Problemas con la construcción de reglas poligonales regulares

Hace más de dos mil años, los antiguos matemáticos griegos llevaron a cabo una investigación en profundidad sobre un tipo de problema de dibujo, a saber: cómo utilizar reglas y compás para construir polígonos regulares inscritos. Ya en el libro "Elementos de geometría", Euclides utilizó reglas y compás para completar el problema de construir triángulos regulares, cuadriláteros regulares, pentágonos regulares e incluso pentágonos regulares inscritos en un círculo. Sin embargo, los polígonos regulares 7, 9, 11... que parecían más fáciles de completar no se hicieron. Lo que avergonzó a los matemáticos posteriores fue que durante más de 2.000 años después de Euclides, el dibujo de polígonos regulares todavía se mantuvo al nivel de Euclides y no logró dar un paso adelante. Por lo tanto, podemos imaginar el enorme impacto que causó en la comunidad matemática cuando Gauss, que sólo tenía 19 años, anunció en 1796 que había descubierto el método de dibujar heptágonos regulares.

Sin embargo, los resultados de Gauss son algo extraños. No completó el dibujo de un heptágono regular o un nonágono regular, sino que simplemente separó los del medio y completó directamente el heptágono regular. ¿Por qué el primer nuevo polígono regular se convierte en un heptágono regular y no en un heptágono regular o nueve? Después del gran descubrimiento de Gauss, aún queda la pregunta: ¿se puede completar un heptágono regular o un nonágono regular, etc., con una regla? O para plantear la pregunta más claramente: ¿Qué características tiene el número de lados de un polígono regular para que se pueda hacer con regla y compás?

Después de continuas investigaciones, Gauss finalmente dio una hermosa respuesta a todo el problema en 1801. Gauss señaló que si se utiliza sólo un compás y una regla para construir un polígono regular de n lados inscrito en un círculo, sólo se podrá construir cuando n satisfaga una de las siguientes características:

1) n =2^m; ( es un entero positivo )

2) El número de lados n es un número primo y tiene la forma n=2^(2^t)+1 (t=0, 1). , 2...). En pocas palabras, es un número primo de Fermat.

3) El número de aristas n tiene n=2^mp1p2p3...pk, donde p1, p2, p3...pk son primos de Fermat mutuamente diferentes.

Según la conclusión de Gauss, la condición necesaria para dibujar con regla y compás un polígono regular de lados primos p es que p sea un número de Fermat. Dado que los números primos de Fermat que tenemos ahora son solo los primeros cinco números de Fermat, los polígonos primos positivos que se pueden completar con regla y compás son solo 3, 5, 17, 257 y 65537. Además, los polígonos regulares con un número impar de lados que se pueden formar sólo se pueden obtener combinando estos cinco números. Sólo existen 31 de estas combinaciones. Para un polígono regular hecho con un número par de lados, el número de lados es cualquier potencia entera positiva de 2 o una combinación de estos 31 números.