¿El resto más pequeño es "1" o "0"?

¿El resto más pequeño es 1 o 0?

¿El resto más pequeño es 1 o 0? ¿Qué respuesta eliges para esta pregunta? Cuando el divisor es 6, ¿cuál puede ser el resto? ¿Rellenas 0-5 o 1-5?

Todo esto implica la cuestión de si el resto puede ser 0. En el libro de texto de Jiuyi, se considera que un resto de 0 no tiene resto y 1 se considera el resto más pequeño. Pero los libros de texto experimentales tienen interpretaciones diferentes. Creo que el siguiente artículo es relativamente claro entre todos los materiales de referencia y se lo recomiendo a mis colegas como referencia.

Hablemos brevemente de si el resto en la división de enteros puede ser cero.

Muchos profesores de matemáticas de primaria me han hecho esta pregunta: “En la división de enteros, ¿el resto puede ser 0?” Esta pregunta ya estaba decidida, así que respondí afirmativamente sin pensar: "Por supuesto que el resto puede ser 0". Inesperadamente, no estuvieron de acuerdo con esta respuesta. Las razones son las siguientes:

Primero, el. People's Education Press está obligada a El libro de texto experimental estándar del plan de estudios educativo "Matemáticas", desde el primer volumen para primer grado hasta el segundo volumen para sexto grado, no contiene la afirmación "el resto puede ser 0".

En segundo lugar, el "Diccionario chino moderno" (edición revisada) (Commercial Press, 1996) explica la palabra "resto" en la página 1553 como: "En la división de números enteros, el dividendo no se divide por el divisor. el resto es mayor que 0 pero menor que el divisor. Por ejemplo, 27÷6=4...3 Es decir, el cociente incompleto es 4 y el resto es 3. Esto significa que el resto no puede ser 0.

No hay discusión sobre "el resto puede ser 0" en los libros de texto de matemáticas, pero se puede encontrar evidencia de "el resto no puede ser 0" en el diccionario. No es de extrañar que se muestren escépticos ante mi respuesta. Ante un problema que preocupa a colegas en el campo de las matemáticas de la escuela primaria, ¿cómo deberíamos rectificar la fuente?

Revisé cuidadosamente el conjunto completo de libros de texto de matemáticas de la escuela primaria publicados por People's Education Press y No encontré la expresión "el resto puede ser 0". Sólo en el lenguaje de instrucción de la Pregunta 3 del Ejercicio 6 de la página 26 del segundo volumen del tercer grado se encontraron tres expresiones de "el resto es 0". Sé que tal afirmación no aparece en el texto ni explica la verdad, por lo que no es suficiente para servir como argumento. No está en los libros de texto. Parece que el propósito de resolver las dudas de los compañeros de escuela primaria sólo puede lograrse mediante un pensamiento razonable y una investigación relevante.

1. Tratar el 0 desde la perspectiva de la unidad de los opuestos

Como todos sabemos, cuando no hay ni un melocotón en el plato, decimos que el número de melocotones que hay en el la placa es 0. En este sentido, 0 es la cardinalidad del conjunto vacío y 0 significa "nada". Sin embargo, 0 es un número definido. Es el número inicial de la secuencia natural. No es un número positivo ni negativo. Es el único número neutro. En este sentido, 0 significa "allí". Esto no es difícil de entender. Por ejemplo, si Xiao Ming escribió un "0" en la pizarra, no se puede decir que no escribió nada. Por ejemplo, si la temperatura en un lugar determinado en un momento determinado es 0 grados Celsius, no se puede decir. ¡No puedo decir que no había temperatura en ese momento! Entonces, debemos mirar 0 desde el punto de vista dialéctico de la unidad de los opuestos y entender que 0 puede significar tanto "nada" como "algo". Usando este punto de vista para examinar la división de enteros, podemos encontrar fácilmente que cuando 15÷5, obtenemos el cociente entero 3. Podemos decir "sin resto" o "el resto es 0". Estas dos afirmaciones son completamente equivalentes. , entonces todos son correctos.

2. Ver la relación entre conceptos desde la perspectiva del desarrollo y el cambio

La comprensión de las personas sobre los conceptos matemáticos no es estática, sino que se desarrolla y cambia constantemente. Por ejemplo, "entero" y "fracción" eran originalmente dos conceptos paralelos. Eran mutuamente excluyentes, distintos y no podían confundirse. Sin embargo, debido a las necesidades del desarrollo de las matemáticas, la gente posteriormente consideró los números enteros como fracciones impropias con un denominador de 1 y un numerador del número entero, como 3=3/1, 65=65/1. De esta manera, la extensión de "fracción" se ha ampliado y la relación entre "entero" y "fracción" también ha cambiado de una relación paralela a una relación inclusiva. "Entero" se convierte en un caso especial de "fracción", y el entero integra el subconjunto adecuado del conjunto de fracciones. Originalmente, la unión del conjunto de los números enteros y el conjunto de las fracciones era el conjunto de los números racionales. Posteriormente, este conjunto generalizado de las fracciones fue en realidad el conjunto de los números racionales.

De manera similar, cuando las personas estudian la división de enteros, primero estudian la situación en la que el dividendo es divisible por el dividendo, como 15÷5, que da como resultado exactamente un cociente entero de 3, registrado como 15÷5. =3. Posteriormente estudiamos situaciones con restos, como 16÷5. Después de obtener el cociente incompleto de 3, todavía queda un resto de 1, que se registra como 16÷5=3...1.

Al principio, "división entera" y "división con resto" eran conceptos paralelos y mutuamente excluyentes. La primera no tenía resto, mientras que la segunda tenía resto, que eran mutuamente excluyentes. Más tarde, para facilitar la investigación, la gente simplemente amplió la extensión de "división con resto" para incluir los dos conceptos originales. Porque esto es fácil de hacer: simplemente piense en "sin resto" al "dividir" ya que "el resto es 0". De esta manera, la "división entera" se convierte en un caso especial de "división con resto", y la "división entera" y la "división con resto" cambian naturalmente de oposición a unidad, y las dos se unifican en el sentido amplio de "división con resto". resto" "Entre ellos.

3. La afirmación "el resto es 0" está bien documentada.

De hecho, la afirmación "el resto es 0" ha sido reconocida durante mucho tiempo por la comunidad matemática.

⑴ El "Manual del profesor de matemáticas de la escuela primaria" (People's Education Press, 1982) tiene la siguiente afirmación en la página 49:

"Para determinar si un número entero es divisible por otro entero positivo, Simplemente realice la división. Si el resto es 0, es indivisible; si el resto no es 0, no es divisible. Por ejemplo: ① a=91, b=13. 7 es 0. Esto muestra que 91 es divisible por 13. ②a=97, b=19 97÷19 es cociente de 5. 2. Entonces 97 no es divisible por 19. Generalmente, para un número entero a y un entero positivo b. , si el cociente q se obtiene dividiendo a÷b, el resto es r, donde se encuentra 0 ≤r

⑵ En el "Método de división euclidiana" de "Teoría de números" en la página 1057 de ". Mathematics Handbook" (People's Education Press, 1979), existe la siguiente afirmación:

"Todo un entero a puede representarse de forma única mediante un entero positivo b como a=bq+r, 0≤r

La desigualdad anterior 0≤r

Vale la pena señalar que el "método de división euclidiana", también conocido como el "algoritmo euclidiano", el matemático chino Qin Jiushao de la dinastía Song realizó una fructífera investigación sobre Este algoritmo en su libro "Nueve capítulos del libro de los Números" ya en 1247 d.C.

⑶ En la "Fórmula de congruencia" de "Teoría de números" en la página 1066 del "Manual de matemáticas" (People's Education Press, 1979), se encuentra la siguiente afirmación: "Supongamos que m se utiliza como módulo, luego, todos los números enteros se dividen en m clases. Los números del mismo tipo son todos congruentes y los números de diferentes clases no son congruentes. Estas clases se denominan clases de congruencia. Cada clase está representada por un número, por ejemplo: 0, 1, 2. ,…, m-1 constituye una clase de residuo completa. ”

Es fácil ver que en esta clase de residuo representada por 0, el resto obtenido al dividir cada número por m es 0. Es decir, cada uno de esos números es múltiplo de m.

De hecho, no sólo vemos el reconocimiento de "el resto es 0" de la teoría de las clases del resto, sino que también podemos usar la teoría de las clases del resto y el "principio del cajón" para responder una clase de Preguntas sobre el tema de la divisibilidad. Hay muchos libros de matemáticas que contienen este tipo de preguntas y soluciones. Aquí hay un ejemplo.

Demostrar: Entre cuatro números enteros cualesquiera, debe haber dos números cuya diferencia sea divisible por 3.

Demostración: Debido a que cualquier número entero se divide por 3, el resto solo puede ser 0, 1 o 2. Es decir, todos los números enteros se dividen según el resto obtenido al dividirlos por 3, y se pueden dividir en tres categorías de restos con restos 0, 1 y 2 respectivamente. Piense en cada clase restante como un cajón, y las tres clases restantes son tres cajones. Según el "principio del cajón", si pones cuatro números enteros en tres cajones, habrá dos números enteros en al menos un cajón. Dado que estos dos números enteros pertenecen a la misma clase de residuos, los restos obtenidos al dividirlos por 3 deben ser iguales, por lo que el resto obtenido al dividir su diferencia entre 3 debe ser 0, es decir, la diferencia debe ser divisible por 3.

En resumen, en la división de enteros, el resto puede ser 0. Sin embargo, los libros de texto de matemáticas de la escuela primaria actuales publicados por People's Education Press no mencionan esto en absoluto, lo que confunde y confunde a los profesores que desempeñan un papel destacado en la enseñanza. Desde este punto de vista, es necesario revisar los materiales didácticos.

1. La importancia de la revisión del libro de texto

(1) Es útil que los estudiantes comprendan el doble significado de 0, sabiendo que 0 puede significar tanto "nada" como "sí". . La enseñanza con los materiales didácticos revisados ​​puede permitir a los estudiantes percibir inicialmente el pensamiento dialéctico de la unidad de los opuestos.

⑵ Es útil para los estudiantes comprender la relación entre conceptos desde la perspectiva del materialismo dialéctico del desarrollo y el cambio, y saber que después de aprender "división con resto", la "división" original (incluida la "división en la tabla") Puede considerarse como un caso especial de "división con resto", del cual podemos entender la relación entre "especial" y "general".

⑶ Es beneficioso para el posterior aprendizaje de matemáticas de los estudiantes.

2. Opiniones específicas sobre la revisión de materiales didácticos

⑴ Hay que señalar claramente que "sin resto" significa "el resto es 0".

La pregunta 1 de ejemplo en la página 50 de la Unidad 4 "División con resto" del volumen de matemáticas para escuela primaria de tercer grado de People's Education Press es: "Mueva 15 macetas de flores para decorar el lugar y coloque 5 macetas en cada grupo. ¿Cuántos grupos se pueden colocar?" La expresión horizontal para responder a esta pregunta es 15÷5=3 (grupo). A continuación, el libro de texto también enumera posturas verticales.

Esta pregunta de ejemplo obviamente juega un papel conector: no sólo hereda la "División en tablas" del segundo volumen del segundo grado, sino que también introduce la forma vertical de división, allanando el camino para la enseñanza. de "División con Resto".

El ejemplo 2 de la página 51 es: "Hay 23 macetas de flores en un cuadrado, y cada grupo tiene 5 macetas. Se puede colocar en 4 grupos como máximo, y hay 3 macetas más". Este es el primer ejemplo de "división con resto". Al responder, el libro de texto enumera primero las fórmulas horizontales:

23÷5=4 (grupo)...3 (olla).

Luego, enumere las fórmulas verticales debajo de las fórmulas horizontales, conecte el 3 en las dos fórmulas con una línea de puntos y marque la palabra "resto".

La disposición anterior del libro de texto es bastante original, pero deberían hacerse algunas adiciones. Se recomienda que después de estos dos ejemplos, aprovechemos la oportunidad para compilar un texto sobre la comprensión dialéctica del "0", para que los estudiantes comprendan que aunque "0" significa "nada", también es un número definido. En este sentido, "0" también significa "sí". Luego, se debe guiar a los estudiantes para que observen y comparen las expresiones verticales de los dos ejemplos. Descubrieron que el "0" inferior en la expresión vertical del Ejemplo 1 está en la misma posición que el "3" inferior de la expresión vertical del Ejemplo. 2. "3" "" no solo representa el resto, sino que "0" también puede considerarse como el resto. En el pasado dijimos que 15÷5 es exactamente 3, "sin resto". Ahora también podemos decir que 15÷5, el cociente es 3 y "el resto es 0".

Creo que con este enfoque, los estudiantes pueden recibir la educación iluminadora del materialismo dialéctico de una manera relajada y feliz.

⑵ Hay que dejar claro que cuando el divisor es a, quedan *** restos diferentes: 0, 1, 2,..., a-1.

La pregunta de ejemplo 3 en la página 52 del volumen de tercer grado es: "Si hay 16 macetas de flores en el ejemplo anterior, ¿cuántos grupos se pueden colocar? ¿Cuántas macetas más? Si son 17 macetas". , 18 vasijas,..., 24 vasijas, ¿dónde están las 25 vasijas?”

El libro de texto enumera un conjunto de fórmulas:

15÷5=3 (conjunto)

16÷5= 3(grupo)...1(bote)

　17÷5=3(grupo)……2(bote)

　18÷ 5=3(grupo)……3(Cuenca)

　19÷5=3(Grupo)...4(Cuenca)

　20÷5=□(Grupo)

　21÷5=□ (Grupo)......□(Cuenca)

　22÷5= □(Grupo)......□(Cuenca)

　23÷5=

24÷ 5=

　25÷5=

En el lado derecho de este conjunto de fórmulas, un Se hace la pregunta: "Observa el resto y el divisor, ¿qué encontraste?" Está diseñado para guiar a los estudiantes a descubrir la conclusión "El resto es menor que el divisor".

Esta pregunta está bien escrita y no necesita revisión importante. La clave es agregar un párrafo de texto para decirles a los estudiantes: "15÷5=3 (grupo)" también se puede escribir como "15÷5=3 (grupo)...0 (bote)". De esta manera, se muestran cinco tipos de restos frente a los estudiantes: 0, 1, 2, 3 y 4. Ocultar el resto 0 no hará que los estudiantes piensen erróneamente que "cuando un número entero se divide por 5 , sólo hay 1, 2 y 3. 4Cuatro tipos de restos".

Después de aprender "Usar letras para representar números" en cuarto grado, el libro de texto también debería usar un lenguaje más general para decirles a los estudiantes: En la división de enteros, si el divisor es a, el resto solo puede ser 0. 1 ,2,…,a-1, hay tipos de a***.

En la era actual, las matemáticas no sólo juegan un papel cada vez más importante como herramienta, sino que también como cultura, las matemáticas se están volviendo cada vez más populares. En los últimos años, la gente se ha vuelto cada vez más consciente del doble significado del 0. No, ninguna distancia se llama "distancia cero"; ninguna tarifa se llama "tarifa cero".

La ausencia de error se denomina "error cero"; la ausencia de riesgo se denomina "riesgo cero". Términos como "crecimiento cero", "beneficio cero", "pérdida cero", "emisiones cero", "pérdida cero", "matrícula cero", "remuneración cero", "pago inicial cero", "alquiler mensual cero". y el "interés cero" se ven desde hace tiempo en varios medios. A medida que pasa el tiempo, todavía nacen palabras como esta con el patrón de "cero××". No hace mucho, la Secretaria de Estado de los Estados Unidos, Hillary Clinton, acuñó el término "tolerancia cero" porque estaba descontenta con el comportamiento ridículo de sus subordinados, lo cual fue bastante sorprendente.

El "0" es un elemento en matemáticas. En la división de números enteros de las matemáticas, existe un fenómeno real en el que el resto es 0. ¿Por qué en nuestros libros de texto de matemáticas de la escuela primaria hay incluso uno? ¿Ni siquiera te atreves a mencionar “restos cero”? Esto es cierto: fuera del muro florecen cien flores, y dentro del muro, todo está escondido. ¡Es desconcertante y me siento muy triste!

Los libros de texto son un recurso importante y una base principal para que profesores y estudiantes lleven a cabo actividades docentes. Lo que se debe explicar claramente debe quedar claro y lo que se debe señalar. hay que señalar. Todo debe ser considerado para el desarrollo de los estudiantes. No oculte algunos conocimientos matemáticos que los niños deberían conocer, y ocultelos de manera tan limpia, completa y sin dejar rastro que moleste inexplicablemente a los maestros. Imagínese, si los libros de texto hacen que los maestros "no puedan encontrar el camino", ¿qué tan inteligentes pueden ser nuestros niños?