este curso sea poder resolver problemas de álgebra lineal por encima del nivel 6, el segundo es "promoción de la tecnología, introducción del cálculo por computadora", con la ayuda de medios modernos, para lograr la combinación de abstracción; e imagen, la combinación de cálculo escrito y cálculo informático, la combinación de cursos básicos y cursos profesionales. Hemos realizado trabajos específicos en los siguientes aspectos.

Una demostración general de los requisitos didácticos del plan de estudios

Los requisitos de las cuatro modernizaciones sobre la modernización educativa se reflejan primero en la creciente expansión y profundización de los requisitos para los cursos profesionales, y Luego se refleja desde los cursos profesionales hasta los cursos básicos Impulsar la reforma e innovación de todo el plan docente. Para garantizar un alto nivel de enseñanza, esta cadena de demanda debe demostrarse con frecuencia. La demostración ABET que suelen realizar las universidades extranjeras incluye este contenido. Desafortunadamente, no se ha realizado tal demostración en cursos de álgebra lineal en China. Parece que a nadie le importa cómo el contenido del curso puede satisfacer las necesidades de los cursos profesionales. Cuando hacemos este trabajo, nos enfocamos en una gran cantidad de estudiantes de mecánica y electrónica para analizar las necesidades de sus cursos posteriores en modelado y cálculo matricial para determinar las tareas de los cursos de álgebra lineal.

Basándonos en más de diez años de práctica de compilación de libros sobre el uso de cálculos científicos en múltiples cursos, encontramos más de diez cursos en los que se pueden usar ecuaciones lineales antes del tercer año de universidad en estas dos especialidades: química , estudios avanzados Matemáticas, circuitos, mecánica teórica, mecánica de materiales, métodos de cálculo, transferencia de calor, física, infografía, señales y sistemas, procesamiento de señales digitales, vibración mecánica, robótica, etc. (se enumeran ejemplos de cálculos y modelado matricial incluidos en esta edición). Sin embargo, en los libros de texto reales, los cálculos matriciales básicamente no se utilizan en estos cursos. La razón es que el contenido actual que se enseña en álgebra lineal no está en contacto con las necesidades de los cursos posteriores.

La primera manifestación de la desconexión es el orden N (refiriéndose al mayor entre el número de ecuaciones y el número de variables. El orden del equilibrio de ecuaciones químicas es el número total de sustancias antes y después de la). Fórmula de reacción, tres sustancias en cada lado, N es 6. Hay 6 ecuaciones para el equilibrio de un solo objeto en el espacio en estática. Con un objeto más, las ecuaciones se duplican. El número de nodos en el diagrama del circuito corresponde al número de ecuaciones. Se puede ver que el N requerido para los cursos universitarios es al menos 6 o más, mientras que en la práctica de la ingeniería alcanzará cientos y miles. La segunda manifestación es el tipo de sistema de ecuaciones. En experimentos físicos y diversas ciencias de la medición, se utilizan datos redundantes para mejorar la precisión y a menudo se encuentran ecuaciones sobredeterminadas. Sin embargo, la mayoría de los cursos existentes no enseñan ecuaciones sobredeterminadas. La tercera manifestación es el dominio numérico. Los circuitos de CA y el procesamiento de señales a menudo encuentran ecuaciones algebraicas complejas.

Con base en el análisis anterior, en la reforma docente hemos posicionado el objetivo práctico del curso como: sobre la base de mantener el nivel teórico y práctico original, permitir a los estudiantes aprender a resolver eficientemente sexto orden y arriba, números complejos y problemas lineales sobredeterminados Problema de álgebra. La comparación entre las antiguas y las nuevas exigencias pedagógicas se puede ilustrar con imágenes. La parte blanca en la imagen es el área de cobertura del esquema actual. Generalmente solo puede resolver problemas de tercer orden y solo puede encontrar valores propios de hasta segundo orden. El área gris es difícil de calcular por escrito debido a cálculos complejos, y al área negra no se le enseña ningún algoritmo. Además, debido a que está limitada a problemas de números reales, el área blanca se reduce a la mitad. El objetivo recientemente propuesto es que los estudiantes puedan resolver problemas que cubran toda la gráfica, incluidas ecuaciones reales y complejas, y el orden pueda extenderse a docenas o cientos de órdenes, de modo que puedan conectarse sin problemas con cursos posteriores.

Más del 80% de las preguntas de cursos posteriores no caerán en el área blanca. Probablemente solo haya un puñado de profesores de álgebra lineal que puedan resolver las preguntas de este libro, por lo que el nivel de álgebra lineal. La educación en nuestro país también es evidente.

Sobre cómo introducir software informático

¿Por qué la gente es reacia a utilizar matrices para resolver problemas? Porque sin las herramientas para operaciones matriciales, incluso las preguntas de bajo nivel son menos eficientes que la sustitución y la eliminación. La gente preferiría utilizar métodos de resolución de problemas de la escuela secundaria. En cuanto al problema complejo de alto orden de N gt;4, es aún más decepcionante, por lo que si no se enseñan las herramientas, nadie estará dispuesto a utilizar matrices en cursos posteriores. Muchos estudiantes informaron que habían aprendido álgebra lineal pero nunca la usaron en sus estudios universitarios, y que solo fue útil para los exámenes de ingreso de posgrado. Esto simplemente no puede reflejar el estatus del álgebra lineal como curso básico en el plan de enseñanza, y no lo hace; Permita que los estudiantes comprendan la importante posición del álgebra lineal en los cálculos científicos y mucho menos hablen de ella.

La única forma de lograr el objetivo de resolver ecuaciones complejas de alto orden es utilizar una computadora, especialmente las mejores herramientas de software. De hecho, no son sólo las computadoras las que ayudan al álgebra lineal, sino que el álgebra lineal también es muy útil para los cálculos científicos. La principal ventaja de las computadoras sobre las calculadoras no es que sean más rápidas en una sola operación, sino que pueden realizar operaciones continuas sobre datos masivos. La mejor manera de organizar datos masivos es una matriz. Por ejemplo, para calcular una transformada de Fourier de 1024 puntos, necesita multiplicar la matriz de señales por una matriz cuadrada de 1024 × 1024, que contiene más de 1 millón de datos (consulte el Ejemplo 10.9 en este libro). Sin el concepto de matriz, cómo asignar valores y organizar una cantidad tan grande de datos sería un problema. Por lo tanto, es difícil aprovechar al máximo el poder de las computadoras antes de aprender matrices. Es la opción más adecuada para completar la transición de las calculadoras a las computadoras al aprender álgebra lineal.

Algunos profesores se oponen al uso de computadoras en las clases de álgebra lineal. La razón es que cuando los estudiantes usan computadoras para calcular problemas, inevitablemente relajarán sus cálculos y usarán su cerebro, lo que afecta su comprensión de los conceptos básicos. . Algunas personas incluso utilizan como argumento la prohibición de que los estudiantes de primaria utilicen calculadoras, argumentando que es razonable prohibir el uso de ordenadores en el primer año de universidad.

Los profesores que sostienen los puntos de vista anteriores probablemente nunca hayan calculado problemas escritos por encima del nivel 6. No saben lo que es hacer cientos de multiplicaciones a mano sin cometer errores, y no conocen la importancia. del CAD en la modernización. Por lo tanto, no enseñar a los estudiantes conocimientos avanzados por miedo a ser "vagos" es extremadamente perjudicial para la educación y la ciencia. El argumento de que "las nuevas tecnologías hacen que la gente sea perezosa" se ha repetido innumerables veces en la historia, pero sólo demuestra que uno es "perezoso" para mantenerse al día. En una sociedad de la información abierta, deberíamos animar a los estudiantes universitarios a buscar la última tecnología para resolver cualquier problema en Internet y en todo el mundo. ¿Cómo podemos bloquear el conocimiento? En cierto sentido, si la gente no quisiera ser "perezosa", no habría invención de diversas máquinas ni progreso tecnológico. Usar métodos científicos para "ser vago" es un comportamiento que debe promoverse. Si las universidades no promueven vigorosamente el aprendizaje de los últimos conocimientos, ¿cómo pueden cultivar "talentos innovadores"? Si bien permite a los estudiantes dominar más conocimientos y habilidades informáticas, para evitar que se traguen la información sin dudarlo, al dar ejercicios y hacer preguntas, deben darse la vuelta y dejarles usar su cerebro y no pueden simplemente plagiar. enseñar; pero no debe simplemente enseñar un enfoque estúpido, no enseñar nuevas tecnologías. De lo contrario, ¿cuáles son los “tres aspectos”? ¿No se convertirían los estudiantes formados de esta manera en tontos ignorantes en comparación con el mismo nivel de talentos formados en los países desarrollados?

En nuestra práctica docente, más de 800 estudiantes han participado en el piloto de reforma educativa. Los estudiantes en el piloto en general están contentos de tener acceso a herramientas modernas cuando ingresaron por primera vez a la universidad, y también son buenos en. cálculos. , y orgulloso de poder calcular. No sólo sus habilidades prácticas para resolver problemas superan con creces las de las clases ordinarias, sino que sus puntuaciones en los exámenes teóricos también son más altas que las de las clases ordinarias. No hemos puesto especial esfuerzo en la educación teórica. Las razones de la mejora pueden ser: (1) Una gran cantidad de ejemplos y enseñanza visual han mejorado el entusiasmo de los estudiantes por aprender. (2) Abogamos por la combinación de cálculo escrito y cálculo por computadora; en el plan de estudios. (3) El tiempo ahorrado por los estudiantes en los cálculos les ayudará a pensar más en los conceptos. La práctica ha demostrado que el miedo a que los estudiantes sean perezosos es innecesario.

Creemos que el departamento de educación realmente necesita hacer planes para el cultivo completo de las habilidades informáticas científicas de los estudiantes desde la escuela primaria hasta la universidad.

La mejor manera de evitar que los estudiantes se vuelvan adictos a Internet no es bloquearlos, sino guiarlos para que utilicen las computadoras para estudiar y resolver problemas. "¡Las computadoras deben iniciarse desde la niñez!" Desde una perspectiva internacional, no es demasiado temprano para que los estudiantes de primer año aprendan a usar las computadoras para resolver problemas.

Sobre cómo cultivar la capacidad de pensamiento abstracto de los estudiantes

En el pasado curso de álgebra lineal, faltaban ejemplos de aplicación y las operaciones numéricas eran demasiado engorrosas, por lo que tuvimos que considerar "Capacidad de pensamiento abstracto" Como principal objetivo formativo del curso, no estamos de acuerdo con esta formulación. La primera es que los objetivos son inadecuados. Los estudiantes de primer año de ingeniería todavía tienen muy poco conocimiento perceptivo, el concepto de espacio tridimensional aún no se ha establecido y el conocimiento práctico de la ingeniería está casi en blanco. No hay base para el pensamiento abstracto. en absoluto; los profesores ponen una gran cantidad de información sin terminar en imágenes o libros. Enseñar "pensamiento abstracto" vacío sin aprender o enseñar los problemas prácticos a resolver es poner el carro delante del caballo y es perjudicial e inútil. Está mal. ¿Se puede cultivar la capacidad de pensamiento abstracto hablando únicamente de teoría sin conectarla con la realidad? ¡De nada! Si los estudiantes no saben cómo utilizar el modelado matricial para resolver problemas en las áreas del curso con las que están familiarizados, ¿cómo se puede esperar que piensen de manera abstracta sobre problemas más profundos? ¡Esta es la ley del pensamiento humano!

Tanto los profesores como los estudiantes deben someterse a una gran formación desde lo perceptivo hasta lo racional para poder desarrollar habilidades de pensamiento abstracto. Por lo tanto, al enseñar debemos aprovechar las herramientas de software para visualizar conceptos abstractos; debemos presentar una gran cantidad de ejemplos de modelado matricial para que los estudiantes puedan darse cuenta de las ventajas del uso de matrices; De hecho, si lo ves demasiado, lo imitarás. Sólo permitiendo a los estudiantes ver que el álgebra lineal se puede modelar en varios cursos con los que están familiarizados y que puede resolver problemas rápidamente podrán aprender gradualmente a usar matrices para modelar.

Comencé a encontrarme con matrices en la década de 1970, pero solo las usaba para razonar y no podía usarlas para resolver problemas. En 1995, entré en contacto con MATLAB y descubrí sus ventajas especiales en la resolución de problemas matriciales. Simplemente escriba Al formular expresiones matriciales, los problemas se pueden resolver rápidamente. Así que intenté utilizar el modelado matricial y la resolución de problemas en varios cursos, y escribí varios libros de texto que cubrían más de diez cursos (ver referencias), de modo que no importa cuán complejos sean los diagramas de flujo de señales continuas y discretas, se puedan resolver fácilmente por computadora. . En este libro, se refleja en las Secciones 8.6.3, 8.6.4 y 10.11. Esto muestra que el pensamiento abstracto requiere una gran cantidad de práctica de modelado como base y el dominio de herramientas avanzadas de resolución de problemas para estar motivado y requiere una práctica de investigación científica a largo plazo, no un curso de matemáticas que solo habla de teoría y no está conectado; con práctica.

Integración de temas de ciencia e ingeniería y formación docente

El álgebra lineal en materias de ingeniería pertenece a las matemáticas de ingeniería Para utilizar las matemáticas en ingeniería, los profesores deben tener una base matemática sólida y la ingeniería necesaria. conocimiento. La reforma de la enseñanza del álgebra lineal ha agregado software matemático y los profesores deben tener un buen conocimiento de la programación de software, además, también deben acumular experiencia docente; El álgebra lineal es un curso de gran volumen y amplio alcance. Entre 1 y 2 millones de estudiantes toman este curso cada año, y puede haber entre 10.000 y 20.000 profesores de álgebra lineal en todo el país. Algunos de ellos se especializan en matemáticas y otros en ingeniería. Se necesita mucho esfuerzo para adaptarse a los requisitos de enseñanza de los cálculos escritos y por computadora.

Algunas personas sugieren que las clases de matemáticas deben ser impartidas bien por personas con experiencia en matemáticas. Esto es muy unilateral. Además, para competir por la carga de trabajo de sus propios profesores, los departamentos de ingeniería de algunas escuelas piensan que el álgebra lineal es simple y fácil de enseñar, y dejan que los nuevos profesores de ingeniería la manejen sin entrenamiento ni capacitación. La demanda y la aplicación son la orientación del desarrollo de las materias. Para servir mejor a la aplicación de las matemáticas de ingeniería, necesitamos profesores que hayan nacido en matemáticas y estén interesados ​​en la ingeniería, y profesores que hayan nacido en ingeniería y estén interesados ​​en las matemáticas. Todos ellos pueden hacer mayores contribuciones a la reforma de la enseñanza de las matemáticas de ingeniería. Por el contrario, un profesor que viene de una carrera de matemáticas pero no está interesado en la ingeniería, o un profesor que viene de una carrera de ingeniería pero no está interesado en las matemáticas, definitivamente no podrá enseñar bien las matemáticas de ingeniería. Según nuestra experiencia, la combinación de estos dos tipos de profesores en la reforma de la enseñanza del álgebra lineal en ingeniería es muy importante. Nunca debe haber puntos de vista sectarios. Cada uno debe aprender las fortalezas del otro y superar sus propias deficiencias. Nuestro nuevo libro de texto "Álgebra lineal de ingeniería (edición MATLAB)" se completó con la cooperación de profesores de carreras de ingeniería y matemáticas.

Vale la pena aprender de la experiencia extranjera.

Las cinco recomendaciones del LACSG sobre la reforma de la enseñanza del álgebra lineal en los Estados Unidos fueron propuestas conjuntamente por expertos en matemáticas y autoridades de la comunidad de ingeniería en una reunión. Algunas tareas de enseñanza de matemáticas de ingeniería en las universidades estadounidenses también son realizadas por departamentos de ingeniería, como los cursos de teoría de la probabilidad y estadística matemática de la Universidad de Stanford. Incluso si las matemáticas de ingeniería son enseñadas por profesores del Departamento de Matemáticas, debido a que las universidades se dividen tarde en especialidades y los profesores de matemáticas participan en muchos proyectos de investigación científica combinados con ingeniería, sus conocimientos de ingeniería son generalmente mucho mejores que los de los profesores chinos. como se puede ver en sus libros de texto de álgebra lineal (ver Referencias [1] ~ [4]) tienen una rica experiencia en ingeniería. Para impulsar la reforma curricular en la dirección correcta, se debe fortalecer la capacitación y la evaluación de los docentes. Independientemente de su formación, los docentes deben tener un gran interés en la ingeniería y las matemáticas y estar dispuestos a combinar mejor ambas. Los profesores deben ser formados, evaluados y seleccionados en función de cuatro condiciones: una base matemática sólida, los conocimientos de ingeniería necesarios, una buena capacidad de programación y una rica experiencia docente.

Cuestiones que requieren mayor exploración

Para facilitar la prueba del efecto de la reforma educativa y prepararnos para el examen de ingreso de posgrado, nuestra reforma tiene restricciones, que es mantener la teoría original. El contenido de álgebra lineal no cambia. Solo aumenta el contenido práctico y mejora las habilidades de resolución de problemas. Esto inevitablemente requerirá un aumento en las horas de clase. Entre los créditos adicionales, MATLAB representa 4 horas, el tiempo de computadora representa 10 horas (un total de 5 horas) y la práctica de álgebra lineal representa 6 horas. Excluyendo las 9 horas de MATLAB, el álgebra lineal tomó 6 horas más, incluida más enseñanza sobre soluciones de ecuaciones sobredeterminadas y teorías adicionales relacionadas con los cálculos (como velocidad y precisión de los cálculos, números de condición, descomposición de valores singulares, etc.).

De hecho, hay margen para reducir el número de horas necesarias para la teoría del álgebra lineal. Las Recomendaciones del LACSG en Estados Unidos recomiendan que todos los cursos se dirijan a carreras no relacionadas con las matemáticas, con énfasis en la aplicación; ya no se debe enfatizar el pensamiento abstracto, y solo se deben ofrecer cursos adicionales para los departamentos de matemáticas para fortalecer la abstracción. Algunas universidades simplemente han rebautizado el álgebra lineal de ingeniería como "aplicaciones matriciales". Todas estas medidas tienen como objetivo reducir el "sabor matemático" demasiado abstracto de los cursos de álgebra lineal originales. Creo que si las preguntas del examen unificado de posgrado se pueden reformar simultáneamente para reducir la abstracción y resaltar la aplicación, entonces no debería ser difícil reducir la parte teórica en 6 horas de crédito. Por supuesto, esto aún debe ser explorado por todos, y también requiere una orientación e intervención correctas de los departamentos de orientación docente, como el Comité de Instrucción Docente y los departamentos administrativos y de exámenes.

6. Opiniones de valoración de este proyecto por parte del Comité Directivo Docente y expertos de esta escuela

En mayo de 2008 se publicó la orientación docente para los cursos de matemáticas básicas de la Dirección Docente de Matemática y Estadística. El comité del Ministerio de Educación fue El comité y la Universidad de Ciencia y Tecnología Electrónica de Xi'an organizaron conjuntamente un equipo de evaluación para realizar la evaluación de aceptación de este proyecto que se ha implementado durante muchos años. El dictamen de evaluación señaló:

“Este proyecto examina el contenido y los métodos de enseñanza del álgebra lineal desde la perspectiva de la aplicación de la tecnología de ingeniería e integra conocimientos de ingeniería, ejemplos de aplicación y software de computación científica moderna en la enseñanza del álgebra lineal. , en línea con La dirección de las reformas de la enseñanza nacionales y extranjeras y las tendencias internacionales son útiles para lograr el objetivo de "mejorar el nivel de modernización educativa". Es el primero de su tipo en la enseñanza de cursos de álgebra lineal en el país. p> "Práctica de álgebra lineal y MATLAB" compilados por el grupo de investigación Los dos libros de texto "Introducción" y "Engineering Linear Algebra (MATLAB Edition)" reflejan mejor la combinación de la teoría clásica y los métodos informáticos modernos, visualizan conceptos abstractos y permiten algunos complejos. resolver problemas de computación y estimular el interés de los estudiantes por aprender, cultivar habilidades de resolución de problemas, mejorar la calidad de la enseñanza y sentar una buena base para la aplicación del conocimiento de álgebra lineal en cursos relacionados posteriores. Las ideas de reforma y la experiencia de reforma adquirida por este grupo de investigación son ejemplares, los materiales didácticos publicados y las prácticas docentes han tenido un mayor impacto dentro y fuera de la escuela, los efectivos cursos de formación docente impartidos por el equipo de investigación y los conjuntos de programas proporcionados. El material didáctico y otros materiales didácticos han creado una buena base para la promoción y aplicación de este proyecto.

El grupo de expertos elogió los notables resultados logrados por el equipo del proyecto en la reforma de la enseñanza del curso de álgebra lineal en el pasado. dos años, y creyó unánimemente que el concepto de reforma del proyecto es avanzado, distintivo e innovador. Es un logro de reforma docente de alto nivel con un buen valor de promoción.

”

Implementaremos mejor las opiniones del grupo de expertos y trabajaremos duro para promover este resultado en todo el país. La revisión de este libro es una de las medidas. También esperamos que más universidades y profesores de todo el país lo hagan. Estados Unidos tardó seis años en promover el proyecto de "mejorar la enseñanza del álgebra lineal con herramientas de software" en todo el país. Por lo tanto, es difícil para nuestro país lograrlo al mismo tiempo sin hacer grandes esfuerzos. El álgebra lineal se puede aprender en clase. La introducción de herramientas de software afectará directamente el proceso de modernización de casi todos los cursos posteriores y, por supuesto, también afectará el proceso de modernización de la educación en nuestro país. que han estudiado teoría del álgebra lineal, incluidos estudiantes de último año, profesores e ingenieros. También es muy importante que el personal técnico y otros realicen capacitación en el trabajo y recuperen la práctica del álgebra lineal, de lo contrario no podrán hacerlo. resolver problemas prácticos de ingeniería Para atender mejor a estos lectores, hemos publicado la segunda edición de este libro. Se ha agregado el Capítulo 10 y se han agregado algunos ejemplos detallados de aplicación de álgebra lineal en cursos posteriores para estudiantes de mecánica y electrónica. Los estudiantes universitarios no necesitan estudiar este capítulo.

Notas de publicación

Debido a la combinación de computadoras y álgebra lineal, han surgido algunos problemas nuevos en la impresión y composición tipográfica de este capítulo. libro, y necesitamos integrar mejor los dos. Lo hemos tratado de la siguiente manera:

(1) En el texto narrativo, todo de acuerdo con las reglas de formato originales de los libros de álgebra lineal. Si se encuentran funciones o declaraciones, las matrices todavía están en negrita y cursiva y los subíndices todavía están en fuentes pequeñas, como [p, lamda]=eig(A3)

(2) Todas las partes de interacción con la computadora en. el libro está en fuente blanca, es decir, los segmentos completos del programa MATLAB o las líneas del programa que se ingresan a la computadora están todos en fuente blanca, como A1 = A3 * A4, porque la computadora no la acepta. ​en negro y cursiva, y los subíndices no pueden estar en fuentes pequeñas. Esto es consistente con el ensamblaje descargado que proporcionamos. Los resultados que muestra la computadora después de ejecutar el programa están todos en blanco. Ingrese [p, lamda]=eig(A3)

Obtener

(3) Además de explicar el orden de la matriz Am×n, el operador de multiplicación no usa × y * se usa de manera uniforme o se omite por completo, como A*B o AB

Chen Huaichen en Silicon Valley, EE. UU., en julio de 2008